马柯维茨均值方差模型在MATLAB与EXCEL下的实现与讨论

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马柯维茨均值方差模型在MATLAB与EXCEL下的实现与讨论

姚李天泷天津南开大学

【摘　要】 深入分析马柯维茨均值方差模型以及在投资组合应用时的约束条件，在综合考虑投资收益与风险平衡的前提下，基于相关系数法分析不同投资组合之间的相关性，根据决策者的投资偏好，改进了马柯维茨均值方差模型的约束条件，计算出投资组合的有效市场边界，并通过选取不同资产在不同经济周期下的实际数据，基于MATLAB与EXCEL实现了该方法的模型计算，得出了最优资产配置组合，并通过与基准的对比验证了该方法在平衡投资风险与收益方面的有效性。【关键词】 马柯维茨；均值方差模型；投资组合；收益与风险一、引言

马柯维茨投资组合理论，又称作现代证券组合投资理论，由美国纽约市立大学巴鲁克学院的经济学教授马柯维茨提出，该理论详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，建立了均值－方差证券组合模型的基本框架，开创了定量化衡量风险的先河，为现代证券投资理论奠定了基础。马柯维茨将证券组合选择的过程概括为两个阶段：首先从观察和经验出发得到各种可投资证券未来的预期收益率、风险等；其次，从各证券的预期表现出发得到一组最优的证券投资组合。马柯维茨投资理论建立在多个假设条件上，均值方差模型也认为这些假设条件是成立的。

一般来说，投资者对于投资活动最关注的问题就是预期收益和预期风险的关系，证券投资的核心和关键就是有效地进行分散投资，通过分散投资来分散风险，提高收益。由于传统的马柯维茨投资模型并不能完全满足投资者的需求，在资产配置的实际操作过程中，还需要投资者对资产做出相应的约束和限制，以适应不同的投资和资产配置环境。

本文在深入分析马柯维茨均值方差模型以及在投资组合应用时的约束条件的基础上，综合考虑投资收益与风险的协调，基于协方差与相关系数法计算不同资产之间的相关性，根据协方差矩阵，使用MATLAB计算投资组合的有效市场边界，再根据决策者的投资偏好，得出资产组合的最优配置方案。选取不同资产在不同经济周期下的实际数据，使用MATLAB与EXCEL实现了该方法的模型计算，验证了该方法在平衡投资风险与收益方面的有效性。

二、马柯维茨投资组合模型1.投资组合的收益与风险

假设某个投资组合具有N种不同的风险证券，其中第i种证券

2

的收益序列为rit，其预期收益率为Ei，方差为σi,i=1,2,...,N，它在投资组合中的权重为xi，则该投资组合中的权重满足约束条件∑x=1。相应的投资组合的预期收益Ep和投资组合的风险度量方差2分别如下所示：σp

Ni=1

i

相关系数ρij的取值范围是 1≤ρij≤1。当ρij在（0,1）

ρ两种证券的收益存在一般性的负相关关系；当ij在（0,1）区间

内时，表示两种证券的收益存在一般性的正相关关系。需要注意的

ρ是，当相关系数ij＝0时，只表明证券i和证券j不存在线性相

关关系，不排除证券i和证券j有其它形式（非线性的）相互关系。实际上，若两种证券之间的相关系数ρij<0，可以相应程度地降低组合后的投资风险，若它们之间的相关系数ρij>0，则会相应程度地加大组合后的投资风险。

3.马柯维茨均值方差模型及其求解

根据前面的分析，投资者在获得了投资的预期收益率和风险以及它们的衡量方法后，需要对不同的证券进行组合，通过改变不同证券的投资比例，实现给定预期收益下的风险最小化或者给定风险下的预期收益率最大化。投资者会依照下面的原则求得有效前沿：（1）在给定预期收益下，提供最小的风险；（2）在给定的风险下，提供最大的预期收益；满足以上两个条件的组合被称为有效集，又称作有效市场边界，或有效前沿。投资者最终确定的最优投资组合一定出现在有效市场边界上。

根据给定的组合预期收益和投资组合风险，将模型分为以下两种。（1）给定投资组合预期收益Ep=EO，其模型如下：

2

minσp=∑xi2σi2+∑∑xixjσij

i=1

i=1j=1

j≠i

N

N

N

Ep=x1 E1+x2 E2+......+xN EN=∑xi Ei

i=1

N

N

∑xiEi=Ep=E0 i=1 N

s.t. ∑xi=1 i=1

xi≥0,i=1,2, ,N

（2）给定投资组合风险 σ2N

maxEp=∑xiEi

i=1

p

2，则其模型如下：

=σ0

2.证券组合中收益与风险的相互影响关系

不同证券的相互关系将会影响投资组合的收益、风险趋势，多种证券之间相互作用产生的收益的不确定性用协方差来表示，用σij和σji来表示证券和证券j之间的协方差为：

i其中E(ri)和E(rj)分别表示预期收益率，rjs和ris表示证券i、j在状态s下的收益。

若两种证券之间的协方差为正，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动；若两种证券之间的协方差为负，则表明两种证券之间存在着一定的反向变动关系。一个相对较小或为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有任何互动关系即相互独立。证券之间的协方差越大，则由它们构成的证券组合的风险也就越大。

两种证券的收益互动性通过相关系数来表示，若σi和σj分别为证券i和j的收益标准差，σij表示两种证券之间的协方差，则相关系数表示为：

σij=σji=E[(ris E(ri))(rjs E(rj))]

NNN

2222

j=σ0 σp=∑xiσi+∑∑xixjσi

i=1j=1i=1 j≠i

N s.t. x=1

∑i i=1 2, ,N xi≥0,i=1,

下面进行模型的求解，对于模型（Ⅰ）和（Ⅱ），可以通过构造“拉格朗日函数”，采用“拉格朗日乘数法”来求解。现以模型（Ⅰ）为例：

作拉格朗日函数：

L(x1,x2, ,xN,λ1,λ2)

N=i1

2

i

2i

N

N

=i1=j1

j≠i

i

=

∑xσ+∑∑xxσ

jij+λ1[∑xiEi E0]+λ2(∑xi 1)

=i1

=i1

NN

ρij=

σij

σi σj

上式中，λ1，λ2为拉格朗日乘数。函数L对x1，x2， ，xN，λ1，λ2的偏导数，并令其为零，可得：

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Economic OutlookLx12x1σ12+2x2σ12+ +2xNσ1N+λ1E1=+λ20

=Lx1σ21+2x2σ222x2+ +2xNσ2N+λ1E2=+λ20

LxσN1+2x2σN2+ +2xNσ2N2x1N

+λ1EN=+λ20=Lλ1x1E1+x2E2+ +xNEN =E00Lλ2=x1+x2+ +xN 1

=0AX把上述方程组化为′=B

：

2σ122σ12

2σ1NE11 x1 0 2σ12

2σ2

E 2 2σ2N21 x2 0 A = 2σN12σN2 2σ2 X' = B = NEN1 xN 0 E λ E 其中， ， E12 EN00 11 1 100 λ2 01 2

σ1σ12 σ1N σ12σ2

2

σ 2N 此处，定义协方差矩阵为 σ1Nσ2N σ2

N

得到协方差矩阵后，利用克莱默法则求解。三、实例验证

根据Wind资讯的历史数据，选取2005年到2013年股票、房价、债券、现金四种基本资产在四个经济周期（复苏期-过热期-滞涨期-衰退期）下的收益率为样本，并将样本数据按四个经济周期（复苏期-过热期-滞涨期-衰退期）在马柯维茨均值方差模型下，使用EXCEL计算出四种基本资产的收益、风险以及协方差矩阵，再使用MATLAB计算有效市场边界。

首先以“复苏期”的数据样本为实例，在EXCEL中使用AVERAGE函数计算预期收益，使用VAR函数计算单一资产的方差来表示风险，使用CORREL函数计算不同资产之间的相关系数即协方差，在得到基本数据后，应用MATLAB计算有效市场边界如图1所示。

图1 NumPorts的值为40时的运行结果

其次讨论在马柯维茨均值方差模型的投资理论不做出改动的情况下，如何应对投资者的需求。假设投资者出于对分散风险的投资原则的考虑，要求每种资产的配比不能超过总资产的50%。此时，预期的收益和风险的度量并没有改变，协方差矩阵也没有改变，即马柯维茨均值方差模型不作改动，而要在资产配置环节进行调整。MATLAB金融工具箱中的portopt函数满足任意约束条件下的边界条件，故需要调整约束条件，此时的NumAssets=4；表示资产的数量，其后的PVal=1；AssetMin=0；AssetMax=[0.5 0.5 0.5 0.5]表示此时的约束条件为每种资产所占比例不超过总资产的50%。计算所得的有效市场边界如图2所示。

图2 单一资产占资产组合的比例不大于50%时的运行结果此时收益的范围被缩小，由原来的0.3333-3.0191变为0.5115-1.8974，这是对资产加上了相应的约束条件和投资者偏好之后所产生的结果。同时，根据某投资有限公司对冲基金投资部的基金经理的经验，在有效市场边界曲线图中，选取复苏期中预期收益1.5014的配置比例为最优配置（如图3所示，最优配置为横竖两条线交点），该点的四种资产配置比例为现金占0%，股票占34.55%，债券占15.45%，房价占50%。

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图3 有效市场边界曲线

根据之前选取的最优配置，以四种资产平均配比为基准，通过对比最优资产配置组合与基准的收益、风险等，证明修正后的马柯维茨均值方差模型所计算出的资产组合配置更优。

1.对于收益的比较，直接通过EXCEL计算得出结果，平均分配的收益使用AVERAGE函数计算，最优资产配置模型的收益使用权重计算。根据基准与最优资产配置组合的收益率，作折线图，如图4所示。2005年1月1日至2013年11月29日，基准配置年化收益率为9.81%；最优资产配置组合年化收益率为19.01%，超出基准9.2%。

2.对于风险的比较，为了得到较强的对比效果，引入波动和最大回撤。波动通过EXCEL的VAR函数计算基准与最优资产配置组合的方差来表示。最大回撤用来描述买入该组合后可能出现的最差情况，或者说是最大亏损，用来衡量该投资组合的抗风险能力。

图4 基准与最优资产配置组合的收益率对比

根据不同时间段下的基准与最优配置组合的最大回撤作图分析，如图5所示。

图5 不同时间段下的基准与最优配置组合的最大回撤

可以看出，2005年1月1日至2013年11月29日，基准配置最大回撤为26.64%；而最优资产配置组合最大回撤为8.42%，大幅优于基准。

根据基准与最优资产配置组合的收益数据，使用VAR计算波动，结果显示基准配置波动标准差为0.0574%；而最优资产配置组合波动标准差为0.0452%，收益稳定性表现更佳。

如果数据量庞大，马柯维茨均值方差模型的实现需要大量运算，利用Matlab的金融工具箱和Excel的统计功能相结合可有效处理计算复杂的问题，充分发挥各自的优越性，使得大量的运算化繁为简，尤其当投资者的需求改变时，或是有附加的约束条件时MATLAB显得尤为灵活。

四、结论

基于均值方差的马柯维茨投资模型能够对资产组合的收益和风险进行量化，并通过计算获得精确的有效市场边界。由于该模型建立在大量理想化的假设下，很难精确地反映当前的证券市场实际，基于相关系数法的分析不同投资组合之间的相关性，根据决策者的投资偏好，改进了马柯维茨均值方差模型的约束条件，用实际数据验证了该方法的有效性，得出的投资组合配置更优，其风险得到了稳定有效的控制，收益有明显的提升，并利用MATLAB与EXCEL实现了该方法的模型计算，取得了较好的效果。

由于市场完全性、投资者保持理性投资、宏观经济政策出台对股价的影响，并且这些因素难于量化，需要进一步进行研究和优化该模型方法在实际应用中的改进，发挥更大的市场价值。参考文献：

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[2]黄斐.Markowitz投资组合模型的优化研究[J].中国市场, 2008,40:44-46

[3]Stambaugh F.Risk and Value-at-Risk[J].European Management Journal，1996,114(4):612-621

[4]杨尚.基于MATLAB与EXCEL工具的均值-方差模型[J].阴山学刊(自然科学版),2007, 21(2):42-45

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作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

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China Business Update2014(13)

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