2019年安顺市初中毕业生学业(中考)真题(含详解)
更新时间:2023-03-21 04:39:01 阅读量: 实用文档 文档下载
2019年安顺市初中毕业生学业(升学)考试
数学科试题
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)
1.2019的相反数是()
A.﹣2019B.2019C.﹣D.
2.中国陆地面积约为9600000km2,将数字9600000用科学记数法表示为()
A.96×105B.9.6×106C.9.6×107D.0.96×108
3.如图,该立体图形的俯视图是()
A.B.C.D.
4.下列运算中,计算正确的是()
A.(a2b)3=a5b3B.(3a2)3=27a6C.a6÷a2=a3D.(a+b)2=a2+b2
5.在平面直角坐标系中,点P(﹣3,m2+1)关于原点对称点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是()
A.35°B.45°C.55°D.65°
7.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△DEF的是()
A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
8.如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C (0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为()
A.B.2C.D.
9.如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
⊙分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;
⊙作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE.
则下列说法错误的是()
A.∠ABC=60°B.S△ABE=2S△ADE C.若AB=4,则BE=4D.sin∠CBE=
10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论:
⊙abc>0;⊙4ac﹣b2>0;⊙a﹣b+c>0;⊙ac+b+1=0.
其中正确的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)
11.函数y=的自变量x的取值范围是.
12.若实数a、b满足|a+1|+=0,则a+b=.
13.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r=2,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥母线l的长为.
14.某生态示范园计划种植一批蜂糖李,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求,现决定改良蜂糖
李品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划平均亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,根据题意列方程为.
15.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于A、B两点,连接OA、OB,已知△OAB的面积为4,则k1﹣k2=.
16.已知一组数据x1,x2,x3,…,x n的方差为2,则另一组数据3x1,3x2,3x3,…,3x n的方差为.17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.
18.如图,将从1开始的自然数按下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是.
三、解答题(本大题共8个小题,满分88分,解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
19.(8分)计算:(﹣2)﹣1﹣+cos60°+()0+82019×(﹣0.125)2019.
20.(10分)先化简(1+)÷,再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值.
21.(10分)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了
让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千元)与每千元降价x(元)(0<x <20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
22.(10分)阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若a x=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525,可以转化为指数式52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
log a(M?N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下:
设log a M=m,log a N=n,则M=a m,N=a n,
∴M?N=a m?a n=a m+n,由对数的定义得m+n=log a(M?N)
又∵m+n=log a M+log a N
∴log a(M?N)=log a M+log a N
根据阅读材料,解决以下问题:
(1)将指数式34=81转化为对数式;
(2)求证:log a=log a M﹣log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:计算log69+log68﹣log62=.
23.(12分)近年来,在习近平总书记“既要金山银山,又要绿水青山”思想的指导下,我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了如图所示的不完整的三种统计图表.
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度百分比
A.非常了解5%
B.比较了解15%
C.基本了解45%
D.不了解n
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次参与调查的学生共有,n=;
(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度;
(3)请补全条形统计图;
(4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾的知识竞赛,某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中充分摇匀,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去,否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.
24.(12分)(1)如图⊙,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB,AD,DC之间的等量关系;
(2)问题探究:如图⊙,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cosC=,求AE的长.
26.(14分)如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(﹣3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MC|的值最大,并求出这个最大值;
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P 使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
一、选择题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)
1.2019的相反数是()
A.﹣2019B.2019C.﹣D.
【知识考点】相反数.
【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案
【解题过程】解:2019的相反数是﹣2019,
故选:A.
【总结归纳】主要考查相反数的概念及性质.相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.
2.中国陆地面积约为9600000km2,将数字9600000用科学记数法表示为()
A.96×105B.9.6×106C.9.6×107D.0.96×108
【知识考点】科学记数法—表示较大的数.
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解题过程】解:将960 0000用科学记数法表示为9.6×106.
故选:B.
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.如图,该立体图形的俯视图是()
A.B.C.D.
【知识考点】简单组合体的三视图.
【思路分析】根据几何体的三视图,即可解答.
【解题过程】解:如图所示的立体图形的俯视图是C.
故选:C.
【总结归纳】本题考查了三视图的知识,掌握所看的位置,注意所有的看到的棱都应表现在视图中.4.下列运算中,计算正确的是()
A.(a2b)3=a5b3B.(3a2)3=27a6C.a6÷a2=a3D.(a+b)2=a2+b2
【知识考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;完全平方公式.
【思路分析】分别根据积的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式化简即可判断.
【解题过程】解:A.(a2b)3=a6b3,故选项A不合题意;
B.(3a2)3=27a6,故选项B符合题意;
C.a6÷a2=a4,故选项C不合题意;
D.(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D不合题意.
故选:B.
【总结归纳】本题主要考查了幂的运算法则,熟练掌握法则是解答本题的关键.
5.在平面直角坐标系中,点P(﹣3,m2+1)关于原点对称点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【知识考点】关于原点对称的点的坐标.
【思路分析】依据m2+1>0,即可得出点P(﹣3,m2+1)在第二象限,再根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即可得出结论.
【解题过程】解:∵m2+1>0,
∴点P(﹣3,m2+1)在第二象限,
∴点P(﹣3,m2+1)关于原点对称点在第四象限,
故选:D.
【总结归纳】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征,关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.
6.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是()
A.35°B.45°C.55°D.65°
【知识考点】平行线的性质.
【思路分析】求出∠3即可解决问题;
【解题过程】解:
∵∠1+∠3=90°,∠1=35°,
∴∠3=55°,
∴∠2=∠3=55°,
故选:C.
【总结归纳】此题考查了平行线的性质.两直线平行,同位角相等的应用是解此题的关键.
7.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC
≌△DEF的是()
A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
【知识考点】全等三角形的判定.
【思路分析】分别判断选项所添加的条件,根据三角形的判定定理:SSS、SAS、AAS进行判断即可.【解题过程】解:选项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF,故本选项正确;
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定,故本选项错误;
选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定,故本选项错误;
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA进行判定,故本选项错误.
故选:A.
【总结归纳】本题主要考查对全等三角形的判定,平行线的性质等知识点的理解和掌握,熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键,是一个开放型的题目,比较典型.
8.如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C (0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为()
A.B.2C.D.
【知识考点】坐标与图形性质;圆周角定理;解直角三角形.
【思路分析】作直径CD,根据勾股定理求出OD,根据正切的定义求出tan∠CDO,根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO,等量代换即可.
【解题过程】解:作直径CD,
在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,
则OD==4,
tan∠CDO==,
由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,
则tan∠OBC=,
故选:D.
【总结归纳】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
9.如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
⊙分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;
⊙作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE.
则下列说法错误的是()
A.∠ABC=60°B.S△ABE=2S△ADE C.若AB=4,则BE=4D.sin∠CBE=
【知识考点】三角形的面积;线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质;菱形的性质;作图—基本作图;解直角三角形.
【思路分析】利用基本作图得到AE垂直平分CD,再根据菱形的性质得到AD=CD=2DE,AB∥DE,利用三角函数求出∠D=60°,则可对A选项进行判断;利用三角形面积公式可对B选项进行判断;当AB=4,则DE=2,先计算出AE=2,再利用勾股定理计算出BE=2,则可对C选项进行判断;
作EH⊥BC交BC的延长线于H,如图,设AB=4a,则CE=2a,BC=4a,BE=2a,先计算出CH =a,EH=a,则可根据正弦的定义对D选项进行判断.
【解题过程】解:由作法得AE垂直平分CD,即CE=DE,AE⊥CD,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=CD=2DE,AB∥DE,
在Rt△ADE中,cosD==,
∴∠D=60°,
∴∠ABC=60°,所以A选项的结论正确;
∵S△ABE=AB?AE,S△ADE=DE?AE,
而AB=2DE,
∴S△ABE=2S△ADE,所以B选项的结论正确;
若AB=4,则DE=2,
∴AE=2,
在Rt△ABE中,BE==2,所以C选项的结论错误;
作EH⊥BC交BC的延长线于H,如图,
设AB=4a,则CE=2a,BC=4a,BE=2a,
在△CHE中,∠ECH=∠D=60°,
∴CH=a,EH=a,
∴sin∠CBE===,所以D选项的结论正确.
故选:C.
【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形.
10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论:
⊙abc>0;⊙4ac﹣b2>0;⊙a﹣b+c>0;⊙ac+b+1=0.
其中正确的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【知识考点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象上点的坐标特征;抛物线与x轴的交点.【思路分析】此题可根据二次函数的性质,结合其图象可知:a>0,﹣1<c<0,b<0,再对各结论进行判断.
【解题过程】解:⊙观察图象可知,开口方上a>0,对称轴在右侧b<0,与y轴交于负半轴c<0,∴abc>0,故正确;
⊙∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,故错误;
⊙当x=﹣1时y=a﹣b+c,由图象知(﹣1,a﹣b+c)在第二象限,
∴a﹣b+c>0,故正确
⊙设C(0,c),则OC=|c|,
∵OA=OC=|c|,∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,
∴ac+b+1=0,故正确;
故正确的结论有⊙⊙⊙三个,
故选:B.
【总结归纳】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,熟练掌握二次函数的性质是关键.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)
11.函数y=的自变量x的取值范围是.
【知识考点】函数自变量的取值范围.
【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
【解题过程】解:根据题意得,x﹣2≥0,
解得x≥2.
故答案为:x≥2.
【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负数.
12.若实数a、b满足|a+1|+=0,则a+b=.
【知识考点】非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根.
【思路分析】先根据非负数的性质求出a、b的值,再求出a+b的值即可.
【解题过程】解:∵|a+1|+=0,
∴,
解得a=﹣1,b=2,
∴a+b=﹣1+2=1.
【总结归纳】本题考查的是非负数的性质,熟知几个非负数的和为0时,其中每一项必为0是解答此题的关键.
13.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r=2,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥母线l的长为.
【知识考点】圆锥的计算.
【思路分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2=,然后解关于l的方程即可.
【解题过程】解:根据题意得2π×2=,
解德l=6,
即该圆锥母线l的长为6.
故答案为6.
【总结归纳】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
14.某生态示范园计划种植一批蜂糖李,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求,现决定改良蜂糖李品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划平均亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,根据题意列方程为.
【知识考点】由实际问题抽象出分式方程.
【思路分析】设原计划平均亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,根据种植亩数=总产量÷平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少20亩,即可得出关于x的分式方程,此题得解.【解题过程】解:设原计划平均亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,
依题意,得:﹣=20.
故答案为:﹣=20.
【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.15.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于A、B两点,连接OA、OB,已知△OAB的面积为4,则k1﹣k2=.
【知识考点】反比例函数的性质;反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.【思路分析】根据反比例函数k的几何意义可知:△AOP的面积为k1,△BOP的面积为k2,由题意可知△AOB的面积为k1﹣2.
【解题过程】解:根据反比例函数k的几何意义可知:△AOP的面积为k1,△BOP的面积为k2,∴△AOB的面积为k1﹣2,
∴k1﹣2=4,
∴k1﹣k2=8,
故答案为8.
【总结归纳】本题考查反比例函数k的几何意义,解题的关键是正确理解k的几何意义,本题属于中等题型.
16.已知一组数据x1,x2,x3,…,x n的方差为2,则另一组数据3x1,3x2,3x3,…,3x n的方差为.【知识考点】方差.
【思路分析】如果一组数据x1、x2、…、x n的方差是s2,那么数据kx1、kx2、…、kx n的方差是k2s2(k≠0),依此规律即可得出答案.
【解题过程】解:∵一组数据x1,x2,x3…,x n的方差为2,
∴另一组数据3x1,3x2,3x3…,3x n的方差为32×2=18.
故答案为18.
【总结归纳】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数时,平均数也加上这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数时,平均数也乘以这个数(不为0),方差变为这个数的平方倍.17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.
【知识考点】垂线段最短;矩形的判定与性质.
【思路分析】由勾股定理求出BC的长,再证明四边形DMAN是矩形,可得MN=AD,根据垂线段最短
和三角形面积即可解决问题.
【解题过程】解:∵∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,
∴BC==5,
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°,
∴四边形DMAN是矩形,
∴MN=AD,
∴当AD⊥BC时,AD的值最小,
此时,△ABC的面积=AB×AC=BC×AD,
∴AD==,
∴MN的最小值为;
故答案为:.
【总结归纳】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
18.如图,将从1开始的自然数按下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是.
【知识考点】规律型:数字的变化类.
【思路分析】观察图表可知:第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、第7列的数是2025﹣6=2019
【解题过程】解:观察图表可知:第n行第一个数是n2,
∴第45行第一个数是2025,
∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019,
故答案为2019
【总结归纳】本题考查规律型﹣数字问题,解题的关键是学会观察,探究规律,利用规律解决问题.三、解答题(本大题共8个小题,满分88分,解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
19.(8分)计算:(﹣2)﹣1﹣+cos60°+()0+82019×(﹣0.125)2019.【知识考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【思路分析】分别根据负指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂以及积是乘方化简即可解答.【解题过程】解:原式=﹣﹣3++1+(﹣0.125×8)2019=﹣3+﹣1=﹣3.
【总结归纳】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
20.(10分)先化简(1+)÷,再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代
入求值.
【知识考点】分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解.
【思路分析】首先进行分式的加减运算,进而利用分式的混合运算法则进而化简,再解不等式组,得出x的值,把已知数据代入即可.
【解题过程】解:原式=×
=,
解不等式组得﹣2<x<4,
∴其整数解为﹣1,0,1,2,3,
∵要使原分式有意义,
∴x可取0,2.
∴当x=0 时,原式=﹣3,
(或当x=2 时,原式=﹣).
【总结归纳】此题主要考查了分式的化简求值,正确掌握分式的混合运算法则是解题关键.21.(10分)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千元)与每千元降价x(元)(0<x <20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
【知识考点】一元二次方程的应用;一次函数的应用.
【思路分析】(1)设一次函数解析式为:y=kx+b由题意得出:当x=2,y=120;当x=4,y=140;得出方程组,解方程组解可;
(2)由题意得出方程(60﹣40﹣x)(10 x+100)=2090,解方程即可.
【解题过程】解:(1)设一次函数解析式为:y=kx+b
当x=2,y=120;当x=4,y=140;
∴,
解得:,
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100;
(2)由题意得:
(60﹣40﹣x)(10 x+100)=2090,
整理得:x2﹣10x+9=0,
解得:x1=1.x2=9,
∵让顾客得到更大的实惠,
∴x=9,
答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.
【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用;由题意列出方程组或方程是解题的关键.
22.(10分)阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若a x=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525,可以转化为指数式52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
log a(M?N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下:
设log a M=m,log a N=n,则M=a m,N=a n,
∴M?N=a m?a n=a m+n,由对数的定义得m+n=log a(M?N)
又∵m+n=log a M+log a N
∴log a(M?N)=log a M+log a N
根据阅读材料,解决以下问题:
(1)将指数式34=81转化为对数式;
(2)求证:log a=log a M﹣log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:计算log69+log68﹣log62=.
【知识考点】数学常识;同底数幂的乘法;同底数幂的除法.
【思路分析】(1)根据题意可以把指数式34=81写成对数式;
(2)先设log a M=m,log a N=n,根据对数的定义可表示为指数式为:M=a m,N=a n,计算的结果,同理由所给材料的证明过程可得结论;
(3)根据公式:log a(M?N)=log a M+log a N和log a=log a M﹣log a N的逆用,将所求式子表示为:log3(2×6÷4),计算可得结论.
【解题过程】解:(1)4=log381(或log381=4),
故答案为:4=log381;
(2)证明:设log a M=m,log a N=n,则M=a m,N=a n,
∴==a m﹣n,由对数的定义得m﹣n=log a,
又∵m﹣n=log a M﹣log a N,
∴log a=log a M﹣log a N;
(3)log69+log68﹣log62=log6(9×8÷2)=log636=2.
故答案为:2.
【总结归纳】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系,解题的关键是明确新定义,明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.
23.(12分)近年来,在习近平总书记“既要金山银山,又要绿水青山”思想的指导下,我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了如图所示的不完整的三种统计图表.
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度百分比
A.非常了解5%
B.比较了解15%
C.基本了解45%
D.不了解n
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次参与调查的学生共有,n=;
(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度;
(3)请补全条形统计图;
(4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾的知识竞赛,某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一
人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中充分摇匀,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去,否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.
【知识考点】统计表;扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法;游戏公平性.
【思路分析】(1)用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,然后用1减去其它等级的百分比得到n的值;
(2)用360°乘以D等级所占的百分比得到扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角;
(3)先计算出D等级的人数,然后补全条形统计图;
(4)先画树状图展示所有12种等可能的结果,找出和为奇数的结果有8种,再计算出小明去和小刚去的概率.然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平.
【解题过程】解:(1)180÷45%=400,
所以本次参与调查的学生共有400人,
n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%;
(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角=360°×35%=126°,
故答案为400;35%;126;
(3)D等级的人数为400×35%=140(人),
补全条形统计图为:
(4)画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中和为奇数的结果有8种,
∴P(小明去)==
P(小刚去)=1﹣=
∵≠
∴这个游戏规则不公平.
【总结归纳】本题考查了游戏的公平性:判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平.也考查了统计图.
24.(12分)(1)如图⊙,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB,AD,DC之间的等量关系;
(2)问题探究:如图⊙,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
【知识考点】全等三角形的判定与性质.
【思路分析】(1)由“AAS”可证△CEF≌△BEA,可得AB=CF,即可得结论;
(2)延长AE交DF的延长线于点G,由“AAS”可证△AEB≌△GEC,可得AB=CG,即可得结论;
【解题过程】解:(1)AD=AB+DC
理由如下:∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF,
∵点E是BC的中点
∴CE=BE,且∠F=∠BAE,∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA(AAS)
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
(2)AB=AF+CF
理由如下:如图⊙,延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠G.且BE=CE,∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC(AAS)
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG,
∵∠BAG∠G,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∵CG=CF+FG,
∴AB=AF+CF
【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cosC=,求AE的长.
【知识考点】圆的综合题.
【思路分析】(1)连结OD、AD,如图,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,则根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC,加上DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线;
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