2019届高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理

2019届高考数学精准培优专题训练题

培优点十一 数列求通项公式

1.累加、累乘法

例1：数列?an?满足：a1?1，且an?1?an?2n?1，求an． 【答案】an?2n?n?2．

【解析】an?1?an?2n?1，an?an?1?2n?1?1，L，a2?a1?21?1， 累加可得：an?a1?2?2?L?22n?1??n?1??2?2n?1?1?2?1?n?1?2n?n?3，

?an?2n?n?2．

2．Sn与an的关系的应用

22Sn例2：在数列?an?中，a1?1，an?，则?an?的通项公式为_________．

2Sn?11?1?,n?2?【答案】an??2n?12n?3．

?n?1?1,【解析】∵当n?2,n?N?时，an?Sn?Sn?1，

22Sn?Sn?Sn?1??2Sn2?Sn?2SnSn?1?Sn?1?2Sn2，

2Sn?1整理可得：Sn?1?Sn?2SnSn?1，?11??2， SnSn?111?1????为公差为2的等差数列，????n?1??2?2n?1，

SnS1?Sn?1?1?,n?21??Sn?，an??2n?12n?3．

2n?1?n?1?1,

3．构造法

例3：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式． 【答案】an?2?3n?1?1．

1

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【解析】设an???3?an?1???即an?3an?1?2?，对比an?3an?1?2，可得??1， ?an?1?3?an?1?1?，??an?1?是公比为3的等比数列，

?an?1??a1?1??3n?1，?an?2?3n?1?1．

对点增分集训

一、单选题 1．由a1?1，an?1?A．

an给出的数列?an?的第34项是（ ） 3an?11 100B．100 C．

34 103D．

1 4【答案】A

【解析】由a1?1，an?1?an， 3an?111111174?，a4???，a3?则a2?， 117103?143??13??14711111013a5??，a6??，L，

113??1133??1161013由此可知各项分子为1，分母构成等差数列?bn?，首项b1?1，公差为d?3， ∴b34?b1??34?1?d?1?33?3?100，∴a5?2．数列?an?满足a1?A．

1 21，故选A． 1001a?1?1，n?1，则a2018等于（ ）

a2nB．?1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】n?1时，a2?1?2??1，a3?1???1??2，a4?1?∴数列的周期是3，∴a2018?a?3?372?2??a2??1．故选B．

11?，a5?1?2??1， 22 2

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3．在数列?an?中，若a1?2，且对任意正整数m、k，总有am?k?am?ak，则?an?的前n项和为Sn?（ ） A．n?3n?1? B．

n?n?3??3n?1?2

C．n?n?1?

D．

n2

【答案】C

【解析】递推关系am?k?am?ak中，令k?1可得：am?1?am?a1?am?2， 即am?1?am?2恒成立，

据此可知，该数列是一个首项a1?2，公差d?2的等差数列， 其前n项和为：Sn?na1?n?n?1?2d?2n?n?n?1?2?2?n?n?1?．故选C．

4．数列?an项和为S?n?的前n，若Sn?2n?1?n?N?，则a2017的值为（ ）

A．2 B．3 C．2017 D．3033

【答案】A

【解析】a2017?S2017?S2016?2，故选A．

5．已知数列?an?是递增数列，且对n?N?，都有an?n2??n，则实数?的取值范围是（ A．??7???2,????

B．??1,??? C．??2,??? D．??3,???

【答案】D

【解析】∵?an?是递增数列，∴an?1?an，

∵a2n?n2??n恒成立，即?n?1????n?1??n2??n，

∴???2n?1对于n?N?恒成立，而?2n?1在n?1时取得最大值?3， ∴???3，故选D．

6．在数列?a2an?1n?中，已知a1?2，an?a?2，?n?2?，则an等于（ ）

n?1A．

23n?1 B．

2n C．

3n D．

n?1 【答案】B 【解析】将等式a2an?111n?a?2两边取倒数得到a??12，1a?1?1， n?1nan?1nan?12??1??是公差为111?an?2的等差数列，a?12，

3

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111n??n?1??，故an?2．故选B． ??根据等差数列的通项公式的求法得到

an222n17．已知数列?an?的前n项和Sn，若a1?1，Sn?an?1，则a7?（ ）

3A．47 【答案】B

B．3?45 C．3?46 D．46?1

1111【解析】由Sn?an?1，可得Sn?1?an，n?2．两式相减可得：an?an?1?an，n?2．

3333即an?1?4an，n?2．数列?an?是从第二项起的等比数列，公比为4，

1又Sn?an?1，a1?1．∴a2?3，S1?3．∴a7?a247?2?3?45．故选B．

31???1??n?1?8．已知F?x??f?x???2是R上的奇函数，an?f?0??f???L?f???f?1?，2nn??????n?N?则数列?an?的通项公式为（ ）

A．an?n 【答案】B

B．an?2?n?1?

C．an?n?1 D．an?n2?2n?3

1??【解析】由题已知F?x??f?x???2是R上的奇函数，

2???1??1?故F??x???F?x?，代入得：f??x??f??x??4，?x?R?，

?2??2??1?

∴函数f?x?关于点?,2?对称，

?2?

11?x，则?x?1?t，得到f?t??f?1?t??4， 22?1??n?1?∵an?f?0??f???L?f???f?1?，an?f?1??f?n??n?令t??n?1??1??L?f?????f?0?，

?n??n?倒序相加可得2an?4?n?1?，即an?2?n?1?，故选B． 9．在数列?an?中，若a1?0，an?1?an?2n，则A．

111??L?的值（ ） a2a3ann?1 nB．

n?1 nC．

n?1 n?1D．

n n?1【答案】A

【解析】由题意，数列?an?中，若a1?0，an?1?an?2n，

则an??an?an?1???an?1?an?2??L??a2?a1??a1?2??1?2?L??n?1????n?n?1?，

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1111???∴， ann?n?1?n?1n∴

111?1??11?1?1n?1?1??L???1???????L?????1??，故选A． a2a3an?2??23?nn?n?1n?n?1?10．已知数列?an?的首项a1?1，且满足an?1?an?????n?N??，如果存在正整数n，

?2?使得?an????an?1????0成立，则实数?的取值范围是（ ） ?1?2? A．?,?2??2?1? B．?,?3??1?1? C．?,?2??25?D．?,?

?36?【答案】C

【解析】由题意n?2时，

?1??1??1?an?a1??a2?a1???a3?a2??L??an?an?1??1?????????L?????2??2??2?2n?12??1???1????3???2?n????，

由?an????an?1????0，即???an????an?1??0， 2??1??a?a???aa???a∴2k?1????2k?1且2k2k?1，k?N，2k3???2?2k?2?1????1?2k?， ??3?2?2k?12?3?12??1??2?1?其中最小项为a2??1???，a2k?1??1???????1?2k?1?，

3?4?23???2???3?2?其中最大项为a1?1，因此

1???1．故选C． 2n*11．已知数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n?N，Sn是数列?an?的前n项和，则（ ）

??A．a2018?22018

B．S2018?3?21009?3 D．数列?an?是等比数列

C．数列?a2n?1?是等差数列 【答案】B

n*【解析】数列数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n?N，

??当n?2时，an?an?1?2n?1an?1?2， 两式作商可得：an?1∴数列?an?的奇数项a1，a3，a5，L，成等比，偶数项a2，a4，a6，L，成等比，

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对于A来说，a?a2?22018?122018?2?21008?21009，错误；

对于B来说，S2018??a1?a3?L?a2017???a2?a4?L?a2018?

?1??1?21009?1?2?2??1?21009?1?2?3?21009?3，正确；

对于C来说，数列?a2n?1?是等比数列，错误； 对于D来说，数列?an?不是等比数列，错误， 故选B．

12．已知数列?an?满足：a1?1，an?1?ab1??2?5?，

an??n?N??．设bn?1??n?2????1?1?n?N?，?n?2?an???且数列?bn?是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） 2? A．???,3??B．??1,?

2??,? C．??11,? D．??12【答案】B

【解析】∵数?an?满足：a1?1，an?1??ann?N??． ?an?21212??1，化为?1??2， an?1anan?1an1?1?∴数列??1?是等比数列，首项为?1?2，公比为2，

a1?an?∴

1???1?2n，?bn?1??n?2???1?1???n?2???2n， an?an?∵b1??2?5?，且数列?bn?是单调递增数列，

2∴b2?b1，∴?1?2???2???5?，解得?1???2，

由bn?2?bn?1，可得?????n?1，对于任意的n?N?恒成立， 233，故答案为?1???．故选B． 22

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二、填空题

13．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n2?2n，则an?___________． 【答案】2n?1

【解析】数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n2?2n，

S2n?1??n?1??2?n?1?，两式想减得到an?2n?1．

此时n?1，检验当n?1时，a1?3符合题意，故an?2n?1．故答案为an?2n?1．14．数列?an?中，若a1?1，ann?1?n?1an，则an?______． 【答案】

1n 【解析】∵an1?1，an?1?n?1an，则?n?1?an?1?nan?a1?1， ∴an?1n．故答案为1n．

15．设数列?ann?满足nan?1??n?1?an?n?2?n?N??，a11?2，an?___________．【答案】n2n?1

【解析】∵nan?1??n?1?an?nn?2?n?N??， ?an?1n?1?ann?1?n?2??n?1??11n?1?n?2， ∴

anan?11aaan?n?1?n?1n?1，22?11?12?13，累加可得nn?a111?2?n?1， ∵a11?2，ann?1?1n?1?nn?1，

∴an2n2n?n?1．故答案为an?n?1．

16

．

已

知

数

列

?an?满足

a1?2，

?4an?1?5??4an?1???3111a?a?1?1?2?1a?1??na_______1??1?． ?33n?1【答案】2?2n?32 【解析】令bn?4?an?1?，则bn?1?4?an?1?1?，

7

则

，2019届高考数学精准培优专题训练题

由题意可得?bn?1?1??bn?3???3， 即bnbn?1?3bn?1?bn?0，整理可得

111??，则cn?1?3cn?1，由题意可得cn?1??3?cn??， bn22??1111313n?1c???且1，c1??，故cn???3，

b14?a1?1?4242431???1， bnbn?1令cn?141b1n11?3n?2， 即cn??3?，bn??n，an?1?n?n，cn3?24243?2an?111113n?1323n???L??3?3?3?L?3?2n??2n?． 据此可知

a1?1a2?1a3?1an?122

三、解答题

2?2an?4Sn． 17．已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，且an（1）求Sn； （2）设bn???1?n?1?n?Sn，求数列??的前n项和Tn．

?bn??【答案】（1）Sn?n2?n；（2）Tn?1?1n?1．

2??an?2an?4Sn【解析】（1）由题意得?2，两式作差得?an?1?an??an?1?an?2??0，

??an?1?2an?1?4Sn?1又数列?an?各项均为正数，∴an?1?an?2?0，即an?1?an?2， 当n?1时，有a12?2a1?4S1?4a1，得a1?a1?2??0，则a1?2， 故数列?an?为首项为2公差为2的等差数列，∴Sn?na1?n?n?1?2d?n2?n．

1（2）b?nn1?n?1?n??1Sn?n?1?nn?n?1??1n?1n?1，

n1111)?1?∴Tn????(?．

ii?1n?1i?1bii?1218．在数列?an?中，a1?4，nan?1??n?1?an?2n?2n．

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2019届高考数学精准培优专题训练题

?an?（1）求证：数列??是等差数列；

?n??1?（2）求数列??的前n项和Sn．

?an?

【答案】（1）见解析；（2）Sn?n．

2?n?1?2【解析】（1）nan?1??n?1?an?2n?2n的两边同时除以n?n?1?，得

an?1an??2?n?N??， n?1n?an?∴数列??是首项为4，公差为2的等差数列

?n?a（2）由（1），得n?2n?2，

n∴an?2n2?2n，故

111?n?1??n1?11??2???????， an2n?2n2n?n?1?2?nn?1?∴Sn?1??1??11?1???11?????????????? 2??nn?1????2??23?1??111??111??1?1?n???1?????????????1?????2??23n??23n?1???2?n?1?2?n?1?．

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