第1讲：空间几何体，及其表面积和体积，平面的基本性质

第1讲：空间几何体，及其表面积和体积，平面的基本性质

【知识整合】

一、柱、锥、台、球的结构特征 1. 柱体

（1）棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

（2）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

2. 锥体

（1）棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥。

正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的正射影为底面正多边形的中心。 （2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

3. 台体

（1）棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。 正棱台：用一个平行于底面的平面去截正棱锥，底面和截面之间的部分叫做正棱台。

（2）圆台：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做圆台。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。

二、空间几何体的表面积，体积。 1. 棱柱，棱锥，棱台表面积：

S正棱柱侧?ch????S正棱台侧

'c'?c11'c'?0''?(c?c)h????S正棱锥侧?ch22'这里c,c为底面周长，h是正棱柱的高，h是正棱台或正棱锥的斜高。 棱柱，棱锥，棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。 2. 圆柱，圆锥，圆台表面积：

c'?cS圆柱侧?cl?2?rl????S圆台侧

11c'?0''?(c?c)l??(r?r)l????S圆锥侧?cl??rl22这里c,c为底面周长，r,r是底面的半径，l是母线长。 圆柱，圆锥，圆台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。 3. 柱体，锥体，台体体积：

'' 1

V柱体?Sh????V台体

S'?S11S'?0''?h(S?SS?S)????V锥体?Sh 334. 球的表面积，体积公式：

S球?4?R2

4V球??R3

3

三、三公理，三推论

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（2）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

（3）公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 （4）推论1：经过直线和直线外一点有且仅有一个平面。 （5）推论2：经过两条相交直线有且仅有一个平面。 （6）推论3：经过两条平行直线有且仅有一个平面。

四、空间中直线与直线的位置关系

（1）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 （2）空间中两条直线的位置关系：

?有一个公共点?相交直线—在同一平面内，有且仅?共面直线?空间两条直线?共点?平行直线—在同一平面内，没有公?异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点。?

（3）平行直线：平行于同一直线的两条直线互相平行。

（4）等角或补角：在空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （5）异面直线所成的角：已知两条异面直线a和b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；异面直线所成角的范围是(0,90]。

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b。

【典例精析】

1. 正六棱锥的底面边长为a，高为h?3a，则此六棱锥的侧棱长为 斜高为 。 2. 若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别是a,b,c，则长方体的对角线长是 。

2

??''''

3. 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12?和16?，试求这两个截面间的距离。 4. 已知正?ABC的边长为a，那么?ABC的直观图?ABC的面积为 。

?5. 在半径为3的球面上有A，B，C三点，?ABC?90，BA?BC，球心O到平面ABC

'''的距离是

32，则B，C两点的球面距离。 26. 在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向底面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应

为 。

7. 如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将?ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH，IJ所成角的度数为 。

8. 设正三棱锥S?ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO?3，求此正三棱锥的全面积。

9. 已知圆锥SO中，底面半径r?1，母线长l?4，M为母线SA上的一个点，且SM?x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A。 （1）求绳子的最短长度的平方f(x)； （2）求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； （3）求f(x)的最大值。

10. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面的顶点，求正方体的表面积与正四面体的表面积之比。

11. 三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又

?PA?2,PB?3,PC?4，求三棱锥P?ABC的体积V。

【重点题型强化】

1. 棱长为1的正方体的八个顶点都在球的表面上，求球的半径 。

2. 若一个长方体的对角线长为14，所有棱长之和为24，则此长方体的全面积是 。

3

3. 长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为?,?,?，求

co2s??co2s??co2s?与sin2??sin2??sin2?的值。

4. 在正三棱锥A?BCD中，各侧面都是直角三角形，AB?1。

（1）在侧面ABC内画出表示这个正三棱锥的斜高的线段，并求出斜高。

P （2）求底面BCD的面积。

5. 如图，在棱锥P?ABC中PA?PB?PC?2,

C

A

B

?APB??BPC??APC?30,一只蚂蚁从A点，则

蚂蚁经过的最短路程是 。

6. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h3，则h1:h2:h3? 。 7. 如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC?DH:HA?2:3，求证：EF，GH，BD交于一点。

8. 已知四面体ABCD中，AB=CD，AB与CD成30角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角。

9. 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC?BC?6,AB?4，求球的体积。

10. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的

EF??3正方形，EF//AB,EF?，EF与面AC的距离为2，则该多

2DACB面体的体积为 。

11. 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径为r的铁球直到水满，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内的水平面的高是多少？

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