2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测:7-7-立体几何中的向量方法 1 Word版含解析
更新时间:2023-09-04 23:22:02 阅读量: 教育文库 文档下载
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1.(2017年天津卷)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2.
(1)求证:MN ∥平面BDE ;
(2)求二面角C -EM -N 的正弦值;
(3)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721,求线
段AH 的长.
解:如图,以A 为原点,分别以AB
→,AC →,AP →方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0).
(1)证明:DE
→=(0,2,0),DB →=(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量,
则????? n ·DE →=0,n ·DB →=0,即???
2y =0,2x -2z =0. 不妨设z =1,可得n =(1,0,1).
又MN →=(1,2,-1),可得MN →·n =0.
因为MN ?平面BDE ,
所以MN ∥平面BDE .
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(2)易知n 1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量.
设n 2=(x 1,y 1,z 1)为平面EMN 的法向量,
则????? n 2·EM →=0,n 2·
MN →=0. 因为EM
→=(0,-2,-1),MN →=(1,2,-1), 所以???
-2y 1-z 1=0,x 1+2y 1-z 1
=0. 不妨设y 1=1,可得n 2=(-4,1,-2).
因此有cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-421
, 于是sin 〈n 1,n 2〉=10521. 所以二面角C -EM -N 的正弦值为10521.
(3)依题意,设AH =h (0≤h ≤4),则H (0,0,h ),进而可得NH
→=(-1,-2,h ),BE
→=(-2,2,2).由已知得 |cos 〈NH →,BE →〉|=|NH →·BE →||NH →||BE →|=|2h -2|h 2+5×23=721, 整理得10h 2-21h +8=0,解得h =85或h =12.
所以线段AH 的长为85或12.
2.如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,P A =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.
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(1)证明:MN ∥平面P AB ;
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
解:(1)证明:由已知得AM =23AD =2.
如图,取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,
由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN =12BC =2.
又AD ∥BC ,
故TN 綊AM ,四边形AMNT 为平行四边形, 于是MN ∥AT .
因为AT ?平面P AB ,MN ?平面P AB , 所以MN ∥平面P AB .
(2)如图,取BC 的中点E ,连接AE
.
由AB =AC 得AE ⊥BC ,从而AE ⊥AD , 且AE = AB 2-BE 2= AB 2
-? ????BC 22= 5. 以A 为坐标原点,分别以AE
→,AD →,AP →的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .
由题意知,P (0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N ? ??
??52,1,2,则PM →=(0,2,-4),PN →=? ??
??52,1,-2. 设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量,
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海阔天空专业文档 则?????
n ·PM →=0,n ·PN →=0, 即??? 2y -4z =0,
52x +y -2z =0.
取z =1可得n =(0,2,1).
于是|cos 〈n ,AN →〉|=|n ·AN →||n ||AN →|
=8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.
3.(2018届沈阳市教学质量监测)如图,在长方体AC 1中,AD =
AB =2,AA 1=1,E 为D 1C 1的中点.
(1)在所给图中画出平面ABD 1与平面B 1EC 的交线(不必说明理由);
(2)证明:BD 1∥平面B 1EC ;
(3)求平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值. 解:(1)连接BC 1交B
1C 于M ,连接ME ,则直线ME 即为平面ABD 1与平面B 1EC 的交线,如图所示.
(2)证明:在长方体AC 1中,DA ,DC ,DD 1两两垂直,于是以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
因为AD =AB =2,AA 1=1,
所以D (0,0,0),A (2,0,0),D 1(0,0,1),B (2,2,0),B 1(2,2,1),C (0,2,0),E (0,1,1).
所以BD 1→=(-2,-2,1),CB 1
→=(2,0,1),CE →=(0,-1,1), 设平面B 1EC 的法向量为m =(x ,y ,z ),
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海阔天空专业文档 所以CB 1→⊥m ,CE →⊥m ,
从而有,????? CB 1→·m =0,CE →·
m =0, 即?
?? 2x +z =0,y =z ,不妨令x =-1, 得到平面B 1EC 的一个法向量为m =(-1,2,2),
而BD 1→·m =2-4+2=0,
所以BD 1
→⊥m , 又因为BD 1?平面B 1EC ,
所以BD 1∥平面B 1EC .
(3)由(2)知BA →=(0,-2,0),BD 1
→=(-2,-2,1), 设平面ABD 1的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),
所以BA →⊥n ,BD 1
→⊥n ,从而有 ????? BA →·n =0,BD 1→·n =0,即???
-2y 1=0,-2x 1-2y 1+z 1=0, 不妨令x 1=1,
得到平面ABD 1的一个法向量为n =(1,0,2),
因为cos 〈m ,n 〉=m·n |m|·|n|=-1+43×5=55,
所以平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值为 55.
4.如图1,已知正三角形ABC ,以AB ,AC 为边在同一平面内向外作正三角形ABE 与ACD ,F 为CD 中点,分别沿AB ,AF 将平面ABE ,平面
ADF 折成直二面角,连接EC ,CD ,如图2所示.
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海阔天空专业文档 (1)求证:CD ∥平面ABE ;
(2)求二面角E -AC -B 的余弦值.
解:(1)证明:取AB 的中点G ,连接EG ,则EG ⊥AB ,
由题意知二面角C -AB -E 为直二面角,
∴EG ⊥平面ABCF .
∵F 为CD 的中点,AC =AD ,
∴AF ⊥FC ,AF ⊥FD .
又二面角C -AF -D 为直二面角,
∴DF ⊥平面ABCF ,
∴DF ∥EG .
由题意知∠BAC =∠ACF =60°,
∴CF ∥AB ,
又DF ∩CF =F ,EG ∩AB =G ,
∴平面CDF ∥平面ABE ,
又CD ?平面DCF ,
∴CD ∥平面ABE .
(2)连接GC ,由于AC =BC ,所以GC ⊥AB 于点G ,以G 为坐标原点,GB ,GC ,GE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设△ABC 的边长为2,
∴GE =GC =3,
则G (0,0,0),C (0,3,0),A (-1,0,0),E (0,0,3),B (1,0,0),
∴AE
→=(1,0,3),AC →=(1,3,0),AB →=(2,0,0), 设平面AEC 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),
则????? m ·AE →=0,m ·
AC →=0,
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海阔天空专业文档 即???
x +3z =0,x +3y =0,
取x =-3,得y =1,z =1,
∴m =(-3,1,1).
同理可知平面ABC 的一个法向量为n =(0,0,1),
那么cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=15×1=55, 又二面角E -AC -B 为锐角,
∴二面角E -AC -B 的余弦值为55.
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