常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式

⑴ (C) 0（C为常数）⑵ (xn) nxn 1；一般地，(x ) x 1。 特别地：(x) 1，(x2) 2x，()

1x

11

，。 (x) 2

x2x

⑶ (ex) ex；一般地，(ax) axlna (a 0,a 1)。 ⑷ (lnx)

11

(a 0,a 1)。 ；一般地，(logax)

xxlna

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x) g(x)) f (x) g (x)； （Ⅱ）(f(x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf(x)) Cf (x)（C为常数）； （Ⅲ）(

f(x)f (x)g(x) f(x)g (x)1g (x)

，特别。 ) , (g(x) 0)() 22

g(x)g(x)g(x)g(x)

3．微分 函数y f(x)在点x处的微分：dy y dx f (x)dx 4、 常用的不定积分公式

1 1x2x32

xdx 1x C ( 1), dx x c, xdx 2 c, xdx 3（1） ；

4x3

xdx c 4

1axxxx

C (a 0,a 1)； （2） dx ln|x| C； edx e C； adx

xlna

（3）kf(x)dx kf(x)dx（k为常数） 5、定积分

b

a

f(x)dx F(x)|ba F(b) F(a)

⑴

b

a

[k1f(x) k2g(x)]dx k1 f(x)dx k2 g(x)dx

a

a

bb

⑵ 分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数u (x),v (x)，则

常用的求导积分公式及解法

u(x)dv(x) u(x)v(x)

a

b

ba

v(x)du(x)

a

b

6、线性代数 特殊矩阵的概念

（1）、零矩阵 O2 2

10 0

01 0

00 10 、单位矩阵In 二阶I2 2 ,（2） , 0001

00 1

a10 0

2 21 0a 0

2 (4)、对称矩阵a a,A 1 3 5 (3)、对角矩阵A ijji

2 57

000an a11 0

(5)、上三角形矩阵A

0 a11 a21

(6)、矩阵转置A

an1

a12a22 an2

a1n a10 0

0a 0 a22 a2n 2 下三角形矩阵A

00ann 000an a1n a11

a a2n T 转置后A 12

ann a1n

a21 an1

a22 an2

a2n ann

a12

ab e

6、矩阵运算 A B gcd

ab e

AB

cd g

7、MATLAB软件计算题

f a eb f h c gd h

f ae bgaf bh

h ce dgcf dh

例6 试写出用MATLAB软件求函数y x x2 ex)的二阶导数y 的命令语句。 解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)

例：试写出用MATLAB软件求函数y x ex)的一阶导数y 的命令语句。

>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y)

常用的求导积分公式及解法

例11 试写出用MATLAB软件计算定积分解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用MATLAB软件计算定积分

1

2

1x3

edx的命令语句。 x

1x3

edx的命令语句。 x

解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y)

MATLAB软件的函数命令

典型例题

例1 设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

常用的求导积分公式及解法

找空格对应的闭回路，计算检验数： 11＝1， 12＝1， 22＝0， 24＝－2 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1 调整后的第二个调运方案如下表：

求第二个调运方案的检验数： 11＝－1 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2 调整后的第三个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

求第三个调运方案的检验数：

12＝2， 14＝1， 22＝2， 23＝1， 31＝9， 33＝12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：

2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元） 例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300

常用的求导积分公式及解法

元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。

2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为

maxS 400x1 250x2 300x3

4x1 4x2 5x3 180

6x1 3x2 6x3 150 x，x，x 0 123

2．解上述线性规划问题的语句为： >>clear;

>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2 1

10 1 41 ，C 10 ，求：AB CT 例3已知矩阵A ，B 1 2 012 1 1

2 1 10 1 10 10 11 21 解：AB C 41 1 2 6 1 0 2 6 3 012 1 1

例4 设y＝(1＋x)lnx，求：y

2

1 x2

解：y (1 x) lnx (1 x)(lnx) 2xlnx

x

2

2

ex

例5 设y ，求：y

1 x

(ex) (1 x) ex(1 x) xex

解：y 22

(1 x)(1 x)

例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万

2

元，销售该产品q百台的收入为R (q)＝4q－0.5q（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？

解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2

2

利润函数L (q)＝R (q)－C(q)＝－0.5q＋3q－2 令ML(q)＝－q＋3＝0 得唯一驻点 q＝3（百台） 故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为

常用的求导积分公式及解法

L (3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）

例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数C(q)

q1000000000

40q

令C (q)

11000000000

0得定义域内的唯一驻点q＝200000件。 240q

10

即经济批量为200000件。 例9 计算定积分：解：

1

(x 3ex)dx

125xx1(x 3e)dx (x 3e) 3e |0 0

22

例10 计算定积分：解：

1

3

2

(x2 )dx

x

1

3

32126

(x2 )dx (x3 2ln|x|)| 2ln3

1x33

教学补充说明

1. 对编程问题，要记住函数e，lnx，x在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，

log(x)，sqrt(x)；

2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：

a

xdx

x

1a 1

x c（a≠－1） a 1xxedx e c

1

xdx ln|x| c

7. 记住两个函数值：e＝1，ln1＝0。

模拟试题

一、单项选择题：（每小题4分，共20分）

1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

(A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过

2．某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（ D ）。 (A) max S＝500x1＋300x2＋400x3 (B) min S＝100x1＋50x2＋80x3 (C) max S＝100x1＋50x2＋80x3 (D) min S＝500x1＋300x2＋400x3

常用的求导积分公式及解法

2 1 12

3. 设A 。 ,B x7 ，并且A＝B，则x＝（ C ）

4 x7

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

2

4．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q＋50q＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。

(A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000

5. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。

(A)

100

300

MR(q)dq C(0)

(B) (D)

300MR(q)dq 100MR(q)dq

300

100

(C) MR(q)dq

二、计算题：（每小题7分，共21分）

2 1

10 1 41 ，C 10 ，求：AB＋C 6．已知矩阵A ，B 1 2 012 1 1

2 1

10 1 10 10 10 20 解：AB C 41

012 1 1 1 2 6 1 1 2 7 3

7. 设y

lnx

，求：y 1 x3

1 x32

3xlnx33

(lnx) (1 x) (lnx) (1 x) 解：y

(1 x3)2(1 x3)2

8. 计算定积分：解：

1

0

1

(x3 2ex)dx

1473xx1

(x 2e)dx (x 2e) 2e | 0044

三、编程题：（每小题6分，共12分）

9. 试写出用MATLAB软件求函数y x x2 ex)的二阶导数y 的命令语句。解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)

10. 试写出用MATLAB软件计算定积分

10

xexdx的命令语句。

解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1)

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

常用的求导积分公式及解法

11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

q1000000000 解： 库存总成本函数C(q) 40q

令C (q)

11000000000

0得定义域内的惟一驻点q＝200000件。 240q

即经济批量为200000件。

12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为

maxS 400x1 250x2 300x3

4x1 4x2 5x3 180

6x1 3x2 6x3 150 x，x，x 0 123

解上述线性规划问题的语句为： >>clear;

>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 线性规划习题

1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。

解：设生产甲产品x1吨，乙产品x2吨。 线性规划模型为： maxS 3x1 4x2

常用的求导积分公式及解法

x1 x2 6 x 2x 8 12

x2 3 x1,x2 0

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear; >> C=-[3 4];

>> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2. 某物流公司有三种化学产品A1，A2，A3都含有三种化学成分B1，B2，B3，每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。

解：设生产A1产品x1公斤, 生产A2产品x2公斤, 生产A3产品x3公斤,

minS 500x1 300x2 400x3 0.7x1 0.1x2 0.3x3 100 0.2x 0.3x 0.4x 50 123

0.1x1 0.6x2 0.3x3 80 x1,x2,x3 0

3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）

解：设生产桌子x1张，生产椅子x2张

maxS 12x1 10x2

10x1 14x2 1000

20x 12x 880 12 x1,x2 0

常用的求导积分公式及解法

MATLAB软件的命令语句为： >> clear;

>> C=-[12 10];

>> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000；880]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产甲产品x1件，乙产品x2件。 线性规划模型为： maxS 6x1 8x2

4x1 3x2 1500 2x 3x 1200

2 1

5x1 1800

2x 1400

2

x1,x2 0

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>> clear; >> C=-[6 8];

>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];

>> B=[1500；1200；1800；1400]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料

50吨。每吨A产品需要甲原料2吨；每吨B产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产A产品x1吨，B产品x2吨，C产品x3吨。 线性规划模型为：

maxS 3x1 2x2 0.5x3

2x1 x2 30 2x 4x 50 23

x1,x2,x3 0

常用的求导积分公式及解法

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear;

>> C=-[3 2 0.5]; >> A=[2 1;2 4]; >> B=[30；50]; >> LB=[0;0；0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mkk4.html