概率论与数理统计第四版_习题答案_第四版_盛骤__浙江大学出版

第一章 概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

o1n?100?S????,??，n表小班人数

nnn??（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，???，n，???}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。

表示为： ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C) （2）A，B都发生，而C不发生。 表示为： ABC或AB－ABC或AB－C （3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都发生，

表示为：A+B+C

表示为：ABC

表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C （5）A，B，C都不发生，

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

B,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC相当于A。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A ?B?C或ABC

（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

1(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(BC)?07.[四] 设A，B，C是三事件，且P，41P(AC)?. 求A，B，C至少有一个发生的概率。

8解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)

3150? －P(AC)+ P(ABC)= ??488

8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

∵ 从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。

2

字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴

9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有10种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有A10

∴

10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

4A10P(A)?4?0.504 1044

5511P(A)?2? 130A26?10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有?3?种，且每种选法等可能。

???5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1??2?

??

∴

?5?1??2????1P(A)? 10??12?3???

（2）求最大的号码为5的概率。

?10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有?3?种，且

???4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1??2???种

?4?1??2????1P(B)? 10??20?3???

11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432?CC取得4白3黑2红的取法有C104?3

9

432C?C?C2521043P(A)?? 62431C17故

12.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A

?1500?∵ 在1500个产品中任取200个，取法有?200?种，每种取法等可能。

??1100?400?????110?种 200个产品恰有90个次品，取法有?90????1100?400????90??110?????P(A)? 1500???200???∴

（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品” B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法1100?1100??400????199?种 有?200?种，200个产品含一个次品，取法有?1???????∵ A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??11004001100??????????????2001199??????P(A)?1?P(A)?1?[P(B)?P(B)]?1???? 0115001500??????????200200????????

13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对”

?10?∵ 从10只中任取4只，取法有?4?种，每种取法等可能。

??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

?5??24?4? ??

44C285??P(A)?4?21C10 813P(A)?1?P(A)?1??2121

15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有4种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)

3

4?3?26P(A)?3? 1164

2对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C3?4?3种。

(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

2C?4?393P(A)?? 231642

对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种)

41P(A)?? 33164

16.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个

部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

?C?C???C对E：铆法有C种，每种装法等可能 50474423?C?C??C对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C〕3103474423种

333333333333[C?C?C???C]?1013474423P(A)?33??0.00051 31960C?C????C504723

法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，

3

?A?A?A????A?A?10?A?A30”位置上。这种铆法有A种 34734734734732710?A?A3471P(A)?30??0.00051 1960A5032732732732

(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)17.[十三] 已知P。

解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?ABAB)(AB)??. 故有 注意(P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理， P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8

P[B(A?B)]P(AB)0.2(B|A?B)????0.25于是P 0.8P(A?B)P(A?B)

由已知解二:P(AB)?P(A)P(B|A)????05?07?P(B|A)0.5521?P(B|A)???P(B|A)?　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?0.7775 1P(BA?BB)P(BA)定义P(B|A?B)??5?0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5 111(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)18.[十四] P。

43211?P(AB)P(A)P(B|A)定义1143由已知条解：由P (A|B)???????有??P(B)?P(B)P(B)2P(B)6

1(AB)?P(A)P(B|A)? 由乘法公式，得P12

1111(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????由加法公式，得P 46123

19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。

21(A)??} A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P63P(AB)P(A|B)?方法二：（用公式 P(B)

S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则

612P(B)??,P(AB)?， 2626622P(AB)621(A|B)???? 故PP(B)1636

20.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|

母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.630.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6.

从而P (ABC)= P (AB) 2 P(C|AB)=0.330.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

2C288P(A)?2??0.62 45C10

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。 2A288P(A)?2? 45A10 法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

8728P(A)?P(AA)?P(A)P(A|A)??? 122110945

（2）二只都是次品（记为事件B）

2C12P(B)?2? 45C10法一：

法二：

法三：

2A12P(B)?2? 45A10211P(B)?P(AA)?P(A)P(A|A)??? 1212110945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

11C?C8216P(C)?2? 45C10法一：

法二：

法三：

112(C?C)?A82216P(C)?? 245A10P(C)?P(AA?AA)且AA与AA互斥 12121212

[C?(0.7)?0.3]?0.24 ? 3

9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

2211?解：（1）P (一次成功)=C470 83313697()()?（2）P (连续试验10次，成功3次)= C。此概率太小，按10707010000实际推断原理，就认为他确有区分能力。

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.9≈0.349

10

0.10.9?C0.10.9?0.58（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C 1010

（3）P {Y=0}=0.9 ≈0.590

（4）P {0

5

22819 ≈0.349+0.343=0.692

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：

84?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算）

8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

P{X?3}?P{X?4}?0.56

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），

X的分布函数是

?0.4x?1?e,x?0F(x)?? X0x?0?

求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}

3)?1?e解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(

?1.2

?F4)?e （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1X(

?1.6

?1.2?1.6(4)?F(3)?e?e （3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}= P{至多3分钟}+P{至少4分钟}

?1.2?1.6?e?e =1

（5）P{恰好2.5分钟}= P (X=2.5)=0

0,x?1,??(x)?lnx,1?x?e,， ?18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX?,x?e.?1求（1）P (X<2), P {0

5555P(2?X??F()?F(2)?ln?ln2?ln XX2224

1??,1?x?e,(x)?F'(x)?x?（2）f ?,其它?0

20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为

2?2?1?x?1?x?1f(x)?（1） ???其它?0

?x?1?x0?x)?2?x1?x?2?（2）f(

?其他?0

求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时：

X21??21F(x)?0dx?1?xdx?x1?x?arcsinx????1ππ22????1 1121?x1?x?arcsinx?ππ2??1?x22

?1122xF(x)?0dx?1?xdx?0dx?1当1

故分布函数为：

?0x??1?1121F(x)?x1?x?arcsinx??1?x?1? ππ2?11?x?

(x)?P(X?x)?f(t)dt解：（2）F

???x

当x?0时,F(x)?0dt?0??2x当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02?x 2x当1?x?2时,F(x)?0dt?tdt?(2?t)dt?2x??1??012?0?x?0?1?x当2?x时,F(x)?0dt?tdt?(2?t)dt?0dt?1??012?0?1?2?x

故分布函数为

0?2?x??2F(x)??2x?2x??12??1?

x?00?x?1 1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x

f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

1000??2x?1000f(x)?? x?其它?0现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

1500100011500??P(X?1500)?1?P(X?1500)?1?2dx?1?1000(?)??10001000?x?x 22?1?(1?)?33?

2(5,)，令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B3121??514??P(Y?2)?1?P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?1?()?C?()?()?5?333?? 1?5?211232?1??1??52432433

23.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

x??15?e,x?0F(x)?? X5?,其它?0

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

??????1?255 P(X?10)?f(x)dx?edx??e?eX1010105????xx

5???2?2k?25?k~B(5,e).即P(Y?k)?e(1?e),(k?1,2,3,4,5??因此Y k??

1?2555P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?1?(1?)?1?(1?0.13)7.3895?1?0.8677?1?0.4833?0.5167.2x?4xK?K?2?0 24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4有实

根的概率

1??0?K?5(K)?5?0? ∵ K的分布密度为：f ?0其他?

要方程有根，就是要K满足(4K)－4343 (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴

25.[二十三] 设X～N（3.2）

（1）求P (22}，P (X>3)

2

2

??5?31?P(K?2)?f(x)dx?dx?0dx? 22555????β?μ2

∵ 若X～N（μ，σ），则P (α

∴

???α?μ??φ?? ??σ??5?3??2?3?P (2

???? =0.8413－0.3085=0.5328

?10?3???4?3?P (－4

???? =0.9998－0.0002=0.9996 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )

???2?3?2?3??????????? =1 ??2???2???

=1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977

?3?3??=1－0.5=0.5 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)

∵ 得 又

P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=1=0.5 2C?3C?3???0.5,查表可得?0?P (X≤C )=φ?22 ∴ C =3 ??2(110,12)26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.

105?1101)P(X?105)??()??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.661?0.33解:( 12 120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)121266 5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526

x?110x?110(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??()?0.05??()?0.95.1212 x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小X?129.74.12

27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)

=1－P (10.05－0.12

??(10.05?0.12)?10.05(10.05?0.12)?10.05???????? =1－? ?0??0?.06.06??????

=1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456

28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

200?160120?1604040????????????????0.80????????∵ P (120＜X≤200)=? σσσσ????????

又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)

???4040?????1???0.80????∴ 上式变为 ?σσ???????

4040????便得:??0.9???? 解出? σσ????

再查表，得

30.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2， －1， 0， 1， 3 1111P：， ， ， ，

56515

求Y=X 的分布律

∵ Y=X ：(－2)

1 P：

5

再把X 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1 4

1111 P： ?

61555

31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e的分布密度

X22

2

2

4040?1.281σ??31.25 σ1.28111 30 (－1) (0) (1)

111 6515222

(3) 11 302

9 11 3010?x?1?(x)??∵ X的分布密度为：f 0x为其他?

Y=g (X) =eX是单调增函数

X=h (Y)=lnY，反函数存在

α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

又 且

??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

1?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?y?e?ψ(y)?y?∴ Y的分布密度为： ?0y为其他?

（2）求Y=－2lnX的概率密度。

∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 又 且

Y?X?h(Y)?e2 反函数存在。

α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

yy??1?1220f[h(y)]?|h'(y)|?1??e?e?y????(y)?22?∴ Y的分布密度为：ψ ?0y为其?

32.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=e的概率密度

X1?2f(x)?e,???x???∵ X的概率密度是 2π

Y= g (X)=e 是单调增函数 又 且

X2xX= h (Y ) = lnY 反函数存在

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

2(lny)??121?f[h(y)]?|h'(y)|?e?0?y???ψ(y)?? y2π?0y为其他?

（2）求Y=2X+1的概率密度。

2

在这里，Y=2X+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y），

2

则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X+1≤y)

2

?y??1y?1??P??X? =? ?22??

当y<1时：FY ( y)=0

x?y?21??1y?12?(y)?P??X???edx当y≥1时：F y?2?y2?12π??y?12??2

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?2x??1?2??edx 当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =??y??12???2?y?12

?14e = 2π(y?1)y?1

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=

∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?y?y1?2edx 2π2x?22yx?y1??2?22?edx?e当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =? ???πy2π???

33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 的概率密度。 ∵ 又 且

3

Y=g (X )= X 3

1是X单调增函数，

X=h (Y ) =Y3，反函数存在，

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| =

12?133f(y)?y,???y???,但y?0 3?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 的概率密度。

?x?ex)??法一：∵ X的分布密度为：f(0?2

x?0 x?0y=x2

Y=x是非单调函数

2

当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 2

y

当 x<0时 y=x? x?2

O x y

??(?y)(?y)?f(y)(y)∴ Y～ fY (y) = f －y y 1?1?yy?0?e?e,y?0?2y2y? = ?0y?0?

~F(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)法二：Y Y

y??y?xdx?0?1?e,y?0?e0? ?0,y?0??

?y?1e,?2y∴ Y～ fY (y) =??0,?y?0. y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

2x??x?π?20f(x)? π??0x为其他?

求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =

当1

∴ Y的概率密度ψ( y )为： arcsiny2xπ2xdx?dx22 π?arcsinyππ?0?y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0

?arcsinyπ2x2x??dx?dx0

=

1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (F )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求

5T?32)] θ(℃)的概率密度。[已知θ?(9o

2π1?y2 1?2?2(t)?e,???t???法一：∵ T的概率密度为f 222(t?98.6)?

5?g(T)?(T?32) 又 θ 是单调增函数。

99?h(θ)?θ?32 T 反函数存在。

5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

92(θ?32?98.6)51?49ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?e? 2π25

法二：根据定理：若X～N（α由于T～N（98.6, 2）

1，

281(θ?37)?9?e100,???θ???10π σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a σ )

22

????5160516053335????θ?T?~N?98.6?,?2?N,?2????????故 9999999????????????

故θ的概率密度为：

?333?????9??22?2??

1()?e52295??2??2??9??2?281(??37)9?100 ?e,??????10??

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

0,若第一次取出的是,??X? ??1,若第一次取出的是??

0,若第二次取出的是,??Y? ??1,若第二次取出的是??

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )= P (X=0, Y=1 )= P (X=1, Y=0 )= P (X=1, Y=1 )=

或写成 X Y 0 0 1 101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 12123625 36 5 36 5 36 1 36 10945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 1211661 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }= P {X=0, Y=1 }= P {X=1, Y=0 }= P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 0 1 45 66 10 66 10 66 1 66 1 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X 0 1 2 3 Y 0 0 0 3 35 12 35 3 35 2 35 2 35 0 j=0，12，i + j≥2，联合

1 0 6 35 6 35 2 1 35 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， 分布律为 P {X=0, Y=2 }= P {X=1, Y=1 }= P {X=1, Y=2 }= P {X=2, Y=0 }=22C2C24C7?1 35112CCC3224C76? 35121CC32C24C76? 3522C3C24C7?3 35

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