第十八届华杯赛初赛小高组C卷试题及详解

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试题C（小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）

一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)

1. 如果

2013?2013n?（其中m与n为互质的自然数）, 那么m+n的值是（ ）.

2014?2014?2012m（A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029 解答：B。

在考试中，选择恰当的方法很重要。这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。

424222321525????、、、、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细

32?1542?2252?3762?48323?，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定一想，原来第二个可以写成24?26是

2013，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的20162013671?所以选B！ 2016672倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是

如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：

原式?2013?20132014?(2013?1)?20122013?20132014?2013?2014?2012

??2013?20132014?2013?2013?22013?20132013671??,2013?(2014?2)2016672?m?n?671?672?1343.这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了

“m与n为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D。

2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:

再加入50克含糖率20%的糖水. 再加入20克糖和30克水. 再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.

最终,（ ）得到的糖水最甜.

（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙 解答：C。

根据题意和我们所学过的公式，可以分别求出三人得到的糖水的最终浓度！

(1) 甲配得的糖水含糖率：

25?50?20%?100%?20%;

100?25?5025?20?100%?25.7%;

100?25?5025?100?5?2?100%?28.9%.

100?25?100(2) 乙配得的糖水含糖率：

(3) 丙配得的糖水含糖率：

所以，丙最甜！其实我们还可以用另一种方法来解答，如果对概念理解的比较清晰的话，我们可以知道，向共同的糖

水中加另一种糖水，加的糖水的浓度越大，糖水质量越多就越甜。甲又加入的是浓度为：20%的糖水50克 乙又加入的是浓度为20÷（20+30）=40%的糖水50克 丙又加入的是浓度为2÷（2+3）=40%的糖水100克

很明显，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。

3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上

爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟.

（A）22 （B）20 （C）17 （D）16

解答：A。

无论上还是下，每一米所用的时间都是一样的，根据题意，每向上爬3米会下降1米，我们列一个表格。 青蛙实际高度 3 2 5 向上爬 向下滑 3 0 3 0 1 0 4 7 6 0 3 0 1 0 1 9 3 0 8 0 1 9 1 0 11 10 12 2 0 0 1 2 0 从上表可以看出，当第二次到达了离井口3的地方的时候，青蛙运动了，3×4+1+1×4=17米。而当这只青蛙跳出井口的时候共走了3×5+2+1×5=22米。根据题意17÷17×22=22分钟。

4. 已知正整数A分解质因数可以写成A?2??3??5?, 其中?、?、? 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方

数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 （A）10 （B）17 （C）23 （D）31 解答：D。

根据“A的二分之一是完全平方数”可以知道，（?-1）、?、?都是2的倍数。 根据“A的三分之一是完全立方数”可以知道，?、（?-1）、?都是3的倍数。 根据“A的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道，?、?、（?-1）都是5的倍数。

同时满足三个条件的?的最小值恰好是[3,5]=15；?的最小值恰好是[2,5]=10；?的最小值恰好是[2,3]=6。所以，

????? 的最小值是（ ）.

????? 的最小值是15+10+6=31。

5. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边

如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有

中点的连线. 置不对称. 从重叠后再离开. 若干个三角形.

那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形. （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 解答：C。

可以把所有的情况都画出来然后通形最多的图形，再仔细的数一下，发的图如下：

还有一种办法，如果没有三角形内部的两条线捣乱的话，那么这个题就简单多了，我们从简单的情况入手！当没有三角形内部的两条线时，这两个三角形在移动的过程中，最多可以有8个三角形（如图1），在这种情况下再按照题中条件，再填两条线，在不与已有边重合的情况下，至少多2个三角形（如图2），而最多只能多3个（如图3）。

过比较找出三角现有11个，所有

6. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.

① 其中必有两个数互质;

② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数. （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 解答：B。

对于“任意?必有”这样的语句，应该考虑到“抽屉原理”。如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于6的！看题：

第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于6的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造（1,2,3）（4,5）（6,7）（8,9）（10,11）其实构

造的方法不是唯一的，还有很多构造方法如：【（1,3,4）（2,9）（8，11）（5，6）（7,10）】；

第二句很容易举出反例，（6、7、8、9、10、11）最大的六个数就没有倍数关系，同样的还有：（4、5、6、7、9、11）；

第三句，根据第二句话的反例，可以看出，第三句话是成立的，那么就要严谨的证明一下，还是要构造抽屉，按照什么构造呢，可以按照1到11中的5个质因数来构造5个抽屉，1放在哪个抽屉里都可以,（1,2,4,8）（3,6,9）（5,10）（7）（11）这五个抽屉中，要任意取6个数，必有两个数在同一个抽屉中，就必满足其中一个数的2倍是另一个数的倍数。

所以有两句是正确的，最后的答案是B。 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)

7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书.

解答：7。

从简单的情况思考，若只有两个人，那么为了符合题意，一定有6本不同的书，我们可以给这6本数编号为1、2、3、4、5、6，那么设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6.这时候又来了第三个人，我们称呼他为丙，这是丙为了符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为3、4、5、6也符合题意，这时要注意的是，当三个人，只买6本书的时候，当甲、乙买的书确定之后，丙购买的编号是唯一的，就是丙不能买甲、乙都买的书，如果他买了一本甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书！列一个表格让我刚才说的更清晰： 1 2 3 4 5 6 甲 √ √ √ √ 乙 √ √ 丙 √ √ √ √ √ √ 把3个人的情况弄明白之后，看四个人的，这时丁来了，站在刚才丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书了，所以4个人的时候至少是7本，可以给出构造如下： 1 2 3 4 5 6 7 甲 √ √ √ √ 乙 √ √ 丙 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 丁 √

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ml9t.html