四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试数学理试题 Word版含答案

四川省资阳市高中2011级第一次诊断性考试

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∩B＝ （A）{3，5} （C）{5，8}

（B）{6，8}

（D）{3，4，5，6，7，8}

2．已知向量a＝(3, 4)，b＝(1, 3)，则a－2b＝ （A）(1, 3) （C）(2, 1)

（B）(1, －2) （D）(2, －2)

3．已知i是虚数单位，a，b∈R，且(a?i)i?b?2i，则a＋b＝ （A）1

（B）－1

（C）－2

（D）－3

4. 函数f(x)?x的定义域为

lg(x?1)（A）(1，2)?(2，??) （C）(2，??)

（B）(0，1)?(1，??) （D）(1，??)

5. 命题p:?n?Z，n?Q，则 （A）?p:?n?Z，n?Q

（B）?p:?n?Z，n?Q （D）?p:?n0?Z，n0?Q

（C）?p:?n0?Z，n0?Q

6. ?ABC中，若sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC?0，则A? （A）（C）

2? 3

（B）（D）

5? 6? 3? 67. 若把函数y?sin?x（??0）的图象向左平移是

?个单位后与函数y?cos?x的图象重合，则?的值可能3第1页

（A）13

（B）12 （C）

32

（D）

23 8. 函数y?xln|x|的图象大致是

（A）

（B）

（C）

（D）

9．已知函数f(x)?ex?me?x，若f?(x)?23恒成立，则实数m的取值范围是 （A）[0,??) （B）[2,??) （C）[3,??)

（D）(??,3]

10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量???AP??mAB?????nAF????（m，n为实数），则m?n的取值范围是 （A）(1,2] （B）[5,6] （C）[2,5]

（D）[3,5]

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圆心在线段

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P(2,4)，则tan(??)?___________.

412．若2a?10，b?log510，则

11??______. ab?13．已知向量a，b的夹角为45?，|a|?|b|?2， 且向量a与?b?a垂直，则实数??________. 14．已知x?R，根据右图所示的程序框图，则 1不等式f(x)≥?x?2的解集是____________.

215．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数f(x)的图象恰好通过k（k?N*）个整点，则称f(x)为k阶整点函数．给出下列函数：

11①f(x)?cosx；②f(x)??(x?1)2；③f(x)?()x?2；④f(x)?log0.6(x?1)；⑤f(x)?.

3x?1其中是1阶整点函数的序号有______________.（写出所有满足条件的函数的序号） 三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）在等比数列{an}中，a1?1，且4a1，2a2，a3成等差数列. （Ⅰ）求an；

（Ⅱ）令bn?log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

17.（本小题满分12分）设向量m?(cos?，1)，n?(sin?，2)，且m∥n，其中??(0,（Ⅰ）求sin?；

3?（Ⅱ）若sin(???)?，??(0，)，求cos?.

52?2).

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18.（本小题满分12分）设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x?0时，f(x)??x2?4x. （Ⅰ）求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≥x；

（Ⅱ）设g(x)?2x?1?m，若对任意x1?[?1，4]，总存在x2?[2，5]，使f(x1)?g(x2)，求实数m的取值范围．

19.（本小题满分12分）已知函数f(x)?2sin(x?)cosx?sinxcosx?3sin2x（x?R）.

3（Ⅰ）求f(x)在[0,?]内的单调递增区间；

（Ⅱ）在?ABC中，B为锐角，且f(B)?3，AC?43，D是BC边上一点，AB?AD，试求AD?DC的最大值．

20.（本小题满分13分）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，

更大的矩形

?AB?3米，

AD?2米．

（Ⅰ）要使扩建成的花坛面积大于27米2，则AN的长度应在内？

（Ⅱ）当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．

21.（本小题满分14分）已知函数f(x)?2lnx?x2?ax（a?R）. （Ⅰ）当a?2时，求f(x)的图象在x?1处的切线方程；

1（Ⅱ）若函数g(x)?f(x)?ax?m在[,e]上有两个零点，求实数m的取值范围；

e什么范围

（Ⅲ）若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)，且0?x1?x2， 求证：f?(

x1?x2． )?0（其中f?(x)是f(x)的导函数）

2资阳市高中2011级第一次诊断性考试数学参考答案及评分标准（理工类）

一、选择题：CBDAD，ACBCC.二、填空题：11.?3；12.1；13.2；14.[0，4]；15.①②④. 16.【解】（Ⅰ）设{an}的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，得4a1?a3?4a2. 又a1?1，则4?q2?4q，解得q?2. ∴an?2n?1（n?N* ）. ········································· 6分 （Ⅱ）bn?log22n?1?n?1，∴bn?1?bn?1，{bn}是首项为0，公差为1的等差数列，

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n(n?1). ·································································································· 12分 217.【解】（Ⅰ）∵m//n，∴2cos??sin?， ··································································· 2分

14又sin2??cos2??1，∴sin2??sin2??1，∴sin2??， ·········································· 4分

4525?∵??(0，)，∴sin??0，故sin??. ······································································ 6分

52它的前n项和Sn?（Ⅱ）∵??(0，)，??(0，)，∴??????.

222225534∵sin(???)?，∴cos(???)?；sin??，cos??． ································· 9分

5555··············································· 11分 cos??cos[??(???)]?cos?cos(???)?sin?sin(???)

5425325. ························································································· 12分 ????5555518.【解】（Ⅰ）当x?0时，f(x)?0； ·············································································· 1分

?????当x?0时，有?x?0，由f(x)??f(?x)??[?(?x)2?4(?x)]?x2?4x. ···························· 3分

??x2?4x，x?0，?∴f(x)的解析式为f(x)??2 ······································································ 4分

x?4x， x?0.??当x?0时，f(x)?x为?x2?4x?x，解得0?x?3；当x?0时，f(x)?x为x2?4x?x，解得x??3.故不等式f(x)?x的解集是{x|x??3或0?x?3}. ···································································· 6分

（Ⅱ）当?1?x?0时，f(x)?x2?4x?(x?2)2?4，知f(x)?[?3，0)；当0?x?4时， ·· 8分 f(x)??x2?4x??(x?2)2?4，知f(x)?[0，4]时，f(x1)?[?3，4]. ·4]，∴当x1?[?1，∵g(x)?2x?1?m是R上的增函数，∴当x2?[2，·········· 9分 5]时，g(x2)?[2?m，16?m]， ·∵对任意x1?[?1，··· 10分 4]，总存在x2?[2，5]使f(x1)?g(x2)，∴[?3，4]?[2?m，16?m]， ·?2?m??3,则?解得?12?m??5，故实数m的取值范围是[?12，···························· 12分 ?5]. ·

16?m?4,?1319.【解】（Ⅰ）f(x)?2(sinx?cosx)cosx?sinxcosx?3sin2x

22?2sinxcosx?3(cos2x?sin2x)?sin2x?3cos2x?2sin(2x?). ································ 2分

3????5?由??2k??2x???2k?，得??k??x?························· 3分 ?k?（k?Z）. ·

2321212?5?5?取k?0，得??x?，又x?[0,?]，则x?[0,]； ·············································· 4分

12121211?17?11?取k?1，得，又x?[0,?]，则x?[············································· 5分 ?x?,?]. ·

1212125?11?∴f(x)在[0，?]上的单调递增区间是[0,]，[················································ 6分 ,?].

1212?3???2?（Ⅱ）由f(B)?3得sin(2B?)?.又0?B?，则??2B??，从而

322333?333由AB?AD知?ABD是正三角形，AB?AD?BD，∴AD?DC?BD?DC?BC，

2B????，∴B??. ······································································································· 8分

在?ABC中，由正弦定理，得43sin?3?BC，即BC?8sin?BAC.

sin?BAC32?，∴?sin?BAC?1，知43?BC?8.

23第5页

∵D是BC边上一点，∴

?3??BAC?

当?BAC??2，C??6时，AD?CD取得最大值8. ···························································· 12分

【另】在?ACD中，由正弦定理，得

ADDC43，∴AD?8sinC， ???2?sinCsin(?C)sin3331??cosC?sinC) CD?8sin(?C)，则AD?DC?8sinC?8sin(?C)?8(sinC?223331?2????2?，∴0?C?，?C??， ?8(cosC?sinC)?8sin(C?)．∵?ADC?22333333当C??3??2，即C??6时，AD?DC取得最大值8. ························································ 12分

DNDC， ?ANAM20.【解】（Ⅰ）设AN?x（米），则x?2.∵?DCN??AMN，∴则

x?233x，AM?. ······························································································ 2分 ?xAMx?23x2∴花坛AMPN的面积S?AM?AN?（x?2）. ························································ 4分

x?223x由S?27，得?27，则x2?9x?18?0，∴2?x?3或x?6，

x?2故AN的长度范围是2?AN?3或AN?6（米）. ······························································ 8分

3x23[(x?2)2?4(x?2)?4]4（Ⅱ）由S?······················ 12分 ??3[(x?2)??4]?24， ·

x?2x?2x?24当且仅当x?2?，即x?4（米）时，等号成立.

x?2∴当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米2. ············ 13分

DNDC【另】（Ⅰ）设DN?x（米）(x?0)，则AN?x?2. ∵?DCN∽?AMN，∴， ?ANAMx36则，AM?3?. ······························································································ 2分 ?x?2AMx612∴花坛AMPN的面积S?AM?AN?(3?)(x?2)?3x??12（x?0）. ····················· 4分

xx12由S?27，得3x??12?27，则x2?5x?4?0，∴0?x?1或x?4，

x故AN的长度范围是2?AN?3或AN?6（米）. ······························································ 8分

（Ⅱ）由S?(3?6)(x?2)?3x?12?12?23x?12?12?24， ··············································· 12分

xxx12，即x?2（米）时，等号成立. x∴当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米2. ············ 13分

221.【解】（Ⅰ）当a?2时，f(x)?2lnx?x2?2x，f?(x)??2x?2，切点坐标为(11)，，

x切线的斜率k?f?(1)?2，则切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1. ···························· 2分

当且仅当3x?（Ⅱ）g(x)?2lnx?x2?m，则g?(x)?2?2x??2(x?1)(x?1)，

xx11∵x?[，e]，故g?(x)?0时，x?1.当?x?1时，g?(x)?0；当1?x?e时，g?(x)?0.

ee故g(x)在x?1处取得极大值g(1)?m?1. ··········································································· 4分

11111又g()?m?2?2，g(e)?m?2?e2，g(e)?g()?4?e2?2?0，则g(e)?g()，

eeeee1∴g(x)在[，e]上的最小值是g(e). ··················································································· 6分

e

第6页

?g(1)?m?1?0,11解得， g(x)在[，e]上有两个零点的条件是?1?m?2?21?1ee?g()?m?2?2?0,?ee1······················································································ 8分 ]. ·e2（Ⅲ）∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1，，0)B(x2，0)，

∴实数m的取值范围是(1，2?2??2lnx1?x1?ax1?0,∴方程2lnx?x?ax?0的两个根为x1，x2，则?两式相减得22lnx?x?ax?0,??2222(lnx1?lnx2)2.又f(x)?2lnx?x2?ax，f?(x)??2x?a，则a?(x1?x2)?x1?x2x2f?(x1?x22(lnx1?lnx2)44. ···················································· 10分 )??(x1?x2)?a??2x1?x2x1?x2x1?x2x2(lnx1?lnx2)4，即证明2(x2?x1)?lnx1?0，t?1， ??0（*）

x2x1?x2x2x1?x2x1?x2∵0?x1?x2，∴0?t?1，即证明u(t)?2(1?t)?lnt?0在0?t?1上恒成立. ··················· 12分

t?1?t)114(t?1)2∵u?(t)??2(t?1)?2(1，又0?t?1，∴u?(t)?0， ????(t?1)2tt(t?1)2t(t?1)2∴u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)?u(1)?0，从而知2(x2?x1)?lnx1?0，

x1?x2x2故（*）式＜0，即f?(x1?x2)?0成立. ·················································································· 14分

2下证

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