第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

2.设?1,?2,?,?n是n个相互独立同分布的随机变量，

nE(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i?1?in，写出所满足的切彼雪夫不等式

P{|???|??}?D(?)?2?8n?2 ，并估计P{|???|?4}? 1?12n . nD(?)??i?1D(?i)n2??2n?8n

3. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,

9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??i?1Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式

直接可得P?X?9???? 1?9?2 .

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有

P{|X??|??}???22, 或者P{|X??|??}?1???22.

由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

?9???E(X)?E??Xi???i?1?99i?E(Xi?19)??1?9,

i?19 ?2?9??D(X)?D??Xi???i?1??D(Xi?1i)??1?9.

i?1p是事件A在每次试验中出现的概率，7、设?n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，

则由中心极限定理（D－L）

P{a??n?b}＝P{a?npnpq??n?npnpq?b?npnpq}

41

b?np??np(1?p)a?npnp(1?p)12?e?t22dt

8.设随机变量?n,服从二项分布B(n,p), 其中0?p?1,n?1,2,?, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|?n?np|?x}? 0 . n???由中心极限定理（D－L） limP{|?n?np|?x}?limP{n???n???|?n?np|npqx?xnpq}

?limP{n???|?n?np|npq|?n?np|npq?xnpqxnpq}?lim[?(n???npqx)??(?xnpq)]

?limP{n????}?lim[2?(n???npq)?1]?2?(0)?1?0

二．计算题：

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数?~b(120,0.05),np?6,npq?5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

?10?6?P{??10}?1?P{??10}?1?????1??(1.67)?0.0475.

?5.7?5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设?表示六颗骰子出现的点数总和。?i表示第i颗骰子出现的点数 ，

6i = 1，2，…，6。 ?1，?2，… ，?6 相互独立，显然????i?12i

4943512E?i?16?1?2?3?4?5?6??35 272,D?i?16?1?2???622???E??21,D??应用切必雪夫不等式

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p?9???33??p??12???21?12?＝p???E??12?

?1?D???169?1?35338?0.9

答：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率不小于0.9。

6. 设随机变量?1,?2,?,?n 相互独立，且均服从指数分布

?1??e??xx?0???0? 为 使 P?f(x)???0x?0?n 问： n的最小值应如何 ？

n?k?1?k?1??1?95， ??10010??

解: E?k??1E??nn1?,D?k?1?n2

n1??1??,D??k??nk?1??1?????kn2k?1???D?k??k?11n?2

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

1?1P??n??11???????P??k?10???k?1??nn1?1??E?k?nk?1?n1?????k10?k?1?n2?95?n??1??, ?2100??1?????10??即1?100n?95100 ,从而n ? 2000 ，故n的最小值是2000 .

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解：? 设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则X~b(n,0.1)，

X?n?0.1n?0.1?0.910?n?0.1n?0.1?0.9P{X?10}?0.9，而P{?}?0.9

所以P{X?n?0.1n?0.1?0.9?10?0.1n0.09n}?0.1

由中心极限定理知，当n充分大时，

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有P{X?0.1nn?0.1?0.910?0.1n0.3n?10?0.1n0.09n}??(10?0.1n0.3n)?0.1，

? 由?(,查表得 )?0.1

10?0.1n0.3n??1.28 ?n?147

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X表示正常工作的元件数，则X~b(100,0.9)，

85?909X?100?0.9100?0.1?0.9100?909P{X?85}?P{100?X?85}?P{53X?903103??

?P{???}

由中心极限定理可知

P{X?85}??(??(10103)??(?53)??(105)?(1??()) 3355)??()?1??()?0.95 333(2)设X表示正常工作的元件数，则X~b(n,0.9)

?0.1n0.3nn3P(X?0.8n)?P(0.8n?X?n)?P{?X?0.9nn?0.9?0.1?0.2n0.3n

?P{?n3?X?0.9n0.3n?23n}?P{??X?0.9n0.3n}

?1??(?n3)??(n3)?0.95?n3?53 ?n?25

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ? 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：?( 0.6 ) = 0.7257；?( 0.63 ) = 0.7357。

解：设每个部分的长度为Xi ( i = 1, 2, …, 10 ) E ( Xi ) = 2 = ?, D( Xi ) = ? = ( 0.05 )

2

2 ,

依题意 ，得合格品的概率为

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?P??0.1??0.6310?Xi?1i10???1?20?0.1??P??0.63?(?Xi?10?2)?0.63?

3.18?0.05i?1???

???0.63???12??t2e12?2dt?2??t20.6312??t20e2dt

?2?

0.63e2dt?1?2?0.7357?1?0.4714

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金 额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需 投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参 保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

(?(x)??x??12?e?t22dt,?(1.29)?0.9015,?(1.65)?0.9505,?(3.09)?0.9990,?(3.72)?0.9999,?(4.27)?0.99999)

解：设参保人数为N人(X是出事人数，X?B(N,0.0005), 则

?1,?0,?0i?1,2,?,N,?i~?第i人不出事，?q第i人出事，1??,E?i?p,D?i?pq.p??i??NP(20000??i?1000000?100N?1000000)?0.95.i?1（P(20000X?1000000?100N?1000000)?0.95.）

NP(??i?N/200?20000)?0.95. （P{X?N/200?20000}?0.95）

i?1??P????N??i?Npi?1100N?2000000?20000NpqNpq??Np???0.95.???

10N0?由

2000000?Np20000?1.65,Npq

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N?20000?200Np?330Npq,p?0.0005,q?0.9995,0.9N?20000?330252 Npq,Npq,9N?2?10?330010581N?(36?10?3300pq)N?4?102?0,

N?45068.03N?493827160.49?0,

b2?4ac?63296.41,N?54182.22.

14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

?xn?xe,?f(x)??n!?0,?x?0,x?0.

求证

P(0?X?2(n?1))?nn?1.

?0证：由分部积分或递推公式，F(n)??xnn!edx?1

?xE(X)??2????xf(x)dx????0xn?1n!edx?(n?1)???0?x??0xn?1(n?1)!n?2?xedx?n?1,?x

E(X)????0xn?2n!2edx?(n?1)(n?2)??xx(n?2)!2edx?(n?1)(n?2),D(X)?E(X)?[E(X)]?(n?1)(n?2)?(n?1)?n?1.2

由切比雪夫不等式得

P(0?X?2(n?1))?P(|X?(n?1)|?n?1)

?P(|X?E(X)|?n?1)

?1?D(X)(n?1)2?1?n?1(n?1)2?nn?1.

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N?20000?200Np?330Npq,p?0.0005,q?0.9995,0.9N?20000?330252 Npq,Npq,9N?2?10?330010581N?(36?10?3300pq)N?4?102?0,

N?45068.03N?493827160.49?0,

b2?4ac?63296.41,N?54182.22.

14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

?xn?xe,?f(x)??n!?0,?x?0,x?0.

求证

P(0?X?2(n?1))?nn?1.

?0证：由分部积分或递推公式，F(n)??xnn!edx?1

?xE(X)??2????xf(x)dx????0xn?1n!edx?(n?1)???0?x??0xn?1(n?1)!n?2?xedx?n?1,?x

E(X)????0xn?2n!2edx?(n?1)(n?2)??xx(n?2)!2edx?(n?1)(n?2),D(X)?E(X)?[E(X)]?(n?1)(n?2)?(n?1)?n?1.2

由切比雪夫不等式得

P(0?X?2(n?1))?P(|X?(n?1)|?n?1)

?P(|X?E(X)|?n?1)

?1?D(X)(n?1)2?1?n?1(n?1)2?nn?1.

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