物资分配

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物资分配问题

摘要

在各种各样的抢险救灾行动中，应急物资的合理分配在降低灾害的影响方面体现出重要作用。我们通过对问题的深入理解和分析，将问题归结为非线性规划问题。

我们首先确立了通过合理优化救灾物资的分配使其能最大限度降低灾害的影响为根本分配原则。

接着我们根据不同物资在维持灾民正常生活中所起到的作用大小不同划定了各物资的优先级，给定了适当的权重；接着综合考虑各个灾民所缺物资的数量、种类、供给量及物资的权重，确定了不同灾民受灾程度的判定标准；随后对受灾情况和物质分配情况进行了矩阵描述。

在此基础上我们用救灾效果表示整个救灾过程使灾情降低的程度，并假设每分配出一个最小单位的救灾物资就相应产生一定量的救灾效果，最终整体救灾效果为它们之和。我们又进一步假设每个最小单位救灾物资产生的救灾效果与分配物资的权重、分配给的灾民受灾程度正相关，得到了基本的数学模型：

单位物资救灾效果 = 该物资权重 × 分配给灾民的受灾程度

最终救灾效果 = 单位物资救灾效果求和

模型的约束条件由各种物资的数量有限得到。我们以最大限度减小灾害影响为分配原则，即最大限度增强最终救灾效果，在此抽象为求解最终救灾效果在约束条件下的最大值。其对应的最优解即为最佳分配方案。

在模型求解中，我们本着最大程度地发挥各种物资效用的原则，按照物资的优先级从高到低逐一对物资进行了分配。在具体分配某一物资时，首先求得分配结果与产生的救灾效果的函数，继而简化为有约束的多元函数最值问题，并分别采用了MATLAB程序解法和拉格朗日乘数法。

紧接着我们给出了一个具体灾情，并用量化后的模型求出最优解，通过对结果的分析研究讨论了模型的合理性。

最后，我们对模型的优缺点进行了讨论，并提出了模型的改进方案，并且对模型的实际应用做了推广。

关键词

救灾效果物资权重受灾程度单位物资

- - 1 - -

一、问题重述

某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。物资共有M种，每种物质的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

（1）你作为一名分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。（2）试给出一个符合题意的数值算例。

二、符号说明与基本假设

2.1 符号说明

2.2

符号含义第i位灾民 Pi Mj 第j种物资 Si 第j种物资总量第i位灾民短缺第j种物资的数量第i位灾民分配到的第j种物资的数量第j种物资的权重第i位灾民的受灾程度 tij xij ?j pi 基本假设

1. 所有物资对降低灾害的贡献取决于每单位物资贡献之和 2. 每单位物资对降低灾害的贡献与该物资的作用大小正相关

3. 每单位物资对降低灾害的贡献与得到该物资灾民的灾情大小正相关 4. 每种物资的供给均小于需求

三、问题分析与基本思路

为减轻自然灾害的影响，对应急物资分配策略的研究就有了十分重要的意义。通过对问题的分析与理解并结合实际情况，我们给出了抗险救灾中物资分配的基本原则：在应急物资有限的情况下，对救灾物资进行最优分配，使得分配结果能最大限度地降低灾害。我们用最终救灾效果表示物资分配降低灾害的程度，那么分配原则就等价于使最终救灾效果最大。而最终救灾效果又与每单位物资产生的救灾效果有关。通过给出物资权重和受灾程度的概念我们对每单位物资产生的救灾效果进行了数学表示，从而通过求和，最终确定了主函数——最终救灾效果。

- - 2 - -

在求解模型时，由于非线性离散优化问题的求解十分困难，我们进行了适当的简化，转化为非线性连续优化问题，继而通过MATLAB优化工具箱和拉格朗日乘数法求解了模型。

在此我们给出整体研究思路：

受灾程度的分析判定 ?Matlab优化工具箱

M×N矩阵对物资需求的描述 ? 目标函数规划 ?物资权重的说明与优先级划分 ?? 拉格朗日极值 M×N型矩阵描述物资分配的方案 ?具体算例比较模型改进与推广优缺点评价

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?四、模型的准备

4.1 物资需求状况的描述

某地区遭受灾害的一种表现形式为该地区灾民的各种生活物资出现了不同程度的短缺。为了描述灾情即各个灾民缺少各种物资的量，我们建立了N×M型矩阵A：

?t11?tA??21?…??tN1

t12…t1M?………??………?

?……tNM?其中tij表示灾民pi缺少物资Mj的量。