【数学】浙江省嘉兴市2022届高三4月模拟测试数学试题 含答案

2018年高考模拟测试

数学 试题卷

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．已知集合}0|{≥=y y M ，}1|{2+-==x y y N ，则=N M

A ．()1,0

B ．[]1,0

C ．[)∞+,0

D ．[)∞+,1

2．已知)43,2(π

πα∈ ，αsin =a ，αcos =b ，αtan =c ，那么c b a ,,的大小关系是

A ．c b a >>

B ．c a b >>

C ．b c a >>

D ．b a c >>

3．某几何体的三视图如图（单位：m ），则该几何体的体积是

A ．32 3m

B ．3

4 3m C ．2 3m

D ．4 3m

4．在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组??

???≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的平面区域上一动点，则

直线OM 斜率的最小值为

A ．2

B ．1

C ．31-

D ．2

1- 5．已知p ：不等式0)1)(1(>--x ax 的解集为)1,1(a

，q ：21

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知两个平面βα,和三条直线b a m ,,，若m =βα ，α?a 且m a ⊥，β?b ，设α和β所成的一个二面角的大小为1θ，直线a 和平面β所成的角的大小为2θ，直线b a ,所成的角的大小为3θ，则

A ．321θθθ≥=

B ．213θθθ=≥

正视图 侧视图 俯视图 （第3题）

C ．31θθ≥，32θθ≥

D ．21θθ≥，23θθ≥

7．已知数列}{n a 为等差数列，且18=a ，则||||2109a a +的最小值为

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

8．若双曲线C ：122=-y x 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于Q P ,两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为

A ．

31 B ．3

2 C ．2 D ．

3 9．已知841++=+y x y x （0,>y x ），则y x +的最小值为 A ．35 B ．9 C ．264+ D ． 10

10．已知函数b ax x x f ++=2)(，集合}0)(|{≤=x f x A ，集合}4

5))((|{≤=x f f x B ，若?≠=B A ，则实数a 的取值范围是

A ．]5,5[

B ．]5,1[-

C ．]3,5[

D ．]3,1[-

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．若复数z 满足()i 2i 3-=+z （i 为虚数单位），则=z ▲ ；=||z ▲ ．

12．已知直角坐标系中)0,2(-A ，)0,2(B ，动点P 满足||2||PB PA =，则点P 的轨迹方程

是 ▲ ；轨迹为 ▲ ．

13．6)1)(2(++x x 展开式中，3x 项的系数为 ▲ ；所有项系数的和为 ▲ ．

14．设△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，

已知2222c b a =+，则

=A C tan tan ▲ ;B tan 的最大值为 ▲ ．

15．某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学

生做游戏，记 “恰有两名学生来自同一所学校”为事件A ，则=)(A P ▲ ．

16．已知2||=c ，向量b 满足c b c b ?=-||2.当c b ,的夹角最大时，=||b ▲ ．

17．椭圆)0(12222

>>=+b a b y a x ，直线x y l 21:1-=，直线x y l 21:2=，P 为椭圆上任意一

点，过P 作1//l PM 且与直线2l 交于点M ，作2//l PN 且与1l 交于点N ，若22||||PN PM +为定值，则椭圆的离心率为 ▲ .

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

18．（本题14分）

已知函数()2)cos (sin 3)3

2cos(x x x x f ++π+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，若2=a ，7=c ，3)2

4(

=+C f π，求b 的值．

19．（本题15分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为?60．

（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //； （Ⅱ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．

P A B C D （第19题）

20．（本题15分） 已知函数x

e x

f x 2)(+=． （Ⅰ）求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：)(x f 仅有唯一的极小值点.

21．（本题15分）

点)1,1(P 为抛物线x y =2上一定点，斜率为21-的直线与抛物线交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦AB 中点M 的纵坐标; （Ⅱ）点Q 是线段PB 上任意一点（异于端点），过Q 作PA 的平行线交抛物线于F E ,两点，求证：||||||||QB QP QF QE ?-?为定值.

22．（本题15分）

（第21题）

已知数列}{n a 满足2

31=a ，)1(2)311(1+++=+n n a a n n )(*∈N n （Ⅰ）判断数列}{n a 的单调性； （Ⅱ）证明：)1(323

111+++≤+n n a a n n n )2(≥n ； （Ⅲ）证明：e a n 3<.

2018年高考模拟测试

数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．B ；

2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．A ； 6．D ；

7．C ； 8．D ； 9．B ； 10．A ． 9．提示：y

x y x y x y x 418841+=-+?++=+， 两边同时乘以“y x +”得：))(41(

))(8(y x y x y x y x ++=+-+ 所以9)45())(8(≥++=+-+y

x x y y x y x ，当且仅当x y 2=时等号成立. 令y x t +=，所以9)8(≥?-t t ，解得1-≤t 或9≥t

因为0>+y x ，所以9≥+y x ，即9)(min =+y x

10．提示：设})(|{}4

5))((|{n x f m x x f f x B ≤≤=≤=，(n m ,为45)(=x f 的两根) ． 因为?≠=B A ，所以0=n 且)(min x f m ≤，042≥-=?b a ． 于是45)0()(=

=f n f ，4

5=b ．052≥-=?a ?5-≤a 或5≥a ． 令)(x f t =，0454545)(45))((2≤≤-?≤++?≤?≤t a at t t f x f f ． 即a m x f a x n x f m x x f f x B -=?≤≤-=≤≤=≤=}0)(|{})(|{}4

5))((|{． 所以)(min x f a ≤-，即]5,1[)2

(-∈?-≤-a a f a ．故]5,5[∈a ．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．i 2121-=z ；22；

12．041222=+-+x y x ；一个圆； 13．55；192； 14．3-;

33； 15．

74； 16．22； 17．2

3． 16．提示：设,,θ>=<222)(||48||4||2?=+?-??=-， 即θθθθθsin 4||sin ||cos 4016cos ||16sin ||4222≥+=?=+-b ． 所以4max π

θ=，此时22||=．

17．提示：令t PN PM =+22||||（t 为常数），设)2

1,(),21,(2211x x N x x M -， 由平行四边形知识，t x x O N O M PN PM =+=+=+)(4

5||||||||22212222． 设点),(y x P ，因为)2

121,(2121x x x x ON OM OP -+=+=． 所以t x x y x x x y x x x 58)(2421212221222121=+=+???

???-=+=，此方程即为椭圆方程，即23=e ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

18．（本题14分）

已知函数()2)cos (sin 3)3

2cos(x x x x f ++π+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，若2=a ，7=c ，3)2

4(=+C f π

，求b 的值． 解答：（Ⅰ）)2sin 1(32sin 232cos 21)(x x x x f ++-=

3)62sin(++=πx ， 所以，)(x f 的最大值为31+，π=T ． （Ⅱ）因为33)6

cos(3)62sin()24(=++=+++=+ππππ

C C C f ， 30)6cos(π

π

=?=+?C C ．

由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=可得：0322=--b b ，

因为0>b ，所以3=b ．

19．（本题15分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为?60．

（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //； （Ⅱ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．

解答：（Ⅰ）因为AD BC //，所以//BC 侧面PAD ． 又因为侧面PAD 与PBC 的交线为m ，所以BC m //．

（Ⅱ）解法一：向量方法

取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ， 则CD PM ⊥、CD MN ⊥．

所以PMN ∠是侧面PCD

从而?=∠60PMN ．

作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ． 因为2=CM ，32=PM ，

所以3=OM ，3=OP ．

以O 为原点，ON 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立右手空间直角坐标系． 则)0,4,0(=，)3,2,34(--=PB ，)3,2,3(--=PC ． 设),,(z y x =是平面PBC 的法向量，

则?????=-+-=-+-0323032)34(z y x z y x ?0=x ，z y 32=．取)2,3,0(=n ． 则θsin |,cos |><=AB n 4

1312?=13

13

3=

． 解法二：几何方法

取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ，则CD PM ⊥、CD MN ⊥． 所以PMN ∠是侧面PCD 与底面成二面角的平面角．

A

（第19题）

P

C

D

M

从而?=∠60PMN ．

作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ． 因为2=CM ，32=PM ，所以3=OP ． 作AB OE //交BC 于E ，连PE ．

因为PO BC ⊥，OE BC ⊥，

所以⊥BC 平面POE ．从而平面⊥POE 平面PBC ． 所以PEO ∠就是OE 与平面PBC 所成的角，θ=∠POE ． 在△POE 中，2

3tan ==

OE PO θ．故θsin 13133=．

20．（本题15分） 已知函数x e x f x 2)(+=． （Ⅰ）求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：)(x f 仅有唯一的极小值点.

解答：（Ⅰ）因为22)1()(x

x e x f x --='，所以2)1(-='=f k ．又因为2)1(+=e f ， 所以切线方程为：)1(2)2(--=+-x e y ，即042=--+e y x ．

（Ⅱ）令2)1()(--=x e x h x ，则x e x h x ?=')(， 所以)0,(-∞∈x 时0)(<'x h ，),0(∞+∈x 时0)(>'x h ． ① 当)0,(-∞∈x 时，易知0)(-=<-=e h h ， 所以0)2(,0)1(>'<'f f ，)(x f 在)2,1(上有极小值点． 又因为)(x h 在),0(∞+上单调递增，所以)(x f 仅有唯一的极小值点.

21．（本题15分）

点)1,1(P 为抛物线x y =2上一定点，斜率为2

1-的直线与抛物线交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦AB 中点M 的纵坐标;

（Ⅱ）点Q 是线段PB 上任意一点（异于端点），过Q 作PA 的平行线交抛物线于F E ,

两

点，求证：||||||||QB QP QF QE ?-?为定值. 解答：（Ⅰ）2

11-=+=--=B A B A B A AB y y x x y y k （*） 所以2-=+B A y y ，12

-=+=B A M y y y . （Ⅱ）设),(00y x Q ，直线EF ：)(010y y t x x -=-，

联立方程组0)(001122010=-+-??????=-=-x y t y t y x

y y y t x x ， 所以0011,x y t y y t y y F E F E -=?=+，

||)1(||1||1||||020********x y t y y t y y t QF QE F E -+=-+?-+=?， 同理||)1(||||02022x y t Q B Q P -+=?.

由（*）可知：P A PA EF y y k k t +===11

1，P B PB

y y k t +==12 所以0222)(21=+-=++=+P B A y y y t t ，即222121t t t t =?-= 所以||||||||QB QP QF QE ?=?，即0||||||||=?-?QB QP QF QE

22．（本题15分）

已知数列}{n a 满足2

31=a ，)1(2)311(1+++=+n n a a n n )(*∈N n （Ⅰ）判断数列}{n a 的单调性； （Ⅱ）证明：)1(323

111+++≤+n n a a n n n )2(≥n ； （Ⅲ）证明：e a n 3<.

解答：（Ⅰ）因为)1(2311++=-+n n a a a n n

n n ．当1=n 时，0231>=a ． 假设k n =时，0>k a ，所以1+=k n 时，0)1(2)311(1>+++

=+k k a a k k ． 从而对于一切*∈N n ，0>n a ． 所以0)1(2311>++=-+n n a a a n n

n n ，即数列}{n a 单调递增 ． （Ⅱ）证明：因为2

31=a ，所以32=a ． 又因为由（Ⅰ）可知n n a a >+1，所以2≥n 时3≥n a ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ml0q.html