线性代数背诵要点（全）

第一章 行列式

一、行列式的概念、展开公式及其性质 （一）行列式的概念

a11a21A?...an1a12a22...an2...........a1na2n ...ann（二）行列式按行（列）展开公式

A?ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin?a1jA1j?a2jA2j?...?anjAnj其中Aij?(?1)i?jMijMij是A中去掉第i行及第j列元素后的n?1阶行列式，称之为aij的余子式，而(?1)i?jMij为aij的代数余子式1.上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积a11?a22??...????an1a11?anna1n?an1?a22??...???a11a22???ann?anna1n????2.关于副对角线，其计算公式为?a2n?1...a2n?1...???n(n?1)??(?1)2a1na2n?1???an1 ??3.两种特殊的拉普拉斯展开式，设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则A?AO??A?BOB?BOBA?A??(?1)mnA?B?BO

（三）行列式的性质

T1．经转置的行列式的值不变，即A?A

2.行列式中某一行各元素如有公因数k，则k可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零 3.如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和

a1?a2b1?b2lm=

a1b1a2+lmlb2 m4对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k倍加至另一行，行列式的值不变

（四）关于代数余子式的求和

1.只改变aij所在行或列中的元素的值并不影响其代数余子式Aij,Aij与aij的取值无关2.行列式一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零ai1Aj1?ai2Aj2?...?ainAjn?0a1jA1k?a2jA2k?...?anjAnk?0

二、有关行列式的几个重要公式

1.若A是n阶矩阵，则kA?knA 2.若A，B是n阶矩阵，则AB?A?B

3.若A是n阶矩阵，则A??A-1n?1?1若A是n阶可逆矩阵，则A?A

4.若A是n阶范德蒙矩阵1A?x1x12x1n?11x22x2.........1xn2xn，则A?1?j?i?n?(xi?xj)n

n?1n?1x2...xn5.若A是n阶矩阵，?i是A的特征值，则A???i

i?16.若A~B，则A?B

三、关于克莱姆法则

对于n个方程n个未知数的非齐次线性方程组，如果系行列式D?A?0,则方程组有唯一解x1?D1DD,x2?2,...,xn?n,其中Dj是把D中的xj的系数换成常数项DDD对于n个方程n个未知数的齐次线性方程组，系数行列式D?A?0,则方程组只有零解对于n个方程n个未知数的齐次线性方程组，有非零解，则系数行列式D?A?0

逆序数的计算，从左至右,看每个数后面比它小的数的个数 经初等变换矩阵的秩不变

第二章 矩阵及其运算

一、矩阵的概念与几类特殊方阵 （一）矩阵及相关概念 1.矩阵

m?n个数aij排成的m行n列的表格?a11a12...a1n??a? a...a222n??21称为m?n矩阵，简记A或(aij)m?n,若m?n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵?............???aa..am2mn??m12.0矩阵

如果矩阵A中所有元素而都是0，则称为零矩阵，记作0 3.同型矩阵

矩阵A?(aij)m?n,，B?(bij)s?t,中如果m?s,n?t,则称A与B是同型矩阵

4.矩阵相等

同型矩阵A?B?aij?bij(?i,j),即对应的元素都相等1. 方阵的行列式 对于方阵A?(aij)其元素可构造n阶行列式

a11A?a21...an1a12a22...an2...a1n...a2n由A?B,得不到A?B

........ann(二)几类特殊方阵

1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵， 记为E EA?AE?A;A0?E 2.对称矩阵

设A是n阶矩阵，如AT?A,即aij?aji(?i,j)

3.反对称矩阵

设A是n阶矩阵，如AT?-A,即aij?-aji(?i,j)，aii?0若A,B是同阶的(反)对称矩阵，则A?B,A?B,?A也是(反)对称矩阵，但AB不一定是(反)对称矩阵4.对角矩阵

设A是n阶矩阵，如aij?0(?i?j)，对角矩阵记为?同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵5.逆矩阵

设A是n阶矩阵，如存在n阶矩阵B,使AB?BA?E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，A的逆矩阵唯一

?1记为A6.正交矩阵

设A是n阶矩阵，如AAT?ATA?E,则称A是正交矩阵，A?1?AT

7.伴随矩阵

设A?(aij)是n阶矩阵，则由行列式A的各元素aij的代数余子式Aij所构成的n阶矩阵A11A12...A1nA21...An1A22...An2，称为A的伴随矩阵，记为A?.........A2n..Ann

二、矩阵的运算

（一）矩阵的线性运算 1.矩阵的加法

设A?(aij),B?(bij)是两个m?n矩阵，则m?n矩阵C?(cij)?(aij?bij)称为矩阵A,B的和

A?B?C2.矩阵的数乘

设A?(aij)是m?n矩阵，k是一个常数，则m?n矩阵(kaij)?(aij?bij)称为数k与矩阵A的数乘，

记为kA3.矩阵的乘法

设A?(aij),B?(bij)是两个n?s矩阵，则m?s矩阵C?(cij)其中cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ainbnj??aikbkj,称为A与B的乘积，记为C?AB

(1)矩阵的乘法一般没有交换律AB?BA,只有A与B可交换即AB?BA时，才能运算k?1n(2)AB?0,B?0，不能退出A?0;A2?A,不能堆出A?E或A?0;AB?0,应联想到B中的每一列都是其次方程Ax?0的解，若B?0,则齐次方程组有非零解r(A)?r(b)?n矩阵乘以不具有消去律，对于AB?0(A?0),以下两种情况消去率成立：若AB?0，且矩阵A可逆，则B?0若AB?0，且r(A)?A的列数，则B?0(3)AB?AC,A?0,不能退出B?C,若A是m?n矩阵，秩序r(A)?n，命题成立（二）关于逆矩阵的运算规律

1(1)(A?1)?1?A (2)(kA)?1?A?1 (3)(AB)?1?B?1A?1

k

(4)(A?1)T?(AT)?1 (5)A?1?A (6)(An)?1?(A?1)n

(三)关于矩阵转置的运算规律

?1(1)(AT)T?A (2)(kAT)?kAT (3)(AB)T?BTAT (4)(A?B)T?AT?BT

（四）关于伴随矩阵的运算规律

(1)A?A?AA??AE (2)A??An?1(n?2) (3)(A?)??An?2A(n?2)

(4)(kA)??kn?1A? (5)(A?)T?(AT)?

(6)r(A?)?n,r(A)?n;r(A?)?1,r(A)?n?1;r(A?)?0,r(A)?n?1 (7)若A可逆，则(A?)-1?1A,(A?)-1?(A?1)?,A??AA?1 A

（五）关于分块矩阵的运算法则

?A(1)?1?A3A2??B1??A4???B3B2??A1?B1??B4???A3?B3A2?B2? ?A4?B4??AB??XY??AX?BZAY?BW?(2)???ZW???CX?DZCY?DW? CD???????AT?AB?(3)????TCD???B?Bn?BO?(4)?????OC??O-1nTCT? T?D?O? n?C?-1?B-1O??OB??OC?1??BO?(4)?，? ???????1-1??OCCOOCBO????????

三、矩阵可逆的充分必要条件

n阶方阵A可逆，等价于1.存在n阶方阵B，有AB?BA?E2.A?03.r(A)?n4.A?P1P2???Ps,其中Pi是初等矩阵5.A的列(行)向量线性无关6.齐次方程组Ax?0只有零解7.?b,非齐次方程组Ax?b总有唯一解8.A的特征值全不为0

四、矩阵的初等变换与初等矩阵 （一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换

下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换 （1） 对调矩阵的两行列

（2） 用非零常数k乘以某行列中所有元素

（3） 把矩阵某行列所有元素的k倍加至另一行列对应的元素上去 （4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换） （5） 不要混淆矩阵的运算

2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵

①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方

②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大

（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵

对于任何矩阵A，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

（二）初等矩阵的概念

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵

（三）初等矩阵的性质

1.用初等矩阵P左(右)乘A，所得PA(AP)就是对矩阵A做了一次与P同样的行列初等变换

2.初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵

?001??001??010???010?；副对角线E?1?Eijij???????100???100???1?100??020???0????0??001???-1-1-100??11?10?；主对角线Ei(k)?Ei()2k?01?

?100??100??310???-310?主对角线以外E?1(k)?E(?k)ijij???????001???001??

五、矩阵的等价

（一）矩阵等价的概念

?E矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记作A~B.若A~?r?0后者是A的等价标准形，其中Er是r阶单位矩阵,r是矩阵A的秩（二）矩阵等价的充分必要条件

0?,则称 0??A~B等价于1.A，B是同型矩阵且有相同的秩2.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ?B设A时m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q,使得

?E0?PAQ??r??00?矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念；向量组等价是指两个向量可以互相线性表示向量组等价必有矩阵等价

定义法，找出B使AB?E或BA?E1?伴随矩阵法A?1?AA初等变换法(AE)?(E-1AEA);()?(?1)EA?1-1

?B-1O??OB??OC?1??BO?分块矩阵法?，????????1-1??OCCOOCO????????B

Ax?B有解等价于1.B的每列可由A的列向量表出2.r(A)?r(AB)解题思路方法1,若A可逆，则X?A?1B,可以先求出A?1方法2，若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯形方程组 若A?PBP?1,则An?PBnP?1 ?T?是矩阵??T的主对角线元素之和

求An,先求特征值与特征向量(P与?)，令An?P?nP-1

行列变换与单位矩阵、初等矩阵运算的关系

第三章 n维向量

一、n维向量的概念与运算 （一）n维向量的概念

n个数a1,a2,...,an构成的有序数组称为n维向量，记作(a1,a2,...,an)或(a1,a2,...,an)T,分别称为n维行向量或n维列向量，也就是1?n或n?1的矩阵，数ai称为向量的第i个分量（二）n维向量的运算

如果??(a1,a2,...,an)T,??(b1,b2,...,bn)T1.加法????(a1?b1,a2?b2,...,an?bn)T2.数乘k??(ka1,ka2,...,kan)T3.内积(?,?)?a1b1?a2b2?...?anbn??T????T4.若(?,?)?0，则?,?正交，(?,?)??T??a1?a2?...?an222

??a12?a22?...?an2(?,?)??T??0???0

二、线性组合与线性表出 1.线性组合

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

由s个n维向量?1,?2,...,?s及s个常数k1,k2,...,ks所构成的向量2.线性表出

k1?1?k2?2?...?ks?s称为向量组?1,?2,...,?s的一个线性组合，其中k1,k2,...,ks称为组合系数如n维向量?能表示成向量?1,?2,...,?s的线性组合k1?1?k2?2?...?ks?s??则称?可由?1,?2,...,?s线性表出，或说?是?1,?2,...,?的线性组合3.向量组等价

如过向量组(1)?1,?2,...,?s的每个向量都可以由向量组(2)?1,?2,...,?t线性表出，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出；如果两个向量组可以互相线性表出，则称两个向量等价1等价向量组具有传递性、对称性、及反身性，但向量个数可以不一样，线性相关也可以不一样2.任一向量组和它的极大无关组等价3.向量组的任意两个极大无关组等价4.两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同5.等价的向量具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价6.如果向量组(1)可由向量组(2)线性表出，r(1)?r(2),则(1)、(2)等价

三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关

对于n维向量?1,?2,...,?s，如存在一组不全为0的数k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?...?ks?s?0则称此向量组?1,?2,...,?s线性相关2.线性无关

对于n维向量?1,?2,...,?s，如果k1?1?k2?2?...?ks?s?0必有k1?k2?...?ks?0，,则称此向量组?1,?2,...,?s线性无关称此向量组?1,?2,...,?s线性无关

（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件

或者说如存在一组数k1,k2,...,ks不全为0，必有k1?1?k2?2?...?ks?s?0，向量组?1,?2,...,?s线性相关，?x1??x??齐次方程组(?1,?2,...,?s)?2??0有非零解?...? ??x?s??r(?1,?2,...,?s)?s(向量的个数)?存在某?i可由其他s?1个向量线性表出n个n维向量线性相关??1,?2,...,?s?0n?1个n位向量一定线性相关

2.线性无关的充分必要条件

向量组?1,?2,...,?s线性无关，?x1??x??齐次方程组(?1,?2,...,?s)?2??0只有零解

?...????xs??r(?1,?2,...,?s)?s(向量的个数)?存在某?i都不能用其他s?1个向量线性表出

3.几个重要结论

(1)阶梯形向量组一定线性无关(2)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，则它的任一个部分分组?i1,?i2,...,?it必然线性无关

??1???2???s?(3)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，则它的任一延伸组??，...，???必然线性无关???，??1??2??s?(4)两两正交、非零的向量组必然线性无关四、线性相关性与线性表出的关系

(1)向量组?1,?2,...,?s线性相关，的充要条件是?s可以用其余s?1个向量线性表出(2)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，而向量组?1,?2,...,?s，?线性相关，则?可由?1,?2,...,?s线性表出，且表示法唯一则它的任一个部分分组?i1,?i2,...,?it必然线性无关(3)若向量组?1,?2,...,?s可由向量组?1,?2,...,?t线性表出，且s?t,则?1,?2,...,?s线性相关(4)若向量组?1,?2,...,?s可由向量组?1,?2,...,?t线性表出，且?1,?2,...,?s线性无关，则s?t

五、向量组的秩与矩阵的秩

（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组

在向量组?1,?2,...,?s中，如存在一个部分组?i1,?i2,...,?it线性无关，且再添加进组中任一向量?j向量组?i1,?i2,...,?it，?j一定线性相关，则称向量组?i1,?i2,...,?it是向量组?1,?2,...,?s的一个极大线性无关组只由一个零向量构成的向量组不存在极大的线性无关组，规定他的秩为0，一个线性无关向量组的极大线性 无关组就是该向量自身一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的。但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组中所含向量的个数都是r,即个数r是由原向量唯一确定的2.向量组的秩

向量组?1,?2,...,?s的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为该向量组的秩， 记为r(?,?,...,?)?r12s

3.矩阵的秩

矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式不为0，r?1阶子式(若还有)全为0 矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式不为0矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式全为0

（二）向量组的秩与矩阵的秩的关系

r(A)?A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)?A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)；求向量组的极大线性无关组和向量组的秩时，可通过对矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵来实现经初等变换矩阵、向量组的秩均不变若向量组(1)可由向量组(2)线性表出，则r(1)?r(2).特别地，等价的向量组有相同的秩但秩相同的向量组不一定等价

六、矩阵秩的重要公式

1.r(A)?r(AT) 2.r(A?B)?r(A)?r(B) 3.r(kA)?r(A),k?0

4.r(AB)?min(r(A),r(B)) 5.如A可逆，r(AB)?r(A)；如B可逆，r(AB)?r(B)

6.A是m?n矩阵，B是n?p矩阵，如AB?0,则r(A)?r(B)?n

七、施密特正交化

若?1,?2,...,?s线性无关，则可构造?1,?2,...,?s使其两两正交，且?i仅是?1,?2,...,?s的线性组合，再把?i单位化，记?i??i,则?1,?2,...,?s是规范正交向量组?i(?,?)(?,?)(?,?)其中?1??1，?2??2-21?1,?3??3?31?1?32?2(?1,?1)(?1,?1)(?2,?2)

?s??s?(?s,?1)(?,?)(?,?)?1?s2?2?...?ss?1?s?1(?1,?1)(?2,?2)(?s?1,?s?1)

第四章 线性方程组

一、线性方程组的各种表达形式及相关概念

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?ax?ax?...?ax?b?2112222nn2可用矩阵乘法表示为Ax?b, 线性方程组?...???am1x1?am2x2?...?amnxn?bmx?(x1，x2，...，xn)T，b?(b1，b2，...，bn)T

如果对系数A按列分块，方程组又可以有向量形式x1?1?x2?2?...?xn?n?b二、基础解系的概念及其求法 （一）基础解系的概念

如果n维列向量??(c1，c2，...，cn)T满足方程组Ax?b,即A??b,?是Ax?b的一个解向量齐次方程组Ax?0恒有解(比有零解)。当有非零解时，根据齐次方程组的解性质，解向量的任意线性组合仍是该方程组的解称?1，?2，...，?t是Ax?0的基础解系，即(1)?1，?2，...，?t是Ax?0的解；(2)?1，?2，...，?t线性无关；(3)Ax?0的任一解都可由?1，?2，...，?t线性表出，所谓解系，就是Ax?0的解向量组的一个极大无关组k1?1?k2?2?...?kt?t是Ax?0的通解，其中k1，k2，...，kt是任意常数基础解析中解向量的个数是n?r(A),且n?r(A)也是每个解向量中自由变量的个数（二）基础解系的求法

求基础解系时，可对A做初等行变换化为阶梯形矩阵，通常称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元)，那么剩下的其他未知数就是自由变量(共有n?r(A)个)，

当然也可以加减消元后找出r(A)的行列式，那么其他各列的未知数就是自由变量，对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系三、齐次方程组有非零解的判定

设A是m?n矩阵，齐次方程组Ax?0有非零解的充要条件是r(A)?n,亦即A的列向量线性相关如A是n阶矩阵,Ax?0有非零解的充要条件是A?0Ax?0有非零解的充分条件是m?n(即方程的个数小于未知数的个数)四、非齐次线性方程组有解的判定

设A是m?n矩阵，线性方程组Ax?b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩?—?即r(A)?r?A???或者说b可由A的列向量?1，?2，...，?n线性表出，亦等同于?1，?2，...，?n与?1，?2，...，?n，b是等价向量组设A是m?n矩阵，线性方程组Ax?b，则 ?—?(1)有唯一解?r(A)?r?A??n???—?(2)有无穷多解?r(A)?r?A??n???—?(3)无解?r(A)?1?r?A??b不能由A的列向量线性表出??如Ax?b有唯一解，则Ax?b只有零解；反之，当Ax?0只有零解时，Ax?b没有无穷多解—(可能无解，也可能只有唯一解)五、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax?b有解，设?1，?2，...，?t是相应齐次方程组Ax?0的基础解系，?0是六、线性方程组解的性质

Ax?b的某个已知解，则k1?1?k2?2?...?kt?t??0是Ax?b的通解，其中k1，k2，...，kt是任意常数1.如果?1,，?2,是Ax?b的两个解，则?1,-?2,是Ax?0的解2.如果?1,，?2,是Ax?0的两个解，其线性组合k1?1,?k2?2,仍是Ax?0的解 3.如果?是Ax?b的解，?是Ax?0的解，则???仍是Ax?b的解

第五章 矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法 （一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念

1.矩阵的特征值与特征向量的概念设A是n阶矩阵，若存在数?及非零的n维列向量?，使得A????(??0)成立，则称?是矩阵A的特征值，称非零向量?是矩阵A属于特征值?的特征向量特征向量为非零向量

2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念行列式f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式，?E?A?0称为矩阵A的特征方程特征方程?E?A?0是?的n次方程，它的n个根就是矩阵A的n个特征值若?是A的特征值，则?E?A?0，因此?E?A是不可逆矩阵Ax?0的基础解系就是??0的线性无关的特征向量

（二）特征值与特征向量的性质

1.如果?1，?2都是特征值?i所对应的特征向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2(非零时)仍属于?i的特征向量(?i的特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于一个特征值)2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当?i是矩阵A的k重特征根时，矩阵A属于?i的线性无关的特征向量的个数不超过k个因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有n个，并且若?1，?2是矩阵A的不同特征值，?1，?2分别是?1，?2的特征向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2不再是A的特征向量3.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于A行列式的值4.n阶矩阵A和的它的转置矩阵AT有相同的特征值5.n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征值均不等于06.若?是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，?k是Ak的特征值

（三）特征值与特征向量的求法

1.对于抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值2.对于具体的数字矩阵，应先由特征方程?E?A?0,求出矩阵的A的全部特征值，其中有可能重根，然后对每个不同的特征值?i,分别解齐次方程组(?iE?A)x?0，设r(?iE?A)?ri,如果求出方程组的基础解系(即矩阵A关于特征值?i的线性无关的特征向量)

?1,?2,...,?n?r,则矩阵A属于特征值?i的全部特征向量k1?1?k2?2?...?kn?r?n?r,iii其中k1，k2，...，kn?ri是不全为零的任意常数二、相似矩阵的概念与性质 （一）相似矩阵的概念

设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P?1AP?B,则称矩阵A与B相似，记为A~B

(二)相似矩阵的性质

1.如A~B??E?A??E?B,从而A，B有相同的特征值??aii??bii(A,B有相同的迹)i?1i?1nn

?r(A)?r(B)?A?B2.如A~B，设P-1AP?B,则P-1(A?kE)P?B?kE;P-1AnP?Bn3.如A~B，则AT~BT4.如A~B,且A，B都可逆，则A~B5.如A~B，B~C,则A~C

三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤 (一)矩阵可相似对角化的概念

-1-1

n阶矩阵A如果与对角矩阵?相似，则称A可以相似对角化，记成A~?，并称?是A的相似标准型P-1AP??，则?对角线上的元素都是A的全部特征值，P的每一列对对应的特征向量

（二）矩阵可相似对角化的充要条件

1.A与对角矩阵相似的充要条件(1)A有n个线性无关的特征向量(2)对于矩阵A的每一个ni重特征值?i,其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数ni，亦即秩r(?iE?A)?n?ni如果A~?，且?0是ni重特征根，则?0应用ni个线性无关的特征向量，即齐次方程组(?0E?A)x?0的基础解系应含有n?r(?0E?A)?ni个向量，故可通过秩r(?0E?A)来判断A是否能对角化2.A与对角矩阵相似的充分条件(1)A有n个不同的特征值；(2)A是实对称矩阵(三)相似对角化A为对角矩阵?的解题步骤第一步，先求出A的特征值?1，?2，...，?n第二步，再求所对应的线性无关的特征向量?1，?2，...，?n??1?

???2-1?第三步，构造可逆矩阵P?(?1，?2，...，?n),则PAP????...???n??(四)实对称矩阵的特性及用正交矩阵化的A为相似标准形的解题步骤 1.实对称矩阵的特性(1)实对称矩阵必可对角化(2)特征值全是实数，特征向量都是实向量(3)不同特征值的特征互相正交(4)ni重特征值必有ni个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(?E?A)?n?ni

2.用正交矩阵化A为相似标准型的解题步骤可用正交化变换话A为相似标准形，解题步骤类同(三)，只是要保证P是正交矩阵，为此求出特征向量后应改造特征向量(1)当A的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P正交化方法处理，才能构造出正交矩阵P(2)当特征值有重根?i时，要检查特征向量是否正交，否则必须对?i的特征向量用施密特

?注?掌握用正交变换化实对称矩阵为对角形的方法，经常与二次型联系在一起仅实对称才能用正交变换化为对角形第六章 二次型

一、二次型的概念及其标准型 （一）二次型及其矩阵表示

含有n个变量x1,x2,...,xn的二次型齐次多项式(即每项都是二次多项式)f(x1,x2,...,xn)???aijxixj,aij?aji，称为n元二次型。令x?(x1,x2,...,xn)T,A?(aij)i?1j?1nn则二次型可用矩阵乘法表示为f(x1,x2,...,xn)?xTAx其中A是n阶实对称矩阵(AT?A),称A为二次型f(x1,x2,...,xn)的矩阵。矩阵A的秩r(A)称为二次型f的秩，记作r(f)二次型的矩阵是唯一的。由二次型应能立即写出其二次型矩阵（二）二次型的标准型

如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项xixj(i?j)的系数全是零，即22f(x1,x2,...,xn)?xTAx?d1x12?d2x2?...?dnxn其中di(i?1,2,...,n)为实数，则称这样的二次型为标准型在标准型中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q称为二次型的负惯性指数，r(f)?r(A)?p?q任意的n元二次型xTAx都可以通过坐标变换x?Cy(C是可逆矩阵)化为标准型22xAx?yT?y?d1y12?d2y2?...?dnyn;其中??CTACTx?Cy特别地，存在正交变换x?Cy(C是正交矩阵)化xTAx为标准型22xTAx??1y12??2y2?...??nyn;??CTAC?C-1AC，这里?1，?2，...,?n是二次型矩阵A的n个特征值若二次型xTAx经过坐标变换x?Cy化成标准型22xTAx?d1y12?...?dpy2p?dp?1yp?1?...?dp?qyp?q;其中di?01?y?z1?1d1??y?2???......??yp?q???于是二次型化作1z2d2...1zp?qdp?q

22xTAx?z12?...?z2型，p?zp?1?...?zp?q，它成为二次型的规范二次型标准型不是唯一的，它的规范形唯一

（三）惯性定理

对于一个二次型，不论选择怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准型，其正、负惯性指标与所坐标变换无关

二、正定二次型与正定矩阵

1.正定二次型与正定矩阵的概念对二次型xTAx，如对如何x?0,恒有xTAx?0，则称二次型xTAx是正定二次型。正定二次型的矩阵A称为正定矩阵2.二次型正定的充要条件n元二次型xTAx正定?xTAx的正惯性指数p?n?A与E合同，即有可逆矩阵C，使CTAC?E?A的所有特征值全大于0?A的顺序主子式全大于0?存在可逆矩阵C,使得A?CTC正定的必要条件：aii?0;A?0

三、合同矩阵

1.合同矩阵的概念；两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C,使得CTAC?B,则称矩阵A和B合同，记作A?B;任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵

2.两个矩阵合同的充要条件:二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数3.两矩阵合同的充分条件：实对称矩阵A?B的充分条件是A~B 因为若A~B，则A,B有相同的特征值，从而二次型xTAx与xTBx有相同的标准型，即有相同的正、负惯性指数，从而A?BA?B的必要条件是r(A)?r(B)

化二次型为标准形

解题思路：用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为：1.把二次型表示为矩阵形式xTAx2.把A的特征值及相应的特征向量(当?1??2，检验X1,X2是否正交)3,若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需施密特正交化4.把特征向量单位化为?1，?2，...，?n5.构造正交矩阵C?(?1，?2，...，?n)226.令x?Cy，得xTAx??1y12??2y2?...??nyn用配方法化二次型为标准形的解题步骤1.如二次型至少有一个平方项，不妨设a11?0,则对所有含x1的项配方(经配方后所余各项中不再含有x1).如此继续配方，直至每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量y1,y2,...,yn;22有y?C?1x,得xTAx?d1y12?d2y2?...?dnyn2.如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设a12?0，则可令x1?y1?y2,x2?y1?y2,x3?y3,...,xn?yn2经此坐标变换，二次型中出现a12y12?a12y3,再按步骤1配方法

判别或证明二次型的正定性

判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路有：(1)用定义；(2)正惯性指数p?n;(3)顺序主子式全大于0；(4)特征值全大于0；正定必要条件A?0

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