第9章 重积分

第9章 重积分

重积分是定积分概念的推广，其被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个有界闭区域，两者虽然形式不同，但本质都是一种和式的极限．本章主要介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法以及它们在几何和物理方面的一些应用．

§1 二重积分的概念及性质

一、两个实例

1.曲顶柱体的体积

所谓曲顶柱体是指以xOy面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面z?f?x,y?(其中f?x,y?是D上的非负连续函数)为顶的这样一种立体?(如图9-1)．

下面运用第5章中计算曲边梯形面积的思想来计算上述曲顶柱体

(1)分割：将曲顶柱体?分割成若干小曲顶柱体 将闭区域D任意分割成n个小闭区域??i，??i同时也表示第i个小区域的面积．以每个小区域??i(i?1,2,?,n)的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将曲顶柱体分成n个小曲顶柱体(如图9-2),设其体积为?Vi(i?1,2,?,n),则曲顶柱体体积

n的体积.现将具体计算过程阐述如下:

V???Vi?1i．

(2)近似：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积 在每个小区域??i内任取一点??i,?i?,以??i为底，

f(?i,?i)(i?1,2,?,n)为高的小平顶柱体的体积作为相应小曲顶

柱体体积的近似值，即

?Vi?f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)．

(3)求和：用n个小平顶柱体的体积和作为曲顶柱体体积V的近似值

115

nniV???Vi?1??i?1f(?i,?i)??i．

(4)取极限

当对区域D的分割无限变细，即当各个小闭区域??i(i?1,2,?,n)的直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)中的最大值?趋于零时，取上式和式的极限，便可得到所求曲顶柱体的体积

nniV???Vi?1?lim??0?i?1f(?i,?i)??i．

2.平面薄板的质量

设一平面薄板占有xOy面上有界闭区域D，它在点?x,y?处的面密度??x,y?为D上的非负连续函数，求该薄板的质量m．

如果薄板是均匀的，即面密度是常数，则薄板质量为

m?面密度?薄板面积，

而此薄板面密度??x,y?是变量，故不能用上面公式计算此薄板质量．类似于上面求曲顶柱体体积的方法，下面来计算薄板的质量m．

(1)分割 如图9-3，将闭区域D任意分割成n个小闭区域??i，??i同时也表示第i个小区域的面积(i?1,2,?,n)．设第i个小区域

的质量为?mi(i?1,2,?,n)，于是

nm???mi?1i．

(2)近似

由于??x,y?连续,小区域上面密度变化很小，可近似地看作是均匀的，于是在??i内任取一点??i,?i?(i?1,2,?,n)，有

?mi????i,?i???i?i?1,?,n?．

(3)求和

将这n个近似值相加，便得到整个平面薄板质量的近似值，即

nm???(?i?1i,?i)??i．

(4)取极限

当n个小区域的最大直径??0时，上述和式的极限就是所求薄板的质量，即

nnim???mi?1?lim??0??(?,?ii?1i)??i．

116

上面两个实例，一个是几何问题，一个是物理问题．虽然两个问题的实际意义不同，但是解决这两个问题的思想方法都是相同的，结果都归结为计算同一形式和式的极限．抛开上述两个问题的具体意义，可抽象出下述二重积分的定义．

二、二重积分的定义

定义1 设函数f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n个小闭区域

??i，并用??i表示第i个小区域的面积(i?1,2,?,n)．在每个小闭区域??i内任取一

n点??i,?i?，作乘积f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n),并求和?f(?i,?i)??i.如果当各小闭区

i?1域的直径中的最大值?趋于零时，此和式极限存在，且与区域D的分法和点??i,?i?的取法无关，则称f(x,y)D上可积，并称此极限值为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分， 记作??f?x,y?d?，即

Dn??f?x,y?d?D?lim??0?i?1f(?i,?i)??i

其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d?称为被积表达式，x，y称为积分变量，d?称为面积微元，D称为积分区域．

在上述定义中对闭区域D的分割是任意的，如果f(x,y)在D上可积，那么为方便计算，我们可取特殊的分割．例如在直角坐标系中，可用平行于坐标轴的直线来分割区域D，此时除了包含D边界的一些小区域外，其余的小区域都是矩形区域，且小矩形区域的面积为??i??xi?yi．因此在直角坐标系中，常将二重积分的面积元素写成d?=dxdy，二重积分常可以写为

??f?x,y?d?D???f?x,y?dxdy．

D利用上述定义，前面所讨论的两个实例可分别如下表示： (1)曲顶柱体的体积是曲面z?f(x,y)V??f(x,y)?0?在底D上的二重积分，即

．

??f?x,y?d?D(2)平面薄板的质量是其面密度??x,y?在薄板所占闭区域D上的二重积分，即

m?????x,y?d?D．

与定积分类似，下面不加证明地给出二重积分存在的两个充分条件．

定理1 若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在区域D上可积． 定理2 若函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，且分片连续（即可把D分成有限个

117

子区域，使f(x,y)在每个子区域上都连续），则f(x,y)在区域D上可积．

三、二重积分的几何意义

设函数f(x,y)连续，则

(1) 当f(x,y)?0时，二重积分??f?x,y?d?表示的是以曲面z?f(x,y)为顶，以

D区域D为底的曲顶柱体的体积V，即

??f?x,y?d?D?V；

(2) 当f(x,y)?0时，曲顶柱体在xOy面下方，此时??f?x,y?d?表示的是曲顶柱

D体体积V的负值，即

??f?x,y?d?D??V；

(3) 当f(x,y)有正有负时，??f?x,y?d?表示区域D上在xOy面上方的曲顶柱体体

D积V1与xOy面下方的曲顶柱体体积V2之差，即

??f?x,y?d?D?V1?V2．

例1 利用二重积分的几何意义,计算二重积分I?D???DR?x?yd?，其中区域

222??x,y?x2?y?R22?．

R?x?y是半径为R的上半球面,积分区域D是半径为

23222解 被积函数f?x,y??R的圆,所以由二重积分的几何意义可知，所求二重积分为上半球体的体积，即

I???DR?x?yd??222?R．

3四、二重积分的性质

二重积分具有与定积分类似的性质，下面假定所讨论的函数在相应积分区域上均可积．

性质1 两个函数和(或差)的二重积分等于它们二重积分的和(或差)，即

?f?x,y??g?x,y???d????D???f?x,y?d????g?x,y?d?DD．

性质2 被积函数的常数因子可以提到二重积分的符号外面,即对任意常数k，有

118

??kf?x,y?d?D?k??f?x,y?d?．

D性质1和性质2称为二重积分的线性性质，且对任意常数k1,k2,?,kn，有

?kf?x,y??k???11D2f2?x,y????knfn?x,y???d?

?k1??f1?x,y?d??k2??f2?x,y?d????kn??fn?x,y?d?．

DDD性质3 若被积函数f(x,y)?1,则

??1?d?D???d?D??，

其中?为区域D的面积．

该性质的几何意义是很明显的,即高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．

性质4(积分区域可加性) 若积分区域D被一条曲线分成两个闭区域D1和D2，则有

??f?x,y?d?D???f?x,y?d????g?x,y?d?D1D2．

这一性质可推广到将D分割成有限个区域Di?i?1,2,?,n?上去，即

??f?x,y?d?D???f?x,y?d????g?x,y?d?D1D2?????g?x,y?d?Dn．

性质5(二重积分保号性) 若f(x,y)?0?x,y??D，则

??f?x,y?d?D?0．

推论1 若在区域D上f(x,y)?g?x,y?，则

??f?x,y?d????g?x,y?d?DD．

推论2

??f?x,y?d?D???f?x,y?d?D．

性质6(二重积分估值定理) 设M及m分别是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小值，?为区域D的面积，则

m????f?x,y?d?D?M?．

?为区域D的面积，性质7(二重积分中值定理) 设函数f?x,y?在闭区域D上连续，

119

则在D上至少存在一点??,??，使得

??f?x,y?d?D?f??,???．

证 因为f?x,y?在D上连续，由最值定理知，f?x,y?在D上必存在最大值M和最小值m，由性质6有

m????f?x,y?d?D?M?．

再由介值定理知，至少存在一点??,???D，使得

1???f?x,y?d?D?f??,??．

即??f?x,y?d??f??,???．证毕．

D 这一性质的几何意义：在D上以曲面f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积，等于D上以某一点??,??的函数值f??,??为高的平顶柱体的体积．

例2 利用二重积分的性质，估计二重积分I?的值，其中D????x?y?5?d?D??x,y?x2?y?4．

2?解 如图9-4所示，当x2?y2?4时，?22?x?y?22， 所以

??22?54??I?22?54?．

???习题 9-1

1．利用二重积分定义证明:

(1)??d???(其中?为区域D的面积)；

D(2)??kf?x,y?d??k??f?x,y?d?(k为常数)．

DD2．利用二重积分的几何意义，计算下列二重积分：

(1)???1?x?y?d?，其中积分区域D是由直线x?y?1，x?0，y?0所围成的

D120

区域；

(2)??2d?，其中积分区域D???x,y?x?y?1,y?x?1,y?0?；

D22??xy??(3)??d?，其中积分区域D???x,y?2?2?1?．

ab??D??3．利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：

(1)???x?y?d?与???x?y?d?，其中积分区域D是由直线x?y?1与x轴，y轴

DD23所围成的区域；

(2)???x?y?d?与???x?y?d?，其中积分区域D是由圆?x?2???y?1??2

DD2322所围成的区域；

(3)??ln?x?y?d?与??lnDD2?x?y?d?，其中积分区域D是以点?1,0?，?1,1?，?2,0?

为顶点的三角形闭区域；

(4)??ln?x?y?d?与??lnDD2?x?y?d?，其中积分区域D???x,y?3?x?5,0?y?1?．

4．利用二重积分的性质，估计下列二重积分的值：

(1)???x?y?1?d?，其中积分区域D???x,y?0?x?1,0?y?2?；

D(2)??sinxsinyd?，其中积分区域D???x,y?0?x??,0?y???；

22D(3)??eDsinxcosyd?，其中积分区域D???x,y?x2?y?4；

2?(4)???x?4y?9?d?，其中积分区域D?22D??x,y?x2?y?4．

2?§2 二重积分的计算

一、直角坐标系下二重积分的计算

由于二重积分的值与积分区域D有关，因此下面在直角坐标系下按积分区域D的类

121

型介绍二重积分??f?x,y?d?的计算方法，其中被积函数f?x,y?为D上连续函数．

D1、积分区域D为X型区域二重积分??f?x,y?d?的计算

D

所谓X型区域是指由曲线y??1?x?和y??2?x?以及直线x?a和x?b所围成的闭区域，这里函数?1?x?、?2?x?在区间[a,b]上连续(如图9-5)．该区域的特点是过D内部任一点作一条平行于y轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个．X型区域D可这样表示：

D???x,y??1?x??y??2?x?,a?x?b．

?若f?x,y??0且在X型区域D上连续，则由二重积分的几何意义知，??f?x,y?d?

D表示的是以D为底，以z?f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积．下面利用“切片法”来计算上述曲顶柱体的体积V．

如图9-6，过x轴上区间[a,b]上任一点x作垂直于x轴的平面，该平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[?1?x?,?2?x?]为底，以曲线z?f?x,y?为曲边的曲边梯形，且截面面积为

A?x?????1?2?x?x?f?x,y?dy．

再利用第六章定积分的几何应用:已知立体的截面面积A?x?，x?[a,b]，则立体体 积公式V??baA?x?dx，可得曲顶柱体的体积V为

babaV??A?x?dx????2?x?f????1?x?dx． ?x,y?dy???122

此体积V的值即为二重积分??f?x,y?d?的值，即有

Dba

??f?x,y?d?D????2?x?fx,． (1) y?yd?xd???x?????1?上式右端称为先对y积分然后再对x积分的二次积分或累次积分．它的实质是计算两次定积分:先把x看成常数，即f?2?x?的定积分

?x,y?只看成

y的函数，对变量y计算从?1?x?到

???1?2?x?x?f?x,y?dy，其结果是x的函数，然后再对变量x计算[a,b]上的定

积分．这种先对y后对x的累次积分也常记作

?因此公式(1)也常写为

badx??2?x??1?x?f?x,y?dy．

??Df?x,y?d???badx??2?x??1?x? (2) f?xy,?yd．

2、积分区域D为Y型区域二重积分??f?x,y?d?的计算

D所谓Y型区域是指由曲线x??1?y?和x??2?y?以及直线y?c和y?d所围成的

?2?y?在区间[c,d]上连续(如图9-7)．闭区域，这里函数?1?y?、该区域的特点是过D内

部任一点作一条平行于x轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个．Y型区域D可这样表示：

D???x,y??1?y??x??2?y?,c?y?d．

?

类似于X型区域D上二重积分??f?x,y?d?计算公式(1)或(2)的推导，容易得到YD型区域D上二重积分??f?x,y?d?可化为先对x积分再对y积分的累次积分来计算，计

D算公式为

123

??f?x,y?d?D??dc??2?y?fx,ydx?dy????????1?y???dcdy??2?y??1?y? (3) f?x,y?dx．

注 上面公式(2)和公式(3)的推导中，总假定了f?x,y??0，实际上此条件可去掉，即对有界闭区域上的任意连续函数f?x,y?，公式(2)和公式(3)均成立．

若积分区域D既是X型区域，又是Y型区域，则有

ba??f?x,y?d???Ddx??2?x??1?x?f?x,y?dy??dcdy??2?y??1?y?f?x,y?dx．

此式说明两个不同顺序的累次积分相等，同为原二重积分之值．但在具体计算中，两种方法的效果有时未必相同，甚至其中一种顺序可能无法进行计算，如下面例3．因此在实际计算中选择恰当的积分次序很关键．

3、积分区域D既非X型区域又非Y型区域

此时可用平行于坐标轴的直线将D分割成几个子区域，使每个子区域成为X型区域或Y型区域．然后利用积分区域可加性，分别计算出相应子区域上的二重积分再求和即可(如图

9-8) ，即

??f?x,y?d?D???f?x,y?d????f?x,y?d????f?x,y?d?D1D2D3．

xy??例1 计算二重积分???1???d?，其中D???x,y??2?y?2,?1?x?1?．

34?D?解 首先画出积分区域D的图形(如图9-9)，D既是X型区域，又是Y型区域．

方法一：按X型区域，即按先y后x的次序计算，有

xy??1???d?????34?D??1?1dx?xy??1???dy ??234??2x12?? ???y?y?y?dx

?138???212?4??4?x?dx?8． ??1?3??1方法二：按Y型区域，即按先x后y的次序计算，有

xy?1?????34D?124

??d???1?xydy1????2??1?34?2??dx ?

12y?????x?x?x?dy ?264??1?21?1??2?y?dy?8． ??2?2??2特别地，当积分区域D为矩形域D???x,y?c?y?d,a?x?b?，且被积函数可分 离变量，即f?x,y??f1?x?f2?y?时，二重积分

??Df?x,y?d???baf1?x?dx??dcf2?y?dy．

上式右端实际上是两个定积分之积，这样可简化计算．证明留给读者．

例2 计算??xyd?，其中D由抛物线y2?x和直线y?x?2所围闭区域．

D

解 首先画出积分区域D的图形(图9-10)． 方法一：视D为Y型区域，即D?于是

??x,yy?2y2?y2?x?y?2,?1?y?2 ?(如图9-10(a))，

??xyd?D??12?1dy?2xydx??2?1ydy?y?2y2xdx

?45??y?2?2?y4?dy?y． ????128方法二：视D为X型区域，此时须用直线x?1将D分割成

D1???x,y??x?y?x,0?x?1

?和

D2???x,y?x?2?y?x,1?x?4

?两个子区域(如图9-10(b))，则

125

??xyd?D???xyd????xyd?D1D2

??10dx?x?xxydy??41dx?xx?2xydy?458．

比较两种方法，显然方法一要简洁些． 例3 计算??Dsinyyd?，其中D是由直线y?x和曲线y?x所围成的闭区域．

解 积分区域D如图9-11所示，显然D既是X型区域，又是Y型区域．若视D为X 型区域，即D???x,y?x?y???Dx,0?x?1，于是

?

sinyyd???10dx?xxsinyydy．

由一元函数积分学知，

sinyy的原函数不能用有限形式的初

等函数表示，计算无法继续．但若改变积分次序，视D为Y型 区域，即D???x,y???Dy?x?y,0?y?1，于是 sinyyd??2?

?10dy?yy2sinyydx

???siny01?ysiny?yd??1．si n1由例2和例3可以看出，将二重积分转化为不同次序的累次积分，其计算难易程度可能不同．在选择积分次序时，既要考虑积分区域的形状，还要考虑被积函数的特性，两者综合考虑才能选择恰当的积分次序．

例4 设f?x,y?连续，改变下列累次积分的积分次序: (1)I???10dx?dx?2x?xx2f?x,y?dy；

10(2)I?1030xf?x,y?dy??1dx?10?x02f?x,y?dy．

解(1)首先根据累次积分的积分限画出X型积分区域D??x,y?x?y?2x?x,0?x?1

2??(如图9-12)，再将D视为Y型区域，即D???x,y?1?1?y?x?y,0?y?1，于是

2?126

I??10dy?y1?1?y2f?x,y?dx．

(2)首先将所给的累次积分看成函数f?x,y?在区域D上的二重积分，积分区域

D?D1?D2(如图9-13)，其中

D1?D2???x,y?0?y?3x,0?x?1，

2???x,y?0?y?10?x,1?x?10，

?2?y?然后视D为Y型区域，即D???x,y??x?9????210?y,0?y?3?，则

??I??30dy?y2910?y2f?x,y?dx．

在第五章定积分中我们知道，奇函数或偶函数在对称区间上的定积分可以相抵消或合成，从而简化了定积分的计算．同样，二重积分也有类似的结论，称为二重积分的对称性质，具体内容如下：

(1) 若积分区域D关于x轴对称，且被积函数f?x,y?关于y为奇(偶)函数，则有

?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D1?0,?f为y的偶函数，即ff为y的奇函数，即f?x,?y??f?x,y?,

??D?x,?y???f?x,y?.其中D1为D在x轴的上半平面部分．

(2) 若积分区域D关于y轴对称，且被积函数f?x,y?关于x为奇(偶)函数，则有

?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D2?0,?f为x的偶函数，即f??x,y??ff为x的奇函数，即f??x,y???f?x,y?,

??D?x,y?.其中D2为D在y轴的右半平面部分．

127

(3) 若积分区域D关于原点对称，且被积函数f?x,y?同时为x，y的奇(偶)函数， 则有

?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D3?0,?f同时为x，y的偶函数，即f??x,?y??ff同时为x，y的奇函数，即f??x,?y???f?x,y?,?x,y?.??D其中D3为D的上半平面部分．

(4) 若积分区域D关于直线y?x对称，则有

??f?x,y?d?D???f?y,x?d?D．

利用此结论可简化二重积分的计算，例如上面例2的方法二中，积分区域D1关于x轴 对称，且被积函数f?x,y??xy关于y为奇函数，故可不必将二重积分??xyd?化为累次

D1积分?dx?01x?x而直接由二重积分的对称性质有??xyd??0．但值得注意的是 xydy计算，

D1只有当积分区域D的对称性与被积函数f?x,y?的奇偶性均满足时才能使用此结论．

例5 计算???x?y?d?，其中D???x,y?x?y?1?．

D解 积分区域D如图9-14所示，D既关于x轴对称，又关于y轴对称，且被积函数f?x,y??x?y关于关于x和y均为偶函数，所以

???xD?y?d??4???x?y?d?

D111?x0 ?4?dx?0?x?y?dy?43．

二、极坐标系下二重积分的计算

在介绍极坐标系下二重积分的计算之前，先看下面的例子． 例6 计算I?22??Dx?yd?，其中D???x,y?x22?y?1．

2?解 若采用直角坐标系下的二重积分公式有

I?4?dx?011?x0x?ydy

22128

?2??y0??11x?y?xlny?222?x?y22????1?x2dx

0?1?22?2??1?x?xln0??21?x??dx?? ?x?显然要算出上式右端的定积分并不容易．为了给出简便的计算方法，下面讨论极坐标系下二重积分的计算公式以及如何将二重积分转化为累次积分．

1、极坐标系下二重积分的计算公式

将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需同时将被积函数f?x,y?，积分区域D及面积元素d??dxdy用极坐标表示．

在直角坐标系xOy中，取原点作为极坐标系的极点，取x轴正半轴为极轴(如图9-15)，则点P的直角坐标

?x,y?与极坐标??,??之间有如下关系式:

???x2?y2,?x??cos?,? ?及?y y??sin?,????arctan.x?被积函数f?x,y?的极坐标形式为f??cos?,?sin??．下面问题的关键是极坐标系下面积微元d?用?,?如何表示?为此我们用如下的坐标曲线网去分割区域D，即用一簇同心圆??常数和一簇以极点O为起点的射线??常数来分积分区域D(如图9-16)，将D分???i???i成若干小区域??i?i?1,2,?,n?．设??i为???i，???i???i，???i，

所围区域，则

??i?12??i???i???i?122122?i??i

2 ??i??i??i????i???i．

当??i和??i都充分小时，可略去比?i??i??i更高阶的 无穷小

12???i?2??i，得??i的近似值为

??i??i??i??i．

再利用微分概念便可得极坐标系下的面积元素d?为

d???d?d?．

假定积分区域D在极坐标系下表示为D?，于是有极坐标系下二重积分的表示式为

129

??f?x,y?d?D???f??D?co?s?, (6) ?sin??d．d??2、极坐标系下二重积分化为累次积分

极坐标系中的二重积分，同样可以化为累次积分来计算，且积分次序一般是先对r后对?积分．下面按积分区域D的三种情形来讨论二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算．

(1) 极点O在积分区域D的外部

如图9-17，区域D由射线???,????????，连续曲线???1???和???2???

???????????所围成，此时

21D????,???1???????2???,???2???????，

?则

??f??cos?,?sin???d?d????Dd???1???f??cos?,?sin???d?．

(2) 极点O在积分区域D的内部

设区域D的边界曲线方程为??????(如图9-18a)，或极点在区域D的内边界内(如图9-18b)，此时

D????,??0???????,0???2?

?或

130

D????,???1???????2???,0??2?0?2?．

?于是

??Df??cos?,?sin???d?d???d??????0f??cos?,?sin???d?．

或

??f??cos?,?sin???d?d???D2?0d???2????1???f??cos?,?sin???d?．

(3) 极点O在积分区域D的边界上

如图9-19，设区域D的边界曲线为??????，此时

D????,??0???????,??????，

?于是

??f??cos?,?sin???d?d????Dd??????0f??cos?,?sin???d?．

通常，在下面两种情形下，往往运用上述公式将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的累次积分，这样可简化二重积分的计算:

(1)积分区域D是圆域、圆环、扇形、曲边扇形等； (2)被积函数含有表达式f?x2?y2?，f?22?x??y?f或 ??．??x??y?例6(续) 解 由于被积函数含有x?y，且积分区域为圆域，因此在极坐标系下来计算I的值，较为简便．如图9-20， 极点位于积分区域D内，且在极坐标变换下，圆域D?D?????,??0???1,0???2??，于是

??x,y?x2?y?1对应的区域

2? 131

I??????d?d??D?2?2?0d???d??01223?．

注 本题亦可利用二重积分的几何意义来计算，请读者思考． 例7 化累次积分I??10dx?1?x1?xf?x,y?dy为极坐标系下的累次积分．

解 本题的解题步骤与直角坐标系下改变积分次序的步骤相同．首先根据所给累次积 分的上下限写出积分区域D???x,y?1?x?y?1?x,0?x?1，并画出积分区域D

2?的图形(如图9-21) ，将区域D的边界曲线化为极坐标形式: 由

x?0，即?cos??0????2；

y?0，即?sin??0???0； y?1?x2???1；

y?1?x，即?sin??1??cos????1sin??cos?．

所以在极坐标系下区域D可表示为

?D?????,???1sin??cos????1,0??????． 2?再将被积函数和面积微元d?均化为极坐标形式，于是I在极坐标系下的表达式为

?I??20d??11sin??cos?f??cos?,?sin???d?．

例8 计算??D?1?1??2D?x,yx?y?1?x?yd?，其中???????．

2?4???22解 如图9-22，积分区域D是圆心在?0,??11?，半径为的 ?22?圆域．区域D在极坐标系下可表示为

D?????,??0???sin?,0?????．

于是

??D1?x?yd??22??D?1????d?d?

2132

???0d???sin?021????d?

??11?????320?232sin?0d? 1? ??1?30?cos??1?d??3?cos??3?23??1?d?

??1?2??1?2???4． ??????????3?32?3?32?39例9 (1)计算二重积分I???eD?x?y?22?dxdy，其中D???x,y?x2?y?R22?；

(2)利用(1)的结果计算广义积分?解 (1)因为积分区域D???0e?x2dx的值．

??x,y?x2?y?R22?关于原点对称，且被积函数e?x?y?22?

同时为x,y的偶函数，所以利用二重积分的对称性质有

I?4??eD1?x?y?22?dxdy，

其中

D1?????x,y?x??22?y?R,x?0,y?0．

22?在极坐标变换下，D1?????,?0???R,0???R???，于是 2?I?4?d??e00??2??d???1?e??R2?．

注 本题若不采用极坐标变换计算，而用直角坐标系下二重积分化为累次积分计算， 就会遇到计算?e关键的．

(2)如图9-23所示，构造三个积分区域:

D1??y2dy的问题，但我们不能把?e?y2dy表示为初等函数，因此在直角坐标

系下就无法计算此二重积分．由此可见，选择适当的坐标系对于简化二重积分的计算是很

??x,y?x2?y?R,x?0,y?0；

22?D2???x,y?0?x?R,0?y?R?；

133

D3???x,y?x222?y?2R,x?0,y?0．

22?则D1?D2?D3，由于e?x?y??2?0，所以

??eD1?x?y?22?dxdy???eD2?x?y?2?dxdy???eD32?x?y?22?dxdy．

由于 又

??eD1?x?y?22?dxdy??4?1?e?R2?，??eD3?x?y?2?dxdy??4?21?e?2R2 ?，

??eD2?x?y?22?dxdy??R0e?x2dx??e0R?ydy???R0e?x2dx?，

2所以

??41?e?R2?????4??R0e?x2dx?2???41?e?2R2?，

令R???，上式两端趋于同一数值，由夹逼准则有

?2?*0e?x2dx?．

此例的结果是概率论中研究正态分布时会用到的一个重要的结论．

三、二重积分的一般换元法

由第五章我们知道，在计算某些定积分时，要对积分变量作代换，也称换元，将复杂形式的定积分转化为容易计算的定积分．同样，二重积分也有换元技巧，除了上面使用的极坐标变换之外，还可作一般的变量代换，其目的是使较复杂的被积函数和积分区域简化，使二重积分便于计算．下面不加证明地给出二重积分换元法的一般表示式．

定理1 设函数f?x,y?在有界闭区域D上连续，变换x?x?u,v?,y?y?u,v?将uOv平面上的闭区域D?一对一地变换到xOy平面上的区域D，函数x?x?u,v?,y?y?u,v?在区域D?上对u,v具有一阶连续偏导数，且在D?上雅可比行列式

?xJ???x,y???u,v???u?y?u?x?v?y?v?0，

则有

134

??f?x,y?d?D???D?f?,?y,?uv,???x?uv?Judv．d (*)

式(*)称为二重积分的换元公式．

注 若J只在D?内个别点上或在某一条曲线上为零，而其它点上不为零，则(*)式仍成立．在使用二重积分的换元公式时，选择的变换式x?x?u,v?,y?y?u,v?要遵守以下三条:

(1)要对u,v具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式J?0； (2)要能够使被积函数尽可能简化，以便容易积分；

(3)要使以新变量表示的积分区域变得简单，从而使积分限容易确定． 将该定理应用于极坐标变换x??cos?,y??sin?，有

J???x,y????,?cos?sin???sin????cos???，

代入(*)式即得极坐标变换下的二重积分计算公式(6)，可见极坐标变换只是二重积分换元法的一种常用的特殊情形．

例10 计算??cosDy?xy?xdxdy，其中D是由x轴，y轴及直线x?y?1，x?y?2围

成的区域．

?u?y?x, 解 对给定的被积函数在直角坐标系中难以计算，故采用换元法，令?即

v?y?x,?u?v?x?,??2在此变换下，xOy平面上的区域D变为uOv平面上的区域D?(如图9-24)，?u?v?y?.??2其中D????u,v??v?u?v,1?v?2?，其雅可比行列式为

135

J???x,y???u,v???121212??1212．

于是

??cosDy?xy?xdxdy???cosD?uv?v12dudv

?12?21dv?2ucosdu ?vv32sin1．

?sin1?vdv?1例11 求抛物线y2?x，y2?2x及双曲线xy?2，xy?3所围闭区域D的面积．

2?y,?u?解 积分区域D如图9-25所示，作变换?x则在此变换下，将积分区域D变换

?v?xy,?为uOv平面上的矩形区域D????u,v?1?u?2,2?v?3?，且利用雅可比行列式的性质 有

J???x,y???u,v??1??u,v???x,y???13yx2??13u?0．

所以所求面积A为

A???1dxdy?D??3uD?1dudv?1?332dv?211udu?13ln2．

136

例12 计算??D22??xy??1?2?2dxdy，其中D???x,y?2?2?1?．

abab????x2y2解 作广义极坐标变换: ??x?a?cos?,则在该变换下，xOy平面上的区域D变为

?y?b?sin?,uOv平面上的区域D?????,??0???1,0???2??，且雅可比行列式

J???x,y?cos??a?sin????,???absin?b?cos??ab?．

其中J仅在??0时为零，所以

2??1?xy22?1??2ab?d?d?

Dab2dxdy???D? ??2?d??1001??2ab?d??23?ab．

习题 9-2

1．画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1)???x3?3x2y?y3?d?，其中D???x,y?0?x?1,0?y?1?；

D(2)??xyd?，其中D是由直线y?1，x?2及y?x围成的区域；

D(3)???2?x?y?d?，其中D是由直线y?x和y?x2围成的区域；

D2(4)??x其中D是由曲线xy?1及直线y?x，x?2围成的区域；

Dy2d?, (5)??e?y2d?，其中由直线y?x，y?1与y轴围成的区域；

D(6)??sinx2d?，其中D是由直线y?x，y?0和x?1围成的区域．

D2．改变下列累次积分的积分次序：

(1)?1dy?1f?x,y?dx； (2)?10dy?y0yyf?x,y?dx；

137

(3)?dx?1f?x,y?dy； (4)I?1x2x?20dy?yf?x,y?dx；

2y(5)?dy?011?1?y02f?x,y?dx??112dy?2?y0f?x,y?dx；

(6)?0?2dx?2?x02f?x,y?dy??0dx?x2?x2f?x,y?dy．

3．利用二重积分的对称性，计算下列二重积分： (1)??xcos?x?y?d?，其中D?322D??x,y?x2?y?2y；

2?(2)??xyd?，其中D???x,y?x?y?1?；

D(3)???x?y?d?，其中D是由y?x，y?2x，y?1所围闭区域．

D4．利用极坐标变换，计算下列二重积分： (1)???1?x?y?d?，其中D?22D??x,y?x??x,y??2?y?1；

2?(2)??sinDx?yd?，其中D?222?x?y?4?222?；

(3)??y?D?x?y22?d?，其中D???x,y?x??x,y?x22?y?2x；

2?(4)??xyd?，其中D?D?y?a22?(a?0)；

2(5)??Dx?yx?y22d?，其中D???x,y?x?y?1,x22?y?1；

2?(6)??arctanDyxd?，其中D是由圆周x?y?4，x?y?1及直线y?0，y?x

22所围成的在第一象限内的闭区域．

5．化下列累次积分为极坐标形式的累次积分： (1)?dx?011?x02f?x2?y2?dy； (2)?10dx?3xx?y?f??dy； ?x?2(3)?dx?011?x0f?x,y?dy； (4)?0dx?01x?xf?x,y?dy；

138

(5)?dx?024?x22x?x2f?x,y?dy； (6)?0dy?0f?x,y?dx．

11*6．利用适当的坐标变换，计算下列二重积分：

x?yx?y(1)??eDdxdy，其中D???x,y?x?y?1,x?0,y?0?；

222???x2y?xy??(2)???2?2?dxdy，其中D???x,y?2?2?1?．

ab?ab??D???*7．设D是由曲线xy?4，xy?8，xy3?5，xy3?15所围成的第一象限部分的闭

区域，求D的面积．

§3 三重积分

一、三重积分的概念

实例(空间立体的质量) 设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域?，它在点

?x,y,z???处的密度为??x,y,z?，其中??x,y,z?是?的质量M．

上的非负连续函数，求该物体

类似于求平面薄片的质量，将区域?任意分割成n个小区域?Vi?i?1,2,?,n?，其中?Vi既表示第i个小区域，也表示第i个小区域的体积．在小立体?Vi上任取一点

??i,?i,?i?，显然小立体?Vi的质量?Mi近似地等于???i,?i,?i??Vi?i?1,2,?,n?，即

?Mi????i,?i,?i??Vi?i?1,2,?,n?．

于是，立体?的总质量的近似值为

nniM???Mi?1?????i?1i,?i,?i??Vi．

记??max?di?，其中di为?Vi?i?1,2,?,n?的直径(直径定义如前所述)，则当??0

1?i?n时，上述和式的极限就等于M的精确值，即

nM?lim??0????,?ii?1i,?i??Vi．

这正是三重积分的物理背景．由此可见，三重积分与二重积分的定义方式是一样的．因此，我们自然可将二重积分的定义推广得到三重积分的定义，只要把二重积分定义中的平面区域和面积等分别改为空间区域和体积等．下面给出三重积分的定义．

定义1 设三元函数f?x,y,z?是定义在空间有界闭区域?上的有界函数，将?任意 分割成n个小闭区域?Vi，且?Vi?i?1,2,?,n?也表示它的体积．在?Vi中任取一点

139

,n,???i,?i,?i?，作乘积f??i,?i,?i??Vi?i?1,2?n，并求和?f??i,?i,?i??Vi，记

i?1??max?di?，di为第i个小区域?Vi?i?1,2,?,n?的直径，当??0时，如果上面和

1?i?n式的极限总存在，且与?的分割法及点??i,?i,?i??i?1,2,?,n?的取法无关，则称函数 f?x,y,z?在?上可积，并称此极限值为函数f?x,y,z?在?上的三重积分，记作

???f?x,y,z?dv，即

?n?f??,?,???V???f?x,y,z?dv?lim???0iiii?1i．

其中f?x,y,z?称为被积函数，f?x,y,z?dv称为被积表达式，dv称为体积微元，?称为积分区域，x,y,z称为积分变量．

上述定义中对积分区域?的分割是任意的．在直角坐标系中，如果f?x,y,z?在?上可积，那么可用平行于坐标面的平面来分割?，除了包含?的边界点的一些不规则的小闭区域外，其余的小闭区域??i都是长方体．设小长方体??i的边长为?xi,?yi,?zi，则小长方体的体积?Vi??xi?yi?zi，因此，在直角坐标系中，三重积分的体积微元为

dv?dxdydz．于是三重积分也可记为

???f?x,y,z?dv????f?x,y,z?dxdydz．

??由三重积分的定义可知，前面实例可这样描述:占有空间区域?的空间物体的质量M等于其密度函数??x,y,z?在?上的三重积分，即

M??????x,y,z?dv．

?特别地，当f?x,y,z??1时，三重积分???dv的数值等于空间区域?的体积．

?与二重积分类似，下面不加证明地给出三重积分的存在定理．

定理1 若函数f?x,y,z?在空间有界闭区域?上连续，则f?x,y,z?在区域?上可积．

三重积分的性质与二重积分的性质类似，这里不再一一详述，只简单介绍三重积分的对称性质．例如当积分区域?关于xOy坐标面对称，且被积函数f?x,y,z?关于z是奇(偶)函数，则有

?2f?x,y,z?dv,????f?x,y,z?dv???1?0,?f为z的偶函数，即ff为z的奇函数，即f?x,y,?z???x,y,?z??f?f?x,y,z?,

?????x,y,z?.140

其中?1表示?在xOy坐标面上方的部分． 当积分区域?关于yOz面对称，或关于zOx面对称时，也有类似的结论．

二、直角坐标系下三重积分的计算

1．“先一后二”法

下面从计算空间物体?的质量的模型出发，导出三重积分的计算公式．

设函数f?x,y,z?是空间有界闭区域?上的非负连续函数，则三重积分???f?x,y,z?dv

?可看成占有空间区域?且体密度为f?x,y,z?的空间物体的质量，即

m????f?x,y,z?dv．

?下面从另一角度来计算?的质量．

如图9-26，设物体占有空间区域?，其侧面是母线平行于z轴的柱面，?在xOy面 上的投影区域为Dxy，上、下底面分别为连续函数z?z2?x,y?、z?z1?x,y? ?z1?x,y?，则?可表示为

???z?x,y?

2??x,y,z?z1?x,y??z?z2?x,y?,?x,y??Dxy．

?在区域Dxy内点?x,y,0?处取面积微元d?=dxdy，以

d?的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，此柱面

截取?的部分可看成一根“细棒”，细棒的质量

dm?z2?x,?y?x,y????z?x,?y?1f??zd，x,y,?zdxd y??其中z是积分变量，x,y看作常量．将所有细棒的质量相加，便得到?的质量

m??z2?x,y?f??z1?x,y??dxdy． ?x,y,z?dz?????Dxydm?x,y????Dxy若区域Dxy可以表示为

Dxy???x,y??bay1?x??y?y2?x?,a?x?b，

?则

m?dx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz．

抽去上述具体的质量的含义，便得直角坐标系下三重积分的计算公式

141

?x,y,zdv???????????z?x,y?f?Dxy1z2?x,y?fdxdy ?x,y,z?dz???z2?x,y?z1?x,y? =?dx?aby2?x?y1?x?dy?f (1) ?x,y,z?dz，

这样便将三重积分化成了三次积分．

公式(1)是将空间区域?投影到xOy面得到的，有时也可将区域?投影到xOz面或

yOz面上，其方法与上面类似．例如，将区域?投影到xOz面上，设投影区域为Dxz，

则?可表示为

????x,y,z?y1?x,z??y?y2?x,z?,?x,z??Dxz，

?于是有

???f?x,y,z?dv????Dxz?y2?x,z?fx,y,zdy?dxdz． ??????y1?x,z??上面这种按照先定积分后二重积分的步骤计算三重积分的方法称为“先一后二”法． 例1 计算????x?y?z?dxdydz，其中????x,y,z?1?x?2,?2?y?1,0?z?1?．

?解 先对z积分，由于z的变化范围由0到1，于是

????x??y?z?dxdydz????21dx?dx?1?2dy?10?x?y?z?dz

?211??x?y???dy ?22??1 ?213xdx?92．

特别地，若积分区域?为长方体：????x,y,z?a?x?b,c?y?d,e?z?f?， 且被积函数f?x,y,z??g?x?h?y?l?z?，则三重积分可化为三个定积分的乘积，即

????f?x,y,z?dxdydz??bag?x?dx??h?y?dy??l?z?dz．

cedf 例2 计算???xyzdxdydz，其中?由平面x?y?z?1及三个坐标面所围成．

?解 积分区域?如图9-27，它在xOy面上的投影区域Dxy???x,y?0?y?1?x,0?x?1? （如图9-28），则

????x,y,z?0?z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1?．

142

于是

???xyzdxdydz????dxdy?Dxy101?x01?x?y0xyzdz

??dx?dy?21?x?y0xydz z ????10dx?dx?x241?x0xyz2xy21?x?y0dy

2 ?101?x0?1?x?y?4dy

?

10?1?x?dx?1720．

当然，本题也可通过将?向xOz面和yOz面投影来计算此三重积分，请读者自己试一试．

2．“先二后一”法

有时计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，即“先二后一”法．具体如下:

如图9-29，将?向z轴投影，得投影区间[c1,c2]，对任意z?[c1,c2]，用过点?0,0,z?且平行于xOy面的平面截?得到截面Dz，则

????x,y,z?c1?z?c2,?x,y??Dz．

?于是

????f?x,y,z?dxdydz??c2c1dz??fDz?x,y,z?dxdy．

143

注 Dz是随z?[c1,c2]而变化的平面区域．计算??f?x,y,z?dxdy时，将z看成常量，

Dz再将??f?x,y,z?dxdy化为累次积分，便可得三次积分．

Dz例3 计算???zdxdydz，其中?是由椭球面

?2xa22?yb22?zc22 ?1所围成的空间闭区域．

解 积分区域?如图9-30所示，?在z轴上的投影区间为[?c,c]，过z轴上区间 xyz该平面截?所得截面为一椭圆：2?2?1?2，[?c,c]上任一点z作垂直于z轴的平面，

abc222??xyz??则?可表示为????x,y,z?2?2?1?2,?c?z?c?．

abc????222于是

????zdxdydz?2??c?c2dz??zdxdy Dz ?c?czdz??dxdy?Dz2?c?cz??Dz?dz，

2其中??Dz?为Dz的面积，且由椭圆面积的计算公式有

??Dz????a1?所以

zc22?b1?zc222?z???ab?1?2?．

c??????2?z?243zdxdydz???ab?1?2?zdz??abc．

?cc?15?2c若将本例中的被积函数z改为1，则可得半轴长为a,b,c的椭球体的体积为

2xa22?yb22?zc22?1

2?z?4dxdydz?dzdxdy??ab1?dz??abc． ??2?????c????cc?3??Dzcc32222进一步地，若a?b?c?R，则可得球体x?y?z?R的体积为?R．

43注 由本例可见，在用先二后一法计算三重积分时，不一定要先化为三次积分后再计算，如果二重积分容易计算，可先将其直接算出．

144

一般地，当被积函数与x，y无关或??f?x,y,z?dxdy容易计算时，采用先二后一法

Dz较方便．

三、柱面坐标系下三重积分的计算

1．柱面坐标的概念

设M?x,y,z?为空间直角坐标系中的一点，它在xOy面上的投影P的极坐标为

??,??(如图9-31)，则称点??,?,z?为点M的柱面坐标．显然直角坐标与柱面坐标的关

系为

???x2?y2,?,??x??cosy???及,?tan??, ?y??sinx??z?z,?z?z.??其中?,?,z的取值范围分别为

0?????,0???2?,???z???．

柱面坐标系中的三组坐标面为

??常数，是以z轴为中心的圆柱面；

??常数，是过z轴的半平面；

z?常数，是与xOy面平行的平面．

2．计算方法

下面推导三重积分???f?x,y,z?dv在柱面坐标系下的表达式．为此，需将被积函数

?f?x,y,z?、积分区域?及体积微元dv都用柱面坐标来表示．为

了得到柱面坐标系下的体积微元dv，我们用柱面坐标系的三组坐标面??常数，??常数，z?常数去分割积分区域?．设??是半径为?和??d?的圆柱面与极角为?和??d?的半平面，以及高度为z和z?dz的平面所围成的高为dz的小柱体，该小柱体的底面积可近似地看成以d?和?d?为邻边的小矩形的面积(如图9-32)，因此柱面坐标系下体积微元为

dv??d?d?dz．

于是将直角坐标系下的三重积分变换为柱面坐标系下的三重积分公式为

???f?x,y,z?dv????f??cos?,?sin?,z??d?d?dz，

???其中??，f??cos?,?sin?,z?分别为积分区域?，被积函数f?x,y,z?在柱面坐标系下

145

的表达式．

柱面坐标系下三重积分的计算同样可化为三次积分来计算，化为三次积分时积分限是根据?,?,z在积分区域?中的变化范围来确定的．下面通过例子说明．

例4 计算???zx2?y2dv，其中?是由x2?y2?2x及z?0,z?a?a?0?,y?0所

?围成的半圆柱体．

解 积分区域?如图9-33所示，?在xOy面上的投影 区域是半圆D?下的表达式为

??,0?? D?????,??0???2cos????x,y?x2?y?2x,y?0，它在极坐标系

2????．

2?因此?可表示为

?????????,?,z?0?z?a,0???2cos?,0????．

2??于是

???z?x?yd??22???z????2d?d?dz

??a20d???2co?s0?d??zdz

02a2 ?2?20d??2cos?0?d??224a32??220cos?d??2389a．

2例5 计算???zdv，其中?是由曲面z??2?x?y及z?x?y所围成的区域．

2解 积分区域?如图9-34所示，由方程组

22??z?2?x?y, ?22z?x?y.??消去z得?在xOy面上的投影为半径为1的圆域

D???x,y?x22?y?1，它在极坐标系下的表达式

2?为D?????,??0???1,0???2??．而上半球面

z?146

2?x?y的柱面坐标方程为z?22??，抛物面z?x?y的的柱面坐标方程

222为z??2，因此?可表示为???于是

???,?,z????2?z?2??,0???1,0???2?.

2????zdv????z?d?d?dz

? ??2?0d?10?10?d???2?2?2zdz

?2??12??2????24?d??712?．

一般地，若积分区域?在坐标面上的投影区域为圆域，环形区域，扇形区域，而被积 函数f?x,y,z?具有zf?x2?y2?，zf??y??或yf?x??x?z22?，yf??z??或xf?x??y2?z2?，

?z?xf??等形式时，利用柱面坐标系计算三重积分常常能简化运算． ?y?四、球面坐标系下三重积分的计算

1．球面坐标的概念

如图9-35，设空间中一点M?x,y,z?在xOy面上的投影点为P．记点M与坐标原点

??????????之间的距离OM?r，记z轴正向与向量OM的夹角为?，记x轴正向按逆时针方向旋

????转到OP的夹角为?，则称点?r,?,??为点M的球面坐标．显然点M的直角坐标?x,y,z?与球面坐标?r,?,??的关系为

??222r?x?y?z,?x?rsin?cos?,??y?y?rsin?sin?,tan??,及 ??x?z?rcos?,??z?cos??.?222x?y?z?其中r,?,z的取值范围分别为

0?r???,0????,0???2?．

球面坐标系中的三组坐标面为

r?常数，是以原点为中心的球面；

??常数，是以原点为顶点，z轴为中心轴的圆锥面；

??常数，是过z轴的半平面．

147

2．计算方法

类似于柱面坐标系中的讨论，下面主要讨论球面坐标系中的体积元素的表达式．为此，我们用上述三组坐标面r?常数，??常数，??常数来分割空间区域?．设??是由球面r和r??r，半平面?和????，锥面?和????所围成的一个曲面六面体(如图9-36)．当分割越来越细时，可近似地看作边长分别为?r,r??,rsin???的长方体，因此球面坐标系下的体积微元为

dv?rsin?drd?d?．

2于是将直角坐标系下的三重积分变换为球面坐标系下的三重积分公式为

???f?x,y,z?dv????f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r???2sin?drd?d?，

其中??，f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??分别为积分区域?，被积函数f?x,y,z?在球面坐标系下的表达式．

当然，上式等式右端的三重积分也要化为三次积分来计算，化为三次积分时积分限应根据r,?,?在积分区域?中的变化范围来确定．

若原点在积分区域?内，且?的边界曲面在球面坐标系中的方程为r?r??,??，则

?????r,?,??0??2?0?2?,0????,0?r?r??,???，

2于是

????f?x,y,z?dv??d??d??0?r??,??0f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??rsin?dr．

当积分区域?是球心在原点，半径为R的球面r?R所围成时，则

????f?x,y,z?dv??2?0d??d??0?R0f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??rsin?dr．

2特别地，若?是由球面r?R所围成且f?x,y,z??1时，则得球体的体积公式为

V?148

???dv???2?0d??d??rsin?dr?00?R243?R．

3例6 计算????1x?y?z222其中?是由锥面z?dv，22x?y和平面z?1所围成的

闭区域．

解 积分区域?如图9-37所示，在球面坐标系下?的边界方程z?分别变为???422x?y和z?1

和r?1cos?．因此?在球面坐标系中可表示为

?0???2?,0???,0?r??．

4cos????????r,?,????1于是所求三重积分为

????1x?y?z222dv????r??12?rsin?drd?d?

??2?0?d???440d??1c?os0 rsi?nrd ?2???0sin?112cos?2d?

? ???40cos??42d?co?s?

?1? ?????cos???0?2?1?．

?一般地，若被积函数具有f?x2?y2?z2?的形式或积分区域的形状为球体、锥体或其一部分时，三重积分就宜采用球面坐标进行计算．

习题 9-3

1．设有一物体占有空间闭区域????x,y,z?0?x?1,0?y?1,0?z?1?，在点

?x,y,z?处的密度??x,y,z????x?y?z，计算该物体的质量．

1??； 2?2．利用直角坐标计算下列三重积分：

(1)???xydv，其中????x,y,z?1?x?2,?2?y?1,0?z??(2)????1?1?x?y?z?3dv，其中?由三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的闭区

149

域；

(3)????x?y?z?dv，其中?由三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的闭区域；

?(4)???zdv，其中?是以原点为中心，以R为半径的上半球体；

?(5)???zdv，其中?是由锥面R2z2?h2?x2?y2?及平面z?h?h?0?围成的锥体．

?3．设积分区域?是由曲面z?4?x?y，z?222x?y与平面x?0,y?0围成

2222的位于第一卦限内的闭区域，试将三重积分???f?x?y?z?dv分别表示为直角坐标，

?柱面坐标和球面坐标系中的三次积分．

4．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1)???z???x?y22?dv，其中?是由圆柱面x??222?y?1，平面z?0和z?2围成

的圆柱体；

(2)????x?y?dv，其中????x,y,z?x?y?2221??z,z?2?； 2?(3)???zdv，其中?是由球面x2?y2?z2?4与抛物面x2?y2?3z所围成的闭区

?域．

5．利用球面坐标计算下列三重积分： (1)????x?y?zdv，其中?是由曲面x?y?z?z所围成的区域；

222222(2)

22????x?22?y?z?dv，其中?是由圆锥面x2?y2?z2与上半球面

22x?y?z?R22?z?0?所围成；

2222(3)???z?x?y?dv，其中?由球面x?y?z?az?a?0?和x?y?z?2az

222?所围成的立体．

6．选择适当坐标系计算下列三重积分：

23(1)???xyzdv，其中?是由z?xy,y?x,x?1与z?0围成的闭区域；

?150

(2)???(x?y?z)dv，其中?为第一卦限中由旋转抛物面z?x2?y2与圆柱面

?22x?y?1所围成的部分；

22(3)????zln?1?x?y?z222?1?x?y?z222dv，其中????x,y,z?0?z?1?x?y22?．

§4 重积分的应用

和第六章定积分的应用类似，本节主要利用微元法讨论重积分在几何和物理上的一些

应用．

一、几何应用

1.平面图形的面积

由二重积分的定义知，平面图形的面积

A???d?D，

其中D为积分区域．

例1 求双纽线?x2?y2??2a2?x2?y2??a?0?所围区域的面积．

解 在极坐标系下计算，双纽线的极坐标方程为?2?2a2cos2?，由于?2?0，故

?????3?5?????,（如图9-38）． ?44???4,4?????2由对称性，所求面积为

?A?4??d??4?d??0D14a02cos2???d??4a2?40cos2?d??2a．

22.立体的体积

由二重积分的几何意义知，当连续函数f?x,y??0时，二重积分??f?x,y?d?表示

D以曲面z?f?x,y?为顶，以D为底的曲顶柱体的体积，即

V???f?x,y?d?D．

另一方面，空间立体?的体积也可以用三重积分表示为

V?

???dv．

?151

例2 计算由旋转抛物面z?2?x2?y2与平面z?0所围立体的体积．

解 方法一:将所求立体?看作是以旋转抛物面z?2?x2?y2为顶，以

D???x,y?x2?y?2为底的曲顶柱体的体积，于是所求立体体积为

2?V????2?x?y?d??22D?2?0d??20?2????d?

2 ??14??2???202?202d???2?0d??2?．

2方法二:空间立体?在xOy面上的投影为D?V???x,y?x2于是?的体积为 ?y?2，

2????dv????d?D?2?x?y022dz????2?xD?y2?d??2?．

3.曲面的面积

在第六章定积分的应用中，我们已经知道旋转曲面面积的计算公式，下面利用二重积分来推导出一般曲面面积的计算公式．

如图9-39，设空间曲面S的方程为z?f?x,y?，S在xOy面上的投影区域为Dxy， 函数f?x,y?在Dxy上具有一阶连续偏导数fx?x,y?,fy?x,y?，求曲面S的面积．下面利 用微元法来推导面积A的计算公式．

在区域Dxy上任一点P?x,y,0?处取面积微元d?=dxdy，以d?的边界线为准线，作 母线平行于z轴的柱面，它在S上截取的曲面面积微元为

dA．由于f?x,y?具有连续的偏导数，S是光滑曲面，所以S上一点处的面积微元可用其相应的切平面的面积微元来代

替，则

dA?d?cos??1?fx2?x,y??fy2?x,y?dxdy，

其中?是由曲面S在点M?x,y,f?x,y??处切平面的法向量

?n??fx?x,y?,fy?x,y?,?1?

A?与z轴正向的夹角．于是将dA在S上无限累积，便得曲面S的面积公式为

??Dxy1?fx2?x,y??fy2?x,y?dxdy．

同理，若曲面的方程为x?g?y,z?或y?h?z,x?，则可分别将曲面投影到yOz平面或xOz平面上，于是

152

A???Dyz1?gy?y,z??gz22?y,z?dydz，

或

A???Dxz221?hz?z,x??hx?z,x?dzdx．

例3 计算球面x2?y2?z2?R2的表面积．

解 由对称性知:整个球的表面积为上半球面面积的2倍．上半球面的方程为

z?R?x?y，它在xOy面上的投影区域为Dxy?222??x,y?x222?y?R22?．由于

?z?x??xR?x?y222,?z?y??yR?x?y2，

所以

??z???z?1????????x?y????22RR?x?y222，

于是利用极坐标变换有

A?2??DxyRR?x?y2?02222dxdy?2R?R022?0d??R021R??2?d?

??2R?R??222d??2R22?2?02d??4?R．

例4 求两个直圆柱面x?y?R和x?z?R所围立体的表面积． 解 由对称性，只要求出第一卦限所围立体(如图9-40)的表面积，然后乘以8即得所求面积．在第一卦限中，曲面的面 积A?A1?A2，其中A1为在区域D1??x,y?x?y?R,x?0,y?0

22222??上曲面z? A1?R?x的面积，即

22??D11?zx?zydxdy?RR?x02222??D1RR?x222dxdy

??0dx?RR?x22dy?R

2同理，A2为在区域D2?积，即

??x,z?x?z?R,x?0,z?0上曲面y?22?R?x的面

22 153

A2???D21?y?ydxdz?2x2z?R0dx?R?x022RR?x22dz?R．

2 于是所求曲面面积为

8A?8?A1?A2??16R．

2二、物理应用

1.物体的质量

平面薄板的质量m等于它的面密度函数??x,y?在薄片所占区域D上的二重积分，即

m?????x,y?d?D．

空间物体?的质量m等于它的体密度函数??x,y,z?在?上的三重积分，即

m??????x,y,z?dv．

?例5 一半径为2的球体，其密度与点到球心的距离成正比，已知球面上各点的密度等于2，试求该球体的质量．

解 选球心为坐标原点，则球面方程为x2?y2?z24?，密度

??x,y,z??k??x,y,z??2222x?y?．z因为球面上各点的密度等于2，所以k?1，从而

x?y?z，于是所求球体的质量为

M?22????x?y?zdv?222?2?0d??d??rsin?dr?16?．

00?232.物体的质心

设平面上有n个质点组成的质点系，其位置分别为?xi,yi??i?1,2,?,n?，每个质点的质量为mi?i?1,2,?,n?，则由物理学知该质点系的质心坐标?x,y?的计算公式为

nnii?mxx?i?1n?imym?m,y?i?1ni?1iyi?imxm，

?mi?1nniix?mni其中my??mx,mi?1??mi?1yi分别为该质点系对y轴及x轴的静力矩，而m??mi?1i为

质点系的总质量．

设有一平面薄板，占有xOy平面上的有界闭区域D，其上任一点?x,y?处的面密度为

??x,y?，且假定函数??x,y?在D上连续．下面我们用微元法来推导此平面薄板的质心

154

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