2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：7-7-立体几何中的向量方法 1 Word版含解析

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1．(2017年天津卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.

(1)求证：MN ∥平面BDE ；

(2)求二面角C －EM －N 的正弦值；

(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线

段AH 的长．

解：如图，以A 为原点，分别以AB

→，AC →，AP →方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．

依题意可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．

(1)证明：DE

→＝(0,2,0)，DB →＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，

则????? n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即???

2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨设z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．

又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →·n ＝0.

因为MN ?平面BDE ，

所以MN ∥平面BDE .

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(2)易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．

设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的法向量，

则????? n 2·EM →＝0，n 2·

MN →＝0. 因为EM

→＝(0，－2，－1)，MN →＝(1,2，－1)， 所以???

－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1

＝0. 不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．

因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421

， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521. 所以二面角C －EM －N 的正弦值为10521.

(3)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH

→＝(－1，－2，h )，BE

→＝(－2,2,2)．由已知得 |cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.

所以线段AH 的长为85或12.

2.如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．

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(1)证明：MN ∥平面P AB ；

(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．

解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.

如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，

由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.

又AD ∥BC ，

故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .

因为AT ?平面P AB ，MN ?平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .

(2)如图，取BC 的中点E ，连接AE

.

由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ， 且AE ＝ AB 2－BE 2＝ AB 2

－? ????BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，分别以AE

→，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .

由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ? ??

??52，1，2，则PM →＝(0,2，－4)，PN →＝? ??

??52，1，－2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，

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海阔天空专业文档 则?????

n ·PM →＝0，n ·PN →＝0， 即??? 2y －4z ＝0，

52x ＋y －2z ＝0.

取z ＝1可得n ＝(0,2,1)．

于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|

＝8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.

3．(2018届沈阳市教学质量监测)如图，在长方体AC 1中，AD ＝

AB ＝2，AA 1＝1，E 为D 1C 1的中点．

(1)在所给图中画出平面ABD 1与平面B 1EC 的交线(不必说明理由)；

(2)证明：BD 1∥平面B 1EC ；

(3)求平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)连接BC 1交B

1C 于M ，连接ME ，则直线ME 即为平面ABD 1与平面B 1EC 的交线，如图所示．

(2)证明：在长方体AC 1中，DA ，DC ，DD 1两两垂直，于是以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，

因为AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，

所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，D 1(0,0,1)，B (2,2,0)，B 1(2,2,1)，C (0,2,0)，E (0,1,1)．

所以BD 1→＝(－2，－2,1)，CB 1

→＝(2,0,1)，CE →＝(0，－1,1)， 设平面B 1EC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

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海阔天空专业文档 所以CB 1→⊥m ，CE →⊥m ，

从而有，????? CB 1→·m ＝0，CE →·

m ＝0， 即?

?? 2x ＋z ＝0，y ＝z ，不妨令x ＝－1， 得到平面B 1EC 的一个法向量为m ＝(－1,2,2)，

而BD 1→·m ＝2－4＋2＝0，

所以BD 1

→⊥m ， 又因为BD 1?平面B 1EC ，

所以BD 1∥平面B 1EC .

(3)由(2)知BA →＝(0，－2,0)，BD 1

→＝(－2，－2,1)， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，

所以BA →⊥n ，BD 1

→⊥n ，从而有 ????? BA →·n ＝0，BD 1→·n ＝0，即???

－2y 1＝0，－2x 1－2y 1＋z 1＝0， 不妨令x 1＝1，

得到平面ABD 1的一个法向量为n ＝(1,0,2)，

因为cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－1＋43×5＝55，

所以平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值为 55.

4．如图1，已知正三角形ABC ，以AB ，AC 为边在同一平面内向外作正三角形ABE 与ACD ，F 为CD 中点，分别沿AB ，AF 将平面ABE ，平面

ADF 折成直二面角，连接EC ，CD ，如图2所示．

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海阔天空专业文档 (1)求证：CD ∥平面ABE ；

(2)求二面角E －AC －B 的余弦值．

解：(1)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，则EG ⊥AB ，

由题意知二面角C －AB －E 为直二面角，

∴EG ⊥平面ABCF .

∵F 为CD 的中点，AC ＝AD ，

∴AF ⊥FC ，AF ⊥FD .

又二面角C －AF －D 为直二面角，

∴DF ⊥平面ABCF ，

∴DF ∥EG .

由题意知∠BAC ＝∠ACF ＝60°，

∴CF ∥AB ，

又DF ∩CF ＝F ，EG ∩AB ＝G ，

∴平面CDF ∥平面ABE ，

又CD ?平面DCF ，

∴CD ∥平面ABE .

(2)连接GC ，由于AC ＝BC ，所以GC ⊥AB 于点G ，以G 为坐标原点，GB ，GC ，GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设△ABC 的边长为2，

∴GE ＝GC ＝3，

则G (0,0,0)，C (0，3，0)，A (－1,0,0)，E (0,0，3)，B (1,0,0)，

∴AE

→＝(1,0，3)，AC →＝(1，3，0)，AB →＝(2,0,0)， 设平面AEC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则????? m ·AE →＝0，m ·

AC →＝0，

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海阔天空专业文档 即???

x ＋3z ＝0，x ＋3y ＝0，

取x ＝－3，得y ＝1，z ＝1，

∴m ＝(－3，1,1)．

同理可知平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，

那么cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝15×1＝55， 又二面角E －AC －B 为锐角，

∴二面角E －AC －B 的余弦值为55.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mk6i.html