《离散数学》题库及答案

《离散数学》题库与答案 一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )

(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P

答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）

2、下列公式中哪些是永真式？( )

(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q)

答：（2），（3），（4） 可用蕴含等值式证明

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q

(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P

答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式

4、公式?x((A(x)?B(y，x))? ?z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为

约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）

5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！

1

答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。）

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“?换成存在?，?换成?”，然后将命题的结论否定，“且变或 或变且”）

7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校

答：（1） ?Q?P （注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的） （2） P??Q （3） P??Q （4）?P?Q

8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)

答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0

9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：

(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )

答：（1） F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2） F （同理） （3）F （同理） （4）T（对任一整数x存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的）

10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )

(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立

答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了）

11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。

2

答：2不是偶数且-3不是负数。

12、永真式的否定是（ ）

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能

答：（2）（这个记住就行了）

13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为（ ），公式 Q?(P?(P?Q))可化简为（ ）。

答：?P ，Q?P（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）

14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))?Q(x)中量词?x的辖域是（ ）。

答：P(x)? ?yR(y)（一对括号就是一个辖域）

15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。

答：??x(R(x)?Q(x))

（集合论部分）

16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ ）。

(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A)

答：(2) （{a}是P（A）的一个元素）

17、在0（ ）?之间写上正确的符号。

(1) = (2) ? (3) ? (4) ?

答：(4)（空集没有任何元素，且是任何集合的子集）

18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（ ）。

答：32（2的5次方 考查幂集的定义，即幂集是集合S的全体子集构成的集合）

19、设P={x|(x+1)2?4且x?R},Q={x|5?x2+16且x?R},则下列命题哪个正确（ ）

(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q

答：（3）（Q是集合R，P只是R中的一部分，所以P是Q的真子集）

20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。

3

(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}

答：A1=A2=A3=A6， A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性）

21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A

答：（4）（差集的定义）

22、判断下列命题哪个为真?( )

(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集

(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B

答：（1）（考查空集和差集的相关知识）

23、判断下列命题哪几个为正确？( )

(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}

答：（2），（4）

24、判断下列命题哪几个正确？( )

(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。

答：（2）

25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。

答：=（等于）

26、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集） (4) 若A为非空集，则A?A∪A成立。

答：（2）

27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：

(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C

答：（1） （（3）的反例 C为{｛0，1｝，0｝ B为｛0，1｝，A为1 很明显结论不对）

4

（二元关系部分）

28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2

求(1)R (2) R-1

答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>}（考查二元关系的定义，R?1为R的逆关系，即R?1=｛｝| ∈R）

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )

答：A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )

答：自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( )

答：自反性、反对称性和传递性(题29，30，31全是考查定义)

32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝ 求(1)R?R (2) R-1 。

答：R?R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}（考查F?G ={|?t(∈F?

∈G)}）

R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝

33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R-1 。

答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>,(36>}

35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，

求R和R-1的关系矩阵。

5

?1?0?0答：R的关系矩阵=??0??0??000?00??100000??00?? 000100 R?1的关系矩阵=???10????000000??00?00??36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|x+y=10,x,y?A}，则R 的性质为（ ）。

(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的

答：（2）（考查自反 对称 传递的定义）

（代数系统部分）

37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。

答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：e。x=x 零元：θ。x=θ）

38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；

答：9，3

（半群与群部分）

39、设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )； (2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。

答： （1） a?1?b （2） b （考查群的性质，即群满足消去律）

40、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。

答： 6,4

41、代数系统是一个群，则G的等幂元是( )。

答：单位元（由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若a^n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元，并且在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）

42、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素

6

答：5，10（若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号G=表示，且称a为一个生成元。并且一元素的阶整除群的阶）

43、群的等幂元是( )，有( )个。

答：单位元，1 （在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）

44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。

答：循环群，任一非单位元（证明如下：任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p，所以元素的阶要么是1要么是p。G中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1，所以都是p。任取一个非单位元，它的阶等于p，所以它生成的G的循环子群的阶也是p，从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群）

45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

(1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。

答：（1） b?a?1 (2) b（群的性质）

46、是的子群的充分必要条件是( )。

答：是群 或 ? a，b ?G， a?b?H，a-1?H 或? a,b ?G，a?b-1?H

47、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。

答：1，单位元，0

48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。

答：k

49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|

答：(2)

50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 (1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群

答：(1)

51、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

7

(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶

答：(3)

（格与布尔代数部分）

52、下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,?） (2) （Z,?）

(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),?)

答：(4)（考查幂集的定义）

53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂

答：(4)

（图论部分）

54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图

答：(4)（考察图的定义）

55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( ) (1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}

答：（2）

56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。

答：所有结点一次且恰好一次

57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )答：以v为起点的边的条数， 以v为终点的边的条数

58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定

答：1

59、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 8

。

答：

n(n?1), n-1 260、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。

答：m=n-1

61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。

答：所有边一次且恰好一次

62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。

答：2n-2（结点度数的定义）

63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}

答：(1)

64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。

答：n(n-1),2n-2

65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。

答：它是连通图

66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。

答：（3）

67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。

答：2

68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。

答：1， 树

69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:

(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。

答：（1）

9

70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。

答：无简单回路

71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16

答：（4）

72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。

(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12

答：(4)

73、设图G=，V={a，b，c，d，e}，E={,,,,},则G是有向图还是无向图？

答：有向图

74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。

答：偶数

75、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？

(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5

答：（3）

76、在有n个顶点的连通图中，其边数（ ）。

(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条 (3) 最多有n条 (4) 至少有n 条

答：（2）

77、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（ ）。

(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9

答：（4）

78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（ ）片树叶。

(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2

10

答：（1）

79、下列哪一种图不一定是树（ ）。

(1) 无简单回路的连通图 (2) 有n个顶点n-1条边的连通图 (3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图

答：（3）

80、连通图G是一棵树当且仅当G中（ ）。 (1) 有些边是割边 (2) 每条边都是割边

(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径

答：（2）

（数理逻辑部分）

二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： 1、(P→Q)?R

解：(P→Q)?R?(?P?Q )?R

?(?P?R)?(Q?R) （析取范式） ?(?P?(Q??Q)?R)?((?P?P)?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q?R)?(P?Q?R) ?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P?Q?R)（主析取范式）

?((P→Q)?R)?(?P??Q??R)?(?P?Q??R)?(P??Q?R)

?(P?Q??R)?( P??Q??R)（原公式否定的主析取范式）

(P→Q)?R?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(?P??Q?R)?(?P?Q?R)（主合取范式）

2、(P?R)?(Q?R)??P

解： (P?R)?(Q?R)??P（析取范式）

?(P?(Q??Q)?R)?((P??P)?Q?R)?(?P?(Q??Q)?(R??R)) ?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P?Q?R)?(?P?Q?R)

?( ?P?Q?R)?( ?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)

?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q?R)?(?P?Q??R) (?P??Q?R)?(?P??Q??R) (主析取范式)

11

? ?（(P?R)?(Q?R)??P）

（原公式否定的主析取范式） ?(P??Q??R)?(P?Q??R）

(P?R)?(Q?R)??P ?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)（主合取范式）

3、(?P→Q)?(R?P)

解：(?P→Q)?(R?P)

?(P?Q)?(R?P)（合取范式）

?(P?Q?(R??R))?(P?(Q??Q))?R)

?(P?Q?R)?(P?Q??R)?(P?Q?R)?(P??Q?R) ?(P?Q?R)?(P?Q??R)?(P??Q?R)（主合取范式） ?((?P→Q)?(R?P))

?(P??Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(?P??Q??R)（原公式否定的主合取范式）

(?P→Q)?(R?P)

?(?P?Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(P??Q?R)?(P?Q?R) （主析取范式）

4、Q→(P??R)

解：Q→(P??R)

??Q?P??R（主合取范式） ?（Q→(P??R)）

?(?P??Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)

?(P??Q?R)?(P?Q??R)?(P?Q?R）（原公式否定的主合取范式）

Q→(P??R)

?(P?Q?R)?(P?Q??R)?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(?P?Q??R)

?(?P??Q?R)?(?P??Q??R）（主析取范式）

5、P→(P?(Q→P))

解：P→(P?(Q→P))

??P?(P?(?Q?P)) ??P?P

? T (主合取范式)

12

?(?P??Q)?(?P?Q)?(P??Q)?(P?Q)（主析取范式）

6、?(P→Q)?(R?P)

解： ?(P→Q)?(R?P)??(?P?Q)?(R?P)

?(P??Q)?(R?P)（析取范式） ?(P??Q?(R??R))?(P?(?Q?Q)?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P??Q?R)?(P?Q?R) ?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)（主析取范式）

?(?(P→Q)?(R?P))?(P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

? (?P??Q??R)?(?P?Q??R)（原公式否定的主析取范式）

?(P→Q)?(R?P)?(?P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)

?(P?Q?R)?(P??Q?R)（主合取范式）

7、P?(P→Q)

解：P?(P→Q)?P?(?P?Q)?(P??P)?Q

?T(主合取范式)

?(?P??Q)?(?P?Q)?(P??Q)?(P?Q)（主析取范式）

8、(R→Q)?P

解：(R→Q)?P?(?R?Q )?P

? (?R?P)?(Q?P) （析取范式） ? (?R?(Q??Q)?P)?((?R?R)?Q?P)

?(?R?Q?P)?(?R??Q?P)?(?R?Q?P)?(R?Q?P) ?(P?Q??R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)（主析取范式）

?((R→Q)?P)?(?P??Q??R)?(?P?Q??R）?(P??Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)（原公式否定的主析取范式）

(R→Q)?P?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(P??Q??R)?(P?Q??R)（主合取范式）

9、P→Q

解：P→Q??P?Q（主合取范式）

?(?P?(Q??Q))?((?P?P)?Q)

?(?P?Q)?(?P??Q)?(?P?Q)?(P?Q)

13

?(?P?Q)?(?P??Q)?(P?Q)（主析取范式）

10、 P??Q

解： P??Q （主合取范式）

?(P?(?Q?Q))?((?P?P)??Q） ?(P??Q)?(P?Q)?(?P??Q)?(P??Q） ?(P??Q)?(P?Q)?(?P??Q)（主析取范式）

11、P?Q

解：P?Q（主析取范式）?(P?(Q??Q))?((P??P)?Q)

?(P??Q)?(P?Q)?(P?Q)?(?P?Q) ?(P??Q)?(P?Q)?(?P?Q)（主合取范式）

12、（P?R）?Q

解：（P?R）?Q

??(P?R)?Q ?(?P??R)?Q

?(?P?Q)?(?R?Q)（合取范式） ?(?P?Q?(R??R))?((?P?P)?Q??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R)（主合取范式） ?（P?R）?Q

?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q??R)

（原公式否定的主析取范式）

（P?R）?Q

?(P?Q??R)?(P?Q?R)?(?P??Q??R)?(?P?Q??R)

?(?P?Q?R)（主析取范式）

13、（P?Q）?R

解：（P?Q）?R

??(?P?Q)?R ?(P??Q)?R(析取范式)

14

?(P??Q?(R??R))?((P??P)?(Q??Q)?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q?R)

?(?P??Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)?(?P?Q?R)

?(?P??Q?R)(主析取范式）

（P?Q）?R

??(?P?Q)?R ?(P??Q)?R(析取范式) ?(P?R)?(?Q?R)(合取范式)

?(P?(Q??Q)?R)?((P??P)??Q?R)

?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R) ?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R)(主合取范式)

14、(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

解：(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(?P?(Q?R))?(P?(?Q??R))

?(?P?Q)?(?P?R)?(P??Q)?(P??R)（合取范式） ?(?P?Q?(R??R))?(?P?(Q??Q)?R)?(P??Q?(R??R))

?(P?(Q??Q)??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(P??Q??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(P??Q?R)

?(P?Q??R)?(P??Q??R)(主合取范式)

?(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(?P??Q??R)?(P?Q?R)(原公式否定的主合取范式) (P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(P?Q?R)?(?P??Q??R)(主析取范式)

15、P?(?P?(Q?(?Q?R)))

解：P?(?P?(Q?(?Q?R)))

? P?(P?(Q?(Q?R)))

15

? P?Q?R(主合取范式) ?(P?Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(?P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)

(原公式否定的主合取范式)

(P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P??Q??R)

?(P??Q?R)?(P?Q??R)?(P?Q?R)(主析取范式)

16、(P?Q)?(P?R)

解、(P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) (合取范式) ?(?P?Q?(R??R)?(?P?(?Q?Q)?R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q?R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)(主合取范式) (P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) ??P?(Q?R)(合取范式)

?(?P?(Q??Q)?(R??R))?((?P?P)?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)

?(?P?Q?R)?(P?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(P?Q?R)

(主析取范式)

三、证明：

1、P→Q，?Q?R，?R，?S?P=>?S

证明：

(1) ?R 前提 (2) ?Q?R 前提 (3) ?Q （1），（2）

16

(4) P→Q 前提 (5) ?P （3），（4） (6) ?S?P 前提 (7) ?S （5），（6）

2、A→(B→C)，C→(?D?E)，?F→(D??E),A=>B→F

证明：

(1) A 前提 (2) A→(B→C) 前提 (3) B→C （1），（2）

(4) B 附加前提 (5) C （3），（4） (6) C→(?D?E) 前提 (7) ?D?E （5），（6） (8) ?F→(D??E) 前提 (9) F （7），（8） (10) B→F CP

3、P?Q， P→R, Q→S => R?S

证明：

(1) ?R 附加前提 (2) P→R 前提 (3) ?P （1），（2） (4) P?Q 前提 (5) Q （3），（4） (6) Q→S 前提 (7) S （5），（6） (8) R?S CP，（1），（8）

4、(P→Q)?(R→S)，(Q→W)?(S→X)，证明：

（1） P 假设前提

17

?(W?X)，P→R => ?P

（2） P→R 前提 （3） R （1），（2） （4） (P→Q)?(R→S) 前提 （5） P→Q （4） （6） R→S （5） （7） Q （1），（5） （8） S （3），（6） （9） (Q→W)?(S→X) 前提 （10） Q→W （9） （11） S→X （10） （12） W （7），（10） （13） X （8），（11） （14） W?X （12），（13） （15） ?(W?X) 前提

（16） ?(W?X)?(W?X) （14），（15）

5、(U?V)→(M?N), U?P, P→(Q?S)，?Q??S =>M

证明：

(1) ?Q??S 附加前提 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）

P→(Q?S) 前提 ?P （1），（2） U?P 前提 U （3），（4） U?V （5） (U?V)→(M?N) 前提 M?N (6),(7) M （8）

6、?B?D，(E→?F)→?D，?E=>?B

证明：

(1) B 附加前提

18

(2) ?B?D 前提 (3) D （1），（2） (4) (E→?F)→?D 前提 (5) ?(E→?F) （3），（4） (6) E??F （5） (7) E （6） (8) ?E 前提 (9) E??E （7），（8）

7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)

证明：

（1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3） （5） R （2），（4） （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6） （8） S （2），（7） （9） Q→S CP，（2），（8） （10） P→(Q→S) CP，（1），（9）

8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q

证明：

（1） S 附加前提 （2） R→?S 前提 （3） ?R （1），（2） （4） ?P→R 前提 （5） P （3），（4） （6） P→?Q 前提 （7） ?Q (5），（6）

19

（8） S→?Q CP，（1），（7）

9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R)

证明：

(1) P→Q 附加前提 (2) P 附加前提 (3) Q (1),(2) (4) P→(Q→R) 前提 (5) Q→R (2),(4) (6) R (3),(5) (7) P→R CP,(2),(6) (8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)

10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S

证明：

（1） P 前提 （2） P→(?Q→?R) 前提 （3） ?Q→?R (1)，(2) （4） Q→?P 前提 （5） ?Q (1)，(4) （6） ?R (3),(5) （7） S→R 前提 （8） ?S (6)，(7)

11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D

证明：

（1） A 前提 （2） A→B 前提 （3） B (1)，(2) （4） A→C 前提 （5） C (1)，(4) （6） B→(D→?C) 前提

20

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