重庆数学中考26题专题训练(教师版)

重庆数学中考题26题专题训练

00

26、如图（1）Rt AOB中， A 90， AOB 60，OB 2， AOB的平分线OC

交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线

CO ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动.

（1）求OC、BC的长；

（2）设 CPQ的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上、Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时， OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值.

N

A

C

P

N

AP

C

Q

O

图（1）

B

O

图（2）

B

（1）在Rt AOB中， ABO 90 AOB 30 AO

1

OB 3 2

1

AOB 300 2

在Rt AOC中，令AC x OC 2AC 2x

OC平分 AOB AOC BOC (2x) x () x1 1,x2 1（舍） AC 1,OC 2…………3分

COB CBO 30 BC OC 2…………4分 (2)当0 t 2时，S

2

2

2

323t t…………6分 42323t t 2…………8分 42

当2 t 4时，S

N

AP

Q

C

O

B

(3)QO t 2，PO 4 t， POQ 60 ①OM MP时，如图

MOP MPO 30 PQO 90 PO 2QO 4 t 2(t 2) t ②OM OP时，如图

8

…………9分 3

1800 POM

OMP OPM 750

2

PQO PMO POM 45

10

过P点作PD ON于D点， DOP 30 DO OP 2 PD

PO2 DO2 (4 t) 2

(4 t)2

PQD 450

QD PD

OQ OD DQ t 2 分

8 413

(4 t) (4 t) t …………11223 ③OP PM时，此时 POM PMO 30，而 NOM 30， PM//ON,故舍…………1

00

88 4时， OPM为等腰三角形 当t 或

33 3

26．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB AD DC 5，BC 11．一个动点P从

点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ BC，交折线段BA AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t 0）． （1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写

出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ

沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t ,使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Q

QB

2

B

26.解：（1）作AG BC，DH BC，垂足分别为G、H 则四边形AGHD为矩形 ∵梯形ABCD，AB AD DC 5 ∴△ABG≌△DCH ∴BG

Q

(M)

1

(BC AD) 3，AG 4 2

B

∴3秒后，正方形PQMN的边长恒为4

∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ 4 ∴GP AQ AD DQ 1，BP BG GP 4

∴t 4 即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D …………2分

102

9t(0 t 3)

2t 4(3 t 4)

（2） 11228 …………6分 22

t t (4 t 7) 1233

1t2 22(7 t 8) 4

A

（3）∵ PEF QEF 180 QDF QEF

∴ PEF QDF QEF 2 ADB ABC由（1）可知EP

Q

E

11

BP t

22

1

则EF EQ PQ EP 4 t

2QAM11

①当EF EP时，4 t t

22 ∴t 4

R ②当FE FP时，作FR EP，垂足为R 13

∵ER EP EF 251131∴ t (4 t) 225248∴t

11

AQ③当PE PF时，作PS EF，垂足为S 13

∵ES EF PE

25

1131S∴(4 t) t 2252

404840∴t ∴当t 4、或时，△PEF是等腰三角111111

形 …………12分

3

26．四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（10，0），

B（8，6），直线x=4与直线AC交于P点，与x轴交于H点； （1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；

（2）求出线段PH的长度，并在直线AC上找到Q点，使得△PHQ的面积为△AOC面积的

1

，求出Q点坐标； 5

（3）M点是直线AC上除P点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在N点，使得

△MHN为等腰直角三角形？若有，请求出M点及对应的N点的坐标，若没有， 请说明理由．

y

M

B

H

x

26． 解:(1)C(2，6) (1分) 直线AC过点A(10，0)，C(2，6)，

设直线AC解析式为: y=kx+b(k≠0)

根据题意得：

0 10k b315

解得：k= ，b=，

42 6 2k b

315

x+ （3分） 42

99

（2）将x=4代入上述解析式，y=，即PH= （4分）

22

315

∵Q点在直线AC上，设Q点坐标为（t， t+）

42

111204

由题知：PH·|t-4|=×OA·|yC|，解得t=或， （6分）

25233

205413

即满足题意的Q点有两个，分别是Q1（，）或Q2（，） （7分）

3232

即直线AC：y=

（3）存在满足题意的M点和N点， （8分） 设M点坐标为（a，

315

a+）， 当a﹥10时，无满足题意的点； 42

46315

①若∠MNH为直角，则MN=HN，即 a+=︱a-4︱,解得a=或-14，

472

4618

此时M点坐标为（，）或（-14,18）； (10分)

77

②若∠HMN为直角，则过M作MM′⊥x轴交于M′点，则H M′= M′N=M M′，

4

综上，当M点坐标为（

46184664，）时，N点坐标为N1（，0）或N2(，0)； 7777

当M点坐标为（-14,18）时，N点坐标为N3（-14，0）或N4(-32，0).

26．如图1

，已知点A，点B在x轴正半轴上，且 ABO 30．动点P在线段AB

上从点A向点B

t秒．在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

(1)求直线AB的解析式；

(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；

(3)如图2，如果取OB的中点D，以0D为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上．从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE叠部分的面积为S，请求出S与 t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

26．如图1

，已知点A，点B在x轴正半轴上，且 ABO 30．动点P在线段AB

上从点A向点B

t秒．在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

(1)求直线AB的解析式；

(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；

(3)如图2，如果取OB的中点D，以0D为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上．从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE叠部分的面积为S，请求出S与 t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

5

26.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=O是

AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3.一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿

OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E

、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t≥0）. （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，

请直接写出S与t之间的函数关系和相应的自变量t的取值范围； （3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△

AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

26题图

26题图

2（2）当0≤t 1时，S 当1≤t 3时，S

2t ． 22

D

当3≤t 4时，S 当4≤t 6时，S

2 ．

A

E O

B

F P

（3）存在．理由如下： 在Rt△ABC中，tan∠CAB

BC ∠CAB 30 ， AB3

26题答图①

又 ∠HEO 60， ∠HAE ∠AHE 30， AE HE 3 t或t 3． （ⅰ）当AH AO 3时（如图②），过点E作EM AH于M． 则AM

13

AH ． 22

D

A

E O 26题答图②

B

AM

在Rt△AME中，cos∠MAE ，

AE

3

即cos30 ，

AE

P

AE 3 t t 3 t 3 t 3 ．

D

（ⅱ）当HA HO时，（如图③），

则∠HOA ∠HAO 30，又 ∠HEO 60， ∠EHO 90，

EO 2HE 2AE．

又 AE EO 3， AE 2AE 3． AE 1．即3 t 1或t 3 1．

t 2或t 4．

（ⅲ）当OH OA时（如图④）, 则∠OHA ∠OAH 30．

D

∠HOB 60 ∠HEB． 点E和O重合．

A

AE 3．即3 t 3或t 3 3．

t 6(舍去)或t 0．

O(E) 26题答图④

B

P

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即

t 3 t 3 t 2或t 4或t 0．

26．26．如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点

E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①． （1）求CD的长及∠1的度数；

（2）设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式？ （3）当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，

速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

26题图① 26题图②

26. （1） 过点A作AH⊥BC于点H （1分）

∵在Rt△AHB=6，∠B=60° ∴AH=AB·sinB=

∵四边形ABCD为直角梯形 ∴四边形AHCD为矩形

∴CD=AH

=

（2分）

CD∵tan∠CAD=

AD∴∠CAD=30° ∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30° （4分）

（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE

∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60° ∴∠GEC=60°

因为△CEG

是直角三角形 ∴∠EGC=30°

11

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

2

21

由DE+EC=CD 得x x

2

∴x=

（ 5分）

当0＜x≤

1

y S△EGF S

△EDF DE

DF

2

12

x x 2

当

x≤时，设FG，

EG分别交BC

∵DE=x

∴EC=x，NE=2x ∴NG=GE－NE=x 2x=3x 又∵∠MNG=∠

ENC=30°，∠G=90° ∴MG=NG tan30

3x 211S△MNG NG MG 3x 3x 3x

22 （9分）

(3)由题意可知:AB=6,分三种情况： ①若AE=BE, 解得t=9 ②若AB=AE,解得

③若BA=BE，解得分)

8

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