2019年安顺市初中毕业生学业(中考)真题(含详解)

2019年安顺市初中毕业生学业（升学）考试

数学科试题

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）

1．2019的相反数是（）

A．﹣2019B．2019C．﹣D．

2．中国陆地面积约为9600000km2，将数字9600000用科学记数法表示为（）

A．96×105B．9.6×106C．9.6×107D．0.96×108

3．如图，该立体图形的俯视图是（）

A．B．C．D．

4．下列运算中，计算正确的是（）

A．（a2b）3＝a5b3B．（3a2）3＝27a6C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2

5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF的是（）

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）

A．B．2C．D．

9．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

⊙分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；

⊙作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．

则下列说法错误的是（）

A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝

10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：

⊙abc＞0；⊙4ac﹣b2＞0；⊙a﹣b+c＞0；⊙ac+b+1＝0．

其中正确的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．函数y＝的自变量x的取值范围是．

12．若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝．

13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为．

14．某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖

李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为．

15．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2＝．

16．已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差为．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．

18．如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．

三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣+cos60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．

20．（10分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．

21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了

让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

22．（10分）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log a（M?N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，

∴M?N＝a m?a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M?N）

又∵m+n＝log a M+log a N

∴log a（M?N）＝log a M+log a N

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式；

（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝．

23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

对雾霾天气了解程度百分比

A．非常了解5%

B．比较了解15%

C．基本了解45%

D．不了解n

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有，n＝；

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

24．（12分）（1）如图⊙，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB，AD，DC之间的等量关系；

（2）问题探究：如图⊙，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）

1．2019的相反数是（）

A．﹣2019B．2019C．﹣D．

【知识考点】相反数．

【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案

【解题过程】解：2019的相反数是﹣2019，

故选：A．

【总结归纳】主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

2．中国陆地面积约为9600000km2，将数字9600000用科学记数法表示为（）

A．96×105B．9.6×106C．9.6×107D．0.96×108

【知识考点】科学记数法—表示较大的数．

【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解题过程】解：将960 0000用科学记数法表示为9.6×106．

故选：B．

【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，该立体图形的俯视图是（）

A．B．C．D．

【知识考点】简单组合体的三视图．

【思路分析】根据几何体的三视图，即可解答．

【解题过程】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．

故选：C．

【总结归纳】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．4．下列运算中，计算正确的是（）

A．（a2b）3＝a5b3B．（3a2）3＝27a6C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2

【知识考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．

【思路分析】分别根据积的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式化简即可判断．

【解题过程】解：A．（a2b）3＝a6b3，故选项A不合题意；

B．（3a2）3＝27a6，故选项B符合题意；

C．a6÷a2＝a4，故选项C不合题意；

D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．

故选：B．

【总结归纳】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．

5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【知识考点】关于原点对称的点的坐标．

【思路分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．

【解题过程】解：∵m2+1＞0，

∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，

∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，

故选：D．

【总结归纳】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数．

6．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

【知识考点】平行线的性质．

【思路分析】求出∠3即可解决问题；

【解题过程】解：

∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，

∴∠3＝55°，

∴∠2＝∠3＝55°，

故选：C．

【总结归纳】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．

7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC

≌△DEF的是（）

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

【知识考点】全等三角形的判定．

【思路分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解题过程】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；

选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．

故选：A．

【总结归纳】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．

8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）

A．B．2C．D．

【知识考点】坐标与图形性质；圆周角定理；解直角三角形．

【思路分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可．

【解题过程】解：作直径CD，

在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，

则OD＝＝4，

tan∠CDO＝＝，

由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，

则tan∠OBC＝，

故选：D．

【总结归纳】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

9．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

⊙分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；

⊙作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．

则下列说法错误的是（）

A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝

【知识考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；作图—基本作图；解直角三角形．

【思路分析】利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD＝CD＝2DE，AB∥DE，利用三角函数求出∠D＝60°，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可对B选项进行判断；当AB＝4，则DE＝2，先计算出AE＝2，再利用勾股定理计算出BE＝2，则可对C选项进行判断；

作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，先计算出CH ＝a，EH＝a，则可根据正弦的定义对D选项进行判断．

【解题过程】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，

在Rt△ADE中，cosD＝＝，

∴∠D＝60°，

∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；

∵S△ABE＝AB?AE，S△ADE＝DE?AE，

而AB＝2DE，

∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；

若AB＝4，则DE＝2，

∴AE＝2，

在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；

作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，

设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，

在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，

∴CH＝a，EH＝a，

∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．

故选：C．

【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．

10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：

⊙abc＞0；⊙4ac﹣b2＞0；⊙a﹣b+c＞0；⊙ac+b+1＝0．

其中正确的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【知识考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．

【解题过程】解：⊙观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，∴abc＞0，故正确；

⊙∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；

⊙当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，

∴a﹣b+c＞0，故正确

⊙设C（0，c），则OC＝|c|，

∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，

∴ac+b+1＝0，故正确；

故正确的结论有⊙⊙⊙三个，

故选：B．

【总结归纳】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．函数y＝的自变量x的取值范围是．

【知识考点】函数自变量的取值范围．

【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解题过程】解：根据题意得，x﹣2≥0，

解得x≥2．

故答案为：x≥2．

【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．

12．若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝．

【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．

【思路分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再求出a+b的值即可．

【解题过程】解：∵|a+1|+＝0，

∴，

解得a＝﹣1，b＝2，

∴a+b＝﹣1+2＝1．

【总结归纳】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．

13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为．

【知识考点】圆锥的计算．

【思路分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2＝，然后解关于l的方程即可．

【解题过程】解：根据题意得2π×2＝，

解德l＝6，

即该圆锥母线l的长为6．

故答案为6．

【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14．某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为．

【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．

【思路分析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据种植亩数＝总产量÷平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少20亩，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，

依题意，得：﹣＝20．

故答案为：﹣＝20．

【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2＝．

【知识考点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，由题意可知△AOB的面积为k1﹣2．

【解题过程】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，∴△AOB的面积为k1﹣2，

∴k1﹣2＝4，

∴k1﹣k2＝8，

故答案为8．

【总结归纳】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．

16．已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差为．【知识考点】方差．

【思路分析】如果一组数据x1、x2、…、x n的方差是s2，那么数据kx1、kx2、…、kx n的方差是k2s2（k≠0），依此规律即可得出答案．

【解题过程】解：∵一组数据x1，x2，x3…，x n的方差为2，

∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3x n的方差为32×2＝18．

故答案为18．

【总结归纳】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0），方差变为这个数的平方倍．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．

【知识考点】垂线段最短；矩形的判定与性质．

【思路分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短

和三角形面积即可解决问题．

【解题过程】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，

∴AD＝＝，

∴MN的最小值为；

故答案为：．

【总结归纳】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．

【知识考点】规律型：数字的变化类．

【思路分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019

【解题过程】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，

∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，

故答案为2019

【总结归纳】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣+cos60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【思路分析】分别根据负指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂以及积是乘方化简即可解答．【解题过程】解：原式＝﹣﹣3++1+（﹣0.125×8）2019＝﹣3+﹣1＝﹣3．

【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（10分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代

入求值．

【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．

【思路分析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．

【解题过程】解：原式＝×

＝，

解不等式组得﹣2＜x＜4，

∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，

∵要使原分式有意义，

∴x可取0，2．

∴当x＝0 时，原式＝﹣3，

（或当x＝2 时，原式＝﹣）．

【总结归纳】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

【知识考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．

【思路分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；得出方程组，解方程组解可；

（2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可．

【解题过程】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b

当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；

∴，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；

（2）由题意得：

（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，

整理得：x2﹣10x+9＝0，

解得：x1＝1．x2＝9，

∵让顾客得到更大的实惠，

∴x＝9，

答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．

【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．

22．（10分）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log a（M?N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，

∴M?N＝a m?a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M?N）

又∵m+n＝log a M+log a N

∴log a（M?N）＝log a M+log a N

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式；

（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝．

【知识考点】数学常识；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．

【思路分析】（1）根据题意可以把指数式34＝81写成对数式；

（2）先设log a M＝m，log a N＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝a m，N＝a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

（3）根据公式：log a（M?N）＝log a M+log a N和log a＝log a M﹣log a N的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．

【解题过程】解：（1）4＝log381（或log381＝4），

故答案为：4＝log381；

（2）证明：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，

∴＝＝a m﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log a，

又∵m﹣n＝log a M﹣log a N，

∴log a＝log a M﹣log a N；

（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．

故答案为：2．

【总结归纳】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．

23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

对雾霾天气了解程度百分比

A．非常了解5%

B．比较了解15%

C．基本了解45%

D．不了解n

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有，n＝；

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一

人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

【知识考点】统计表；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；游戏公平性．

【思路分析】（1）用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比得到n的值；

（2）用360°乘以D等级所占的百分比得到扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角；

（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图；

（4）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明去和小刚去的概率．然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．

【解题过程】解：（1）180÷45%＝400，

所以本次参与调查的学生共有400人，

n＝1﹣5%﹣15%﹣45%＝35%；

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角＝360°×35%＝126°，

故答案为400；35%；126；

（3）D等级的人数为400×35%＝140（人），

补全条形统计图为：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，

∴P（小明去）＝＝

P（小刚去）＝1﹣＝

∵≠

∴这个游戏规则不公平．

【总结归纳】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图．

24．（12分）（1）如图⊙，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB，AD，DC之间的等量关系；

（2）问题探究：如图⊙，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

【知识考点】全等三角形的判定与性质．

【思路分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB＝CF，即可得结论；

（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，即可得结论；

【解题过程】解：（1）AD＝AB+DC

理由如下：∵AE是∠BAD的平分线

∴∠DAE＝∠BAE

∵AB∥CD

∴∠F＝∠BAE

∴∠DAF＝∠F

∴AD＝DF，

∵点E是BC的中点

∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF

∴△CEF≌△BEA（AAS）

∴AB＝CF

∴AD＝CD+CF＝CD+AB

（2）AB＝AF+CF

理由如下：如图⊙，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC（AAS）

∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分线

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，

∴AB＝AF+CF

【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

【知识考点】圆的综合题．

【思路分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；

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