惠州市2013届高三第一次调研考试理科数学

惠州市2013届高三第一次调研考试

数学(理科）

（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟） 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：如果在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P(B|A),

那么P(AB)?P(A)P(B|A).

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合A??1,2,3,4?，集合B??2,4?，则A?B?（ ） A.?2,4? B.?1,3?C.?1,2,3,4? D.? 2．若p是真命题，q是假命题，则（ ）

A．p?q是真命题B．p?q是假命题 C．?p是真命题 D．?q是真命题 3．(2x?x)4的展开式中x3的系数是（ ）

A．6 B．12 C．24 D．48

4．在?ABC中，a，B，C所对边，若a?2bcosC，则此三角形一定是( ) b，c分别为角A，A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形

x2?y2?1的离心率为（） 5．已知实数4,m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线mA.53030B.7C.或7D.或7

666数学试题（理科）第1页，共11页

6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

开始 （ ）．

A．3B．11 C．38 D．123

7．已知x、y的取值如下表所示：若y与x线性相关，

a?1 a?a2?2??0.95x?a，则a?（ ） 且ya?10? 否 4 6.7 输出a 结束 是 x y

0 2.2 1 4.3 3 4.8 D、2.6

A、2.2 B、2.9C、2.8

8．对实数a和b，定义运算“?”：a?b????,1?a,ab2．设函数f?x???x?2???x?1?，1.?b,a?b?x?R．若函数y?f?x??c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )．

A．??1,1???2,??? B．??2,?1???1,2? C．???,?2???1,2? D．??2,?1? 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

(1?i)29.复数Ｚ＝（i是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于．

1?i????10.若向量a??1,1?，b???1,2?，则a与b夹角余弦值等于_____________．

?ex,x?0,111.已知函数f(x)??则f[f()]=．

e?lnx,x?0,12.计算：

?1?11?x2dx? ．

多面体 三棱锥 三棱柱 正方体 … 面数(F) 4 5 … … 顶点数(V) 4 6 … … 棱数(E) 6 … … … 13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F、V、E之间的关系等式： ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

数学试题（理科）第2页，共11页

14．（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为?22,直线l的极坐标方程为． ．．．

?????，直线l过点A且与极轴垂直，则4?D A B

O ·

C 15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线

AD和割线ABC，已知AD?23，AC?6，圆O的半

径为3，则圆心O到AC的距离为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2?．

（1）求f(x)的解析式 ； （2）若 ??(?

17.（本小题满分12分）

某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动. （1）设所选3人中女生人数为?，求?的分布列及E?； （2）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，已知AB?平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：AF//平面BCE； （2）求证：平面BCE?平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。

???15?,),f(??)?，求sin(2??)的值． 32333数学试题（理科）第3页，共11页

19．（本小题满分14分）

等差数列{an}中，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，且s2?b2?7，a1?1，b1?2，

s4?b3?2．

（1）求an与bn； （2）设cn?

20.（本小题满分14分）

1a2n?1，Tn?c1?c2?c3???cn求证：Tn?(n?N?). a2n2nx2y23已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)的离心率e?，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积ab2为4。

(1)求椭圆的方程：

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B。已知点A的坐标为(-a，0)，点Q(0，y0)在线

????????段AB的垂直平分线上，且QA?QB=4。求y0的值。

21．（本小题满分14分）

已知三次函数f?x??ax?bx?cx?a,b,c?R?．

32（1）若函数f(x)过点(?1,2)且在点1,f?1?处的切线方程为y?2?0，求函数f?x?的解

析式；

（2）当a?1时，若?2?f(?1)?1,?1?f(1)?3，试求f(2)的取值范围；

（3）对?x???1,1?，都有f?(x)?1，试求实数a的最大值，并求a取得最大值时f?x?的

表达式．

数学试题（理科）第4页，共11页

??

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数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 B 1．【解析】由交集的定义选A. 2．【解析】或（?）一真必真，且（?）一假必假，非（?）真假相反，故选D 3．【解析】Tr?1?C(2x)r44?r(x)?212r4?rCxr414?r?r2?24?rCxr414?r2，令4?1r?3?r?2 22x3的系数为24?2C4?24．故选C．

4.【解析】在?ABC中，若a?2bcosC，则sinA?2sinBcosC即sin(B?C)?2sinBcosC ?sin(B?C)?0?B?C．故选C．

x25．【解析】因4,m,9成等比，则m?36?m??6当m??6时圆锥曲线为椭圆?y2?1其离心率

6230x22为；当m??6时圆锥曲线为双曲线y??1其离心率为7故选C

66226．【解析】第一步：a?1?2?3?10，第二步：a?3?2?11?10，输出11．故选B

7．【解析】x?2，y?4.5，线性回归直线过样本中心点

(2，4.5)?4.5?0.95?2?a?a?2.6．故选D．

?x2?2,?1?x?2,8．【解析】由题设f?x???

x?1,x??1或x?2?画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，B?2A?2,1?，,?，C??1,?1?，D??1,?2?．从图象

中可以看出，直线y?c穿过点B，点A之间时，直线y?c与图象有且只有两个公共点，同时，直线y?c穿过点C，点D时，直线y?c与图象有且只有两个公共点，所以实数c的取值范围是??2,?1???1,2?．故选Ｂ

数学试题（理科）第5页，共11页

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．110．

1?1011．12． 13．V?F?E?2

e21014．?cos??215．5

(1?i)22i(1?i)???1?i．虚部为1． 9．【解析】

1?i2????a?b1010．【解析】cos?a， b?????10ab?ex,x?0,11?1?11.【解析】因函数f(x)??所有f[f()]?f?ln??f(?1)?e?1?

ee?e??lnx,x?0,12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：x?y?1(y?0)的面积。13.【解析】V?F?E?2 三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解：（1）?图象上相邻的两个最高点之间的距离为2?,

22?. 2?T?2?, 则??2??1.?f(x)?sin(x??). ???2分 T?f(x)是偶函数, ???k???2(k?Z), 又0????，????2．

则 f(x)?cosx． ???5分

（2）由已知得cos(???3)?1???5?　,　???(?,)，????(0,)． 33236则sin(???3)?22　　． ???8分 3?sin(2??5?2???42?12分 )??sin(2??)??2sin(??)cos(??)??3333917.（本小题满分12分）

解：（1）?的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

32112C4C4C23C4C211--------３分 P(??0)?3?;P(??1)?3?;P(??2)??3C65C65C65

数学试题（理科）第6页，共11页

??的分布列为

? P 0 1 2 1 53 51 5131?E??0??1??2??1----------------５分

555

3C441（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)?3??

C620514?所求概率为P(C)?1?P(C)?1??-------------８分

55（3）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，

1111C52101P?BA??C4C4------------10分 ?P(A)?3??;P(B?A)?33?C5C62026C6 5

1P(BA)2C442P(B|A)??（或直接得P(B|A)?2?? ------------1２分

P(A)5C510518. （本小题满分14分）解：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=又AB//DE，且AB=

1DE. 21DE.∴AB//FP，且AB=FP， 2∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。 -------------------2分 又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，

∴AF//平面BCE。 -------------------4分 （2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD， ∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。 --------------------------------6分 又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP?平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。 ------------------------8分 （3）法一、由（2），以F为坐标原点，

FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）， 建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，

则C（0，—1，0），B(?3,0,1),E,(0,1,2).----------------------------9分

数学试题（理科）第7页，共11页

设n?(x,y,z)为平面BCE的法向量,??3x?y?z?0,则n?CB?0,n?CE?0,即?令z?1,则n?(0,?1,1).2y?2z?0.?------11分

显然，m?(0,0,1)为平面ACD的法向量。 设面BCE与面ACD所成锐二面角为?, 则cos??|m?n|12??.???45?.

|m|?|n|22即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°. -----14分 法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO． 则面EBC?面DAC?CO．

由ＡＢ是?EDO的中位线，则DO?2AD．

?OD?2AD?2AC，?ODC?60． 在?OCD中，0OC?CD，又OC?DE．

?OC?面ECD,而CE?面ECD.

?OC?CE,??ECD为所求二面角的平面角．----------------------------12分

在Rt?EDCK中，?ED?CD，??ECD?450

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角19．（本小题满分14分）

解：（1）设等差数列?an?的公差为d,等比数列{bn}的公比为q，

2由题知:s2?b2?7， s4?b3?2?d?2q?5，3d?q?1?0

45°.-------------------------14分

解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1； ----------------------5分

?an?1?(n?1)?nbn?2n； ------------------------7分

（2）证明：?cn?a2n?12n?11352n?1，?cn?．Tn??????

2n2462na2n12n对一切正整数成立．

法一、 下面用数学归纳法证明Tn?数学试题（理科）第8页，共11页

（１）当n?1时，T1?12?1?1?，命题成立． ------------------8分 22?1（２）假设当n?k时命题成立，?Tk?12k

则当n?k?1时，?Tk?1?Tk?2k?112k?112k?1＝ ?2(k?1)2k2(k?1)2k?12kk?114k2?4k?1＝，这就是说当n?k?1时命题成立。--12分 ?24k?4k2k?12k?11综上所述原命题成立． -----------------------------------１４分 法二、?n?1n? n?2n?11133552n?12n?11123452n?22n?112?????????? ?Tn???????2244662n2n2234562n?12n4n?Tn?12n --------------------------14分

法三、设数列?An?，An?nTn，则An?1?n?1Tn?1 ---------------9分

4n2?4n?1?1 --------12分 24n?4n1 2A(2n?1)n?12n?1?n?1???An2(n?1)n2n?1n?数列?An?单调递增，于是An?An?1???A1，而A1??Tn?12n ------------------------------14分

20.（本小题满分14分）

（1）解：由e?c322222，得3a?4c，再由c?a?b，得a?2b----2分 ?a2由题意可知，

?a?2b1?2a?2b?4,即ab?2解方程组? 得a?2,b?1---5分 2?ab?2x2?y2?1--------6分 所以椭圆的方程为4(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y?k(x?2),--------7分

数学试题（理科）第9页，共11页

?y?k(x?2)?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2由方程组消去y并整理，

2??y?1?4得(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0--------8分 16k2?42?8k24k,x?,从而y?,--------9分 由?2x1?得112221?4k1?4k1?4k8k22k,)以下分两种情况： 设线段AB是中点为M，则M的坐标为(?1?4k21?4k2（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

QA?(?2,?y0),QB?(2,?y0）由QA?QB=4，得y0=?22------11分

????2k?18k2?(x?) ②当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为y?221?4kk1?4k???6k令x=0，解得y0? 由QA?(?2,?y0),QB?(x1,y1?y0）

1?4k2?2(2?8k2)6k4k6kQA?QB??2x1?y0(y1?y0）=?(?)1?4k21?4k21?4k21?4k2??4(16k4?15k2?1)142142整理得---13分 =?47k?2,故k??所以y=?02275(1?4k)综上y0=?22或y0=?214。--------14分 521．（本小题满分14分）

解：（1）∵函数f(x)过点(?1,2)，∴f(?1)??a?b?c?2， ①

又f?(x)?3ax?2bx?c，函数f(x)点(1,f(1))处的切线方程为y?2?0， ∴?2?f(1)??2?a?b?c??2，∴?， ②

??f(1)?0?3a?2b?c?03由①和②解得a?1，b?0，c??3，故 f(x)?x?3x； -------------4分

（2）法一、f(x)?ax?bx?1?f(1)?1?b?c,f(?1)??1?b?c 可得：c?32f(1)?f(?1)f(1)?f(?1)?1,b?----------------------6分

22f(2)?8?4b?2c?3f(1)?f(?1)?6 ----------------7分

??2?f(?1)?1,?1?f(1)?3。?1?f(2)?16．----------9分

数学试题（理科）第10页，共11页

法二、f(1)?1?b?c,f(?1)??1?b?c 又 ?2?f(?1)?1,?1?f(1)?3

??2?b?c?2,?1?b?c?2.（★）

作出（★）不等式表示的平面区域如图：目标函数：f(2)?4b?2c?8 ------7分 如图示当直线z?4b?2c过点A(2,0)时，

f(2)?4b?2c?8取最大值16.

当直线z?4b?2c过点B(?时，

31,?)22f(2)?4b?2c?8取最小值1.

综上所得：?1?f(2)?16--9分 （3）∵f?(x)?3ax?2bx?c，

2?f?(0)?c?则 ?f?(?1)?3a?2b?c，可得

?f?(1)?3a?2b?c?6a?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)． -------10分

∵当?1?x?1时，f?(x)?1，∴f?(?1)?1，f?(0)?1，f?(1)?1， ∴6|a|?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?4，----12分

22，故a的最大值为， 33?f?(0)?c?1?2当a?时，?f?(?1)?2?2b?c?1，解得b?0，c??1，

3??f?(1)?2?2b?c?123∴a取得最大值时f?x??x?x．------------------------------14分

3∴a?

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法二、f(1)?1?b?c,f(?1)??1?b?c 又 ?2?f(?1)?1,?1?f(1)?3

??2?b?c?2,?1?b?c?2.（★）

作出（★）不等式表示的平面区域如图：目标函数：f(2)?4b?2c?8 ------7分 如图示当直线z?4b?2c过点A(2,0)时，

f(2)?4b?2c?8取最大值16.

当直线z?4b?2c过点B(?时，

31,?)22f(2)?4b?2c?8取最小值1.

综上所得：?1?f(2)?16--9分 （3）∵f?(x)?3ax?2bx?c，

2?f?(0)?c?则 ?f?(?1)?3a?2b?c，可得

?f?(1)?3a?2b?c?6a?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)． -------10分

∵当?1?x?1时，f?(x)?1，∴f?(?1)?1，f?(0)?1，f?(1)?1， ∴6|a|?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?f?(?1)?f?(1)?2f?(0)?4，----12分

22，故a的最大值为， 33?f?(0)?c?1?2当a?时，?f?(?1)?2?2b?c?1，解得b?0，c??1，

3??f?(1)?2?2b?c?123∴a取得最大值时f?x??x?x．------------------------------14分

3∴a?

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