四川大学04-05学年第一学期数一二线性代数期末考试试卷答案

含金量高

2004级线性代数期末考试试卷A参考答案

一：1、0 2、

1 10 A1 5A

3 10

015410

0 0 1 2

3、r(A) 1 4、( 6, 4, 12) 5、r(B) r

二：1、C 2、D 3、C 4、D 5 、A

1 1

2 3 4 5) 三：1、( 1

2 4

03130 11722140

2 1 1 05 0 6 0

0100

312

101 1

000 0

0

0 4 2

0

0100

3100

0001

3 2 1 0 1 2

1, 2, 4(或 1, 3, 4; 为一个极大无关组。且有)) 3 3 1 2， 5 1 2 4。

2、线性方程组的增广矩阵可经过以下变形化成阶梯形矩阵

3

212

1 211 11 121 1 12

23a 23 0 1a1 0 1a1 1a 20 1a 2 3 1 00a(a 2) 3a 3

a 4

x 1a 3

（1） 当a(a 2) 3 0时，方程组有唯一解 ； 2

x 2

a2 2a 3

1 x 3 a 1

（2） 当a(a 2) 3 0，而a 3 0时，即a 1时方程组无解； （3） 当a(a 2) 3 0，且a 3 0时，即a 3时方程组有无穷多个解；

x 2x2 x3 1

当a 3时，线性方和组变形为 1; 令x3 0得特解为X0 (3, 1,0)

x2 3x3 1 x 2x2 x3 0

令x3 1得齐次线性方程组 1的基解为X1 ( 7,3,1)

x2 3x3 0

所以当a 3时，方程组的全部解为X0 CX1，其中C为任意常数。 3、由已知可得三阶矩阵A的特征值为3, 2,

11

，所以得A的行列式为A 3 ( 2) 3。 22

2

四：1、由题意知原矩阵方程可变形为(A E)X A E (A E)(A E)，因为A E为可逆矩阵，故有

2

X A E 0

1

1 30 02

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2、

E A ( 2)2( 1)，得特征值为 1 2 2, 3 1

将 2代入特征方程得x1 x2 x3 0，特征向量为X1 (1, 1,0) ,X2 (1,0,1) ； 将 1代入特征方程得

x1 x3 0

，特征向量为X3 (1, 1, 1) 。

x1 x2 0

0 20 01 0

2

显然X1,X2,X3线性无关，故A可对角化。令P (X1X2X3)，则有P 1AP 0

0

3、二次型对应的矩阵为

100 ， A 031 013

得特征值为 1 1, 2 2, 3 4； E A (( 32) 1) (，1)

2x2 x3 0

1将代入特征方程得 ，特征向量为X1 (1,0,0) ；

x2 2x3 0

将 2代入特征方程得

x1 0

，特征向量为X2 (0,1, 1) ；

x x 0 23

x1 0

将 4代入特征方程得 ，特征向量为X2 (0,1,1) 。X1,X2,X3是正交向量组，

x2 x3 0

标准化后得 1 (1,0,0) , 2 , 3 , 1

X CY22

令C ( 1, 2, 3)，则有X 。 AX Y C 1ACY y12 2y2 4y3

五：1、 AX 有解， r(A) r(A ) n， 又 (A )为n n阶矩阵 (A ) 0

但反过来不一定成立。当 (A方程组不一定有解。 2、

) 0时，可以得到r(A ) n，但不能得出r(A) r(A )即

A有n个互异的特征值， A有n个线性无关的特征向量。

设X1,X2,...,Xn为A的n个线性无关的特征向量， 由题意知X1,X2,...,Xn也为B的特征向量，故A、B均可对角化，令P (X1,X2,...,Xn)，P可逆，

则存在对角阵 1 diag a1,a2,...,an ， 2 diag b1,b2,...,bn ， 使得P 1AP 1，P 1BP 2，

P 1ABP P 1APP 1BP 1 2 2 1 P 1BAP

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