河南省偃师高中2013届高三第二次月考数学(文)试题

偃师高中2013级高三第二次月考

文科数学试卷

时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1．定义集合运算:},,|{B y A x xy z z B A ∈∈==*，设}2,0{},2,1{==B A ,则集合A B *的真子集个数为

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

2．已知i 是虚数单位，复数z=

51034i i -++对应复平面上的点P 位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．已知命题p ：?x ∈R ，|sin |1x ≤，则p ?是（ ）

A ．,|sin |1x R x ?∈≥

B ．,|sin |1x R x ?∈≥

C ．,|sin |1x R x ?∈>

D ．,|sin |1x R x ?∈>

4．如图给出的是的一个程序框图，则其输出的结果是（ ）

A ．1921-

B ．2021-

C ．2121-

D ．2221-

5．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，公差为1, 20070S =，则2009S 的值是（ ）

A ．0

B ．2

C ．2008

D ．2009

6．已知cos 2sin(45)αα=+，则sin2α＝（ ） A ．1

2 B ．14 C ．34 D 7． a 、b 是两条异面直线，则“a ⊥b”是“存在经过a 且与b 垂直的平面 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件

8．某中学高一年级有350人,高二年级有280人，用分层抽样法从高中三个年级抽选学生代表，已知从高三年级抽取了7人，从高一年级抽取的人数比从高二年级抽取的人数多2人，则该校高中的学生总数是（ ）

A ．945

B ．910

C ．900

D ．875 9．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量(,),(1,2)m a b n ==-，则向量m 与向量n 垂直的概率是（ ）

A ．16

B ．19

C ．112

D ．118

10．已知()f x 是定义在（－∞，∞）上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设1

(ln )3a f =，

14(log 3),(0.4)b f c f -==，则,,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

11．设平面内有△ABC 及点O ，若满足关系式0)2()(=-+?-OA OC OB OC OB ，那么△ABC 一定是

A ．直角三角形

B ．等腰直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

12．过双曲线M ：2

221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l

，若l 与双曲线M 的两条渐近

线分别相交于B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是 (

)

C. 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题中每小题4分，共16分.把答案直接填在题中的横线上.

13．定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则(3)f -= ．

14．如图，是一个几何体的三视图，其中主视图是两直角边长分别为1,2的直角三角形，俯视图为边长分别为1,2的矩形，左视图为直角边长为1的等

腰直角三角形，则这个几何体的面体的体 积为 ．

15．如果满足60ABC ?∠=，12AC =，BC k =的三角形恰有一个，

那么k 的取值范围是 。

16．设()f x 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有()()0f x fx -+=恒成立. 如果实数m n 、满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<,那么22m n + 的取值范围是

。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知2

()4cos sin cos f x x x x =-+，将f (x)的图象向左平移4π

，再向上平移2个长度

单位后，图象关于直线12x π

=对称．

（1）求实数a 的值，并求()f x 取得最大值时x 的集合；

（2）求()f x 的单调递增区间．

左视图 主视图 俯视图

18．（本小题满分12分）

某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例； （Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为[]90,100中任选出两位同学，共同帮助成绩在[)40,50中的某一个同学，试列出所有基本事件；若1A 同学成绩为43分，1B 同学成绩为95分，求

A 、

B 两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

19．（本小题满分12分） 如图棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，平面11AA C C ⊥平

面ABCD ．

（Ⅰ）求证：1BD AA ⊥；

（Ⅱ）设AB a =，30BAC ∠=，四边形11AAC C 的面积为2

3a ，求棱柱1111ABCD A B C D -的体积． 20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2

2

12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜

率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A

B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

21.已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1. (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性； (Ⅱ)设a ≤-2，证明：对任意x 2, x 2∈(0,+∞)，|f (x 1) - f (x 2)| ≥ 4| x 1- x 2|.

选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所

D 1

C 1

B 1

1

A D

C

B

A

做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）

22．选修4—1：几何证明选讲

如图，圆O 的直径10AB =，弦DE AB ⊥于点H ，2HB =． （Ⅰ）求DE 的长；

（Ⅱ）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若

PC =PD 的长．

23．选修4—4：极坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是2,4,x t t a ???

＝y ＝＋（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ＝

（θ＋4

π）． （Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化写为直角坐标系方程；

（Ⅱ）若圆C 上有且仅有三个点到直线l

a 的值．

24．选修4—5：不等式选讲

已知不等式212x px x p ++>+． （Ⅰ）如果不等式当2p ≤时恒成立，求x 的范围；

（Ⅱ）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的范围．

B

A

偃师高中2013届高三月考数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：AACBD CCDCB CA

二、填空题：13. －3，14.

23

，15.012k <≤ 或k =，16. (9, 49) 三、解答题：

17.解：（１）()sin 22cos 22f x x x =--，将()f x 的图象平移后的解析式为

()()24

g x f x π=++2sin 2cos 2x x =+． )(x g

的图象关于直线12x π=对称，∴有(0)()6g g π

=，即=， 解得1=a ． ………4分

则()22cos224sin(2)26f x x x x π=--=--． 当

2262x k πππ-=+，即3x k ππ=+时，()f x 取得最大值2． 因此()f x 取得最大值时x 的集合是{x|x=3

k ππ+,k ∈Z } ……8分 （２）由222262k x k π

π

π

ππ-≤-≤+，解得63k x k π

π

ππ-≤≤+．

因此，()f x 的单调递增区间是[,]63k k ππ

ππ-+()k Z ∈． ………12分 18.解：（Ⅰ）第五行以此填入 12 0.24 ……………2分

第七行以此填入 50 1 ……………4分

估计本次全校85分以上学生比例为32％ ……………6分

（Ⅱ）

14

……………12分 19.解：（Ⅰ）略 ……6分 （Ⅱ）332V a = ……………12分

20．解：（1）圆的方程可写成22

(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，

整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A

B ，等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->， 解得304k -<<，即k 的取值范围为304??- ???，． …………………6分

（2）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，， 由方程①，

1224(3)1k x x k

-+=-+ ②, 又1212()4y y k x x +=++． ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，

，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()3()x x y y +=-+，……………………8分 将②③代入上式，解得34

k =-． 由（Ⅰ）知3

04k ???- ???

，，故没有符合题意的常数k ．………………………12分 20．解：.(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x

+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；

当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；

当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x 当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；

x ∈，+∞)时，()f x '＜0, 故f (x )在（0, ，+∞）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于

12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,

即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.

令g (x )=f (x )+4x ,则

1()2a g x ax x

+'=++4 ＝2241ax x a x

+++. 8分 于是 ()g x '≤2441x x x -+-＝2

(21)x x

--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故

g (x 1) ≤g (x 2)，

即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，

故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 12分

22.（Ⅰ）8DE = ……5分 （Ⅱ）2PD = ……10分

23.解（I ）由)4cos(24πθρ+

=得4cos 4sin ρθθ=-.

即24cos 4sin ρρθρθ=-，………………2分

由cos ,sin x y ρθρθ

=??=?得，22440x y x y +-+=即22(2)(2)8x y -++=. 所以圆C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.………………5分

（II ）直线的参数方程2,4x t y t a

=??=+?可化为2y x a =+，

由圆的半径为知，圆心（2，-2）到直线2y x a =+………………8分

=6a =-±………………10分

24.（Ⅰ）1x <-或3x > ……5分

（Ⅱ）1p >- ……10分

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