GCT数学高数讲义

GCT数学.微积分部分

第1章函数的极限与连续

1.1函数 一 函数

1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数x?D，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法

3 基本初等函数

二 特性

1函数的有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果?M?0，使得对?x?I，有f(x)?M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。

2函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义,如果?x,x?I且x?x时，有

f(x)?f(x)）则称f(x)在区间I上是单调增（或f(x)?f(x（或)单调减）的。 3函数的奇偶性

设函数f(x)的定义域X关于原点对称，（即若x?X，则必有

，如果?x?X，有f(?x)?f(x)成立，则称f(x)为偶函数，?x?X）

如果?x?X，有f(?x)??f(x)成立，则称f(x)为奇函数。 4函数的周期性

设函数f(x)的定义域是X，如果?常数T?0，使得对?x?X，有x?T?X，且

f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，使上式成立的最小正数T称为f(x)的周期。

三 函数的运算 1 四则运算 2 反函数

3复合函数与初等函数 （1）复合函数

设y?f(u)，定义域为D；u??(x)，定义域为D，值域为W，当W?D时，称

y?f[?(x)]为x的复合函数，它是由y?f(u)和u??(x)复合而成的函数，它的定义域为D，称u为中间变量。 （2）初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。

12121212uxuuux

四 典型例题

例1.1.1 下列函数是否相同？ （1） f(x)?lgxg(x)?2lgx；（否） （2） f(x)?x?x,g(x)?xx?1；（是） （3） f(x)?(x?1),g(x)?x?1。（否）

例1.1.2设函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数

g(x)?1?x?f(sin?x)?1?x?f(1?cos?x)的定义域是[ (D) ] (A) x?1 (B) 0?x?1 (C) x?0.5 (D) 0.5?x?1

234332

例1.1.3（08）设f(x)??2?x,x＞0,?1?x,x＜0,则有[ ]。

f(x)

（A）f(f(x))?(f(x)) （ B）f(f(x))?（C）f(f(x))＞f答（B）。

(x) （D）f(f(x))＜f(x)

分析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。 解法1：由

?x,f(x)???1?x,x?0,x?0, 易知，当x?0时，f(x)?0。

?(f(x)f))?f(x)。

又f(f(x))???xf,xx?0,fx??xf,(x),x?0,f(x)?0?1?所以

故正确选项为（B）．

解法2：利用特殊值代入法与排除法更简单．取x?2，则

f(2)?2,f(f(2))?f(2?)，这时选项（A）,（ C）,（Ｄ）都不成2立。

故正确选项为（B）．

1.2数列的极限

1定义 给定数列{x}，如果当n无限增大时，其通项x无限趋近于某个常数A，则称数列{x}以A为极限，记作limx?A或者

nnnn??nxn?A(n??)。

2 单调性 设数列{x}，如果对于?n，有x?x（x?x），则称数列{x}是单调递增（单调递减）的。

3如果?M?0，对于?n有x?M，则称数列{x}是有界的。 4 数列极限的性质

（1）若数列{x}是收敛的，则它的极限是唯一的。 （2）数列{x}是收敛的，则称数列{x}是有界的。 5 数列极限的四则运算 设limx?A，limy?B

nnn?1nn?1nnnnnnn??nn??n（1）lim(xn??n?yn)?A?B

（2）lim（3）limn??xnyn?AB

(B?0)

xnyn?ABn??

1.3函数的极限 1 函数极限的定义

（1）设函数f(x)在区间[a,??)上有定义，A为常数，如果当x???时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x???时，f(x)以A为极限，记作limf(x)?A。

x???（2）设函数f(x)在区间(??,a]上有定义，A为常数，如果当

函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x???时，f(x)x???时，

以A为极限，记作limf(x)?A。

x???（3）设函数f(x)在区间(??,?a)?(a,??)(a?0)上有定义，A为常数，如果当x无限增大时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x??时，f(x)以A为极限，记作limf(x)?A。

x??（4）定理

x???limf(x)?Ax??的充分必要条件是

x???limf(x)?A且

limf(x)?A。

（5）当x无限趋近于x（x?x）时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称x趋近于x时，函数f(x)以A为极限，记作limf(x)?A。

000x?x0（6）当x?x无限趋近于x（x?x）时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称x趋近于x时，函数f(x)的左极限为A，记作f(x?0)?limf(x)?A。

00000x?x0?（7）当x?x无限趋近于x（x?x）时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称x趋近于x时，函数f(x)的右极限为A，记作f(x?0)?limf(x)?A。

00000x?x?0（8）定理 limx?x0f(x)?A的充分必要条件是f(x0?0)?lim?f(x)?Ax?x0且

f(x0?0)?limf(x)?A。

x?x?0（9）设limx??f(x)?A，limg(x)?Bx??

f(x)?g(x)。

（i）若A?B，则极限点附近有（ii）极限点附近有

f(x)?g(x)，则A?B。

2 函数极限的性质

（1）如果limf(x)存在，则极限值是唯一的。

（2）如果limf(x)?A，则f(x)在极限点附近是有界的。

3 函数极限的运算法则 （1）四则运算

（2）复合函数的运算法则

设复合函数y?f[?(x)]在x的某邻域内（x可除外）有定义，如果lim?(x)?u

00x?x00（x?x0,?(x)?u0）且limf(u)?Au?u0，则limx?x0f[?(x)]?limf(u)?A。

u?u04 重要极限 *（1）limsinx?0xx?1

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