全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A 12AB

D C B

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D 证明：连接BF和EF。??因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

??所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。??所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。????连接BE。

??在三角形BEF中,BF=EF。??所以 ∠EBF=∠BEF。??又因为 ∠ABC=∠AED。??所以 ∠ABE=∠AEB。??所以 AB=AE。????在三角形ABF和三角形AEF中，??AB=AE,BF=EF,??∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。??所以 三角形ABF和三角形AEF全等。??所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。??

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：??过E点，作EG//AC，交AD延长线于G??则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2??又∵CD=DE??∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）??∴EG=AC??∵EF//AB??∴∠DFE=∠1??∵∠1=∠2??∴∠DFE=∠DGE??∴EF=EG??∴EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B E A 1 2 F C D B D C

证明：??在AC上截取AE=AB，连接ED??∵AD平分∠BAC??∴∠EAD=∠BAD??又∵AE=AB，AD=AD??∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）??∴∠AED=∠B，DE=DB??∵AC=AB+BD??

AC=AE+CE??∴CE=DE??∴∠C=∠EDC??∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C??∴∠B=2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥

AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： ??在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ??因为CE⊥AB ??所以∠CEB＝∠CEF＝90° ??因为EB＝EF，CE＝CE， ??所以△CEB≌△CEF

??所以∠B＝∠CFE ??因为∠B＋∠D

＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ??所以∠D＝∠CFA ??因为AC平分∠BAD ??所以∠DAC＝∠FAC ??又因为AC＝AC ??所以△ADC≌△AFC（SAS） ??所以AD＝AF ??所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE ????

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.??∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;??AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;??又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;??又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.??所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

E D 又有AF=CD,EF=BC F A B C 所以三角形AEF 全等于三角形DCB， 所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

??证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD

A D 点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。 则：??△AED是等腰三角形。??所以：AE=DE??而AB=CD??所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）??所以：△BEC

B C 是等腰三角形??所以：角B=角C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C 作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）??因为PC

A

P B PC-PB

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C?? ∠1=∠BAC/2=90-2∠C?? ∠ABE=90-∠1=2∠C??

延长BE交AC于F?? 因为，∠1 =∠2，BE⊥AE??

所以，△ABF是等腰三角形

??AB=AF,BF=2BE????∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C??BF=CF????AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

D C B 作AG∥BD交DE延长线于G?? AGE全等BDE AG=BD=5??AGF∽CDF ??

F A

E AF=AG=5

??所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;??BD=DC;

??所以:??∠DBC=∠角DCB;??∠1=∠2;?? ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;??∠ABC=∠ACB;?? 所以:??AB=AC;??

三角形ABD全等于三角形ACD;??

∠BAD=∠CAD;??AD是等腰三角形的顶角平分线??所以:??AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB?? 所以MA=MB??所以∠MAB=∠MBA?? 因为∠OAM=∠OBM=90度?? 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA??所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线

交AP于D．求证：AD+BC=AB．

PEDC证明：??做BE的延长线，与AP相交于F点，??∵PA//BC??∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线??∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形??在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ??∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF??在三角形DEF与三角

AB形BEC中，??∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，??∴三角形DEF

与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC??∴AB=AF=AD+DF=AD+BC?? 21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC??∵AE=AC，

A∠EAD=∠CAD，AD=AD??∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C??∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE??∠B=∠EDB??∠C=∠B+∠EDB=2∠B

CDB

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．??

解答：解：（1）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF；?? （2）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF． ?? 23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积

相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： (1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知

AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。?? （2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

EODA

BC

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

FAED证明：延长BA、CE，两线相交于点F ??∵BE⊥CE ??∴∠BEF=∠BEC=90° ??在△BEF和△BEC中 ??∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ??∴△BEF≌△BEC(ASA) ??∴EF=EC ??∴CF=2CE ??∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° ??又∵∠ADB=∠CDE ??∴∠ABD=∠ACF ??在△ABD和△ACF中 ??∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ??∴△ABD≌△ACF(ASA) ??∴BD=CF ??∴BD=2CE

BC

25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

ABADEFC26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

证明：??∵BE‖CF??∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM??∵BE=CF??

BF∴△BEM≌△CFM??

∴BM=CM??∴AM是△ABC的中线.

EMC 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDBA相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=AC??BD=DC??AD=AD?? ∴△ABD≌△ACD??∴∠ADB=∠ADC??∴∠BDF=∠FDC??在

△BDF与△FDC中

??BD=DC??∠BDF=∠FDC??DF=DF??∴△FBD≌△FCD??∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

AFBDCADBC因为AB=DC????AE=DF,????CE=FB ????CE+EF=EF+FB????所以三角形ABE=三角形CDF????因为 角DCB=角ABF????AB=DC BF=CE????三角形ABF=三角形CDE????所以AF=DE????

CEFBD

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰

好在一条直线上.

证：??∵AB平行CD（已知）??∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）??∵M在BC的中点（已知）??∴EM=FM（中点定义）??在△BME和△CMF中?? BE=CF（已知）?? ∠B=∠C（已证）?? EM=FM（已证）??∴△BME全等与△CMF（SAS）??∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）??

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）?? ∴E，M，F在同一直线上??

31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明：

??∵AF=CE??∴AF+EF=CE+EF??∴AE=CF??∵BE//DF??∴∠BEA=∠DFC??又∵BE=DF ??∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF 得AE=AF

A F B D E C

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.??又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.??所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC??三角形DEC全等于三角形BEC??所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

因为D,C在AF上且AD=CF??所以AC=DF??又因为AB平行DE，BC平行EF??所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）??然后SSA（角角边）三角形全等

35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

C F B E

A

D A125EB634CD证明：因为 AB=AC，?? 所以 ∠EBC=∠DCB?? 因为 BD⊥AC，CE⊥AB?? 所以 ∠BEC=∠CDB?? BC=CB (公共边)?? 则有 三角形EBC全等于三角形DCB?? 所以 BE＝CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． AAS证△ＡＤＥ≌△ADF

E F A B C D

37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

A 角C=角E=90度??

角B=角EAD=90度-角BAC?? BC=AE?? △ABC≌△DAE?? AD=AB=5????

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明∵AB=AC??

∴△ABC是等腰三角形??∴∠B=∠C??

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形 ??∴△BEM全等于△CEM??∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证：

证明：

B C E D AEBMFCＤ Ｅ C A B

已知1,2??求证4????因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB????所以△ADB全等于△BCA?? ??所以角D=角C

以4,5为条件，1为结论。??即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC??

因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360??∠D=∠C，∠A=∠B，??所以 2(∠A+∠D)=360°，??

∠A+∠D=180°，??所以 AB//DC

40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）证明：∵∠ACB=90°，??∴∠ACD+∠BCE=90°，??而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，??∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，??∴∠ACD=∠CBE．??在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，??∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），??∴AD=CE，DC=BE，??∴DE=DC+CE=BE+AD；????

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，??∴△ADC≌△CEB（AAS），??∴AD=CE，DC=BE，??∴DE=CE-CD=AD-BE；???? 41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

F （1）证明;因为AE垂直AB??所以角EAB=角EAC+角CAB=90度??因为AF垂直AC??所以角CAF=角CAB+角BAF=90度??所以角EAC=角BAF??因为AE=AB AF=AC??所以三角形EAC和三角形FAB全等??所以EC=BF??角ECA=角F??

（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G??因为角ECA=角F(已证）??所以角G=角CAF??因为角CAF=90度??所以EC垂直BF

E A M B

C

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：??（1）??∵BE⊥AC，CF⊥AB??∴∠ABM+∠BAC=90°，AN4∠ACN+∠BAC=90°??∴∠ABM=∠ACN??∵BM=AC，

3FE1BM2CCN=AB??∴△ABM≌△NAC??∴AM=AN????

（2）

??∵△ABM≌△NAC??∴∠BAM=∠N??∵∠N+∠BAN=90°??∴∠BAM+∠BAN=90°??即∠MAN=90°??∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC ??∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN?? 所以∠ANE=∠ACE??又AC平行BD??

所以∠ACE+∠BDE=180??而∠ANE+∠ENB=180 ??所以∠ENB=∠BDE??∠NBE=∠EBN??BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD??

所以BD=BN??所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：??∵AD是中线??∴BD=CD??∵DF=DE，

∠BDE=∠CDF??∴△BDE≌△CDF??∴∠BED=∠CFD??∴BE‖CF

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD．

C 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，??∴∠DEC=∠AFB=90°，??在D Rt△DEC

和

Rt△BFA

中，DE=BF，AB=CD，

E A

DF ??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴∠C=∠A，??∴AB∥CD．

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

【待定】

48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

.B

A1324CBC D A E

B

结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。??证明：??过D作AE平行线与AC交于F，连接FB??由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。??RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°??∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°??△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°??RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ??∠AFB=90°-∠FBA>45°??∴AB>AF??∵AB=CE AF=DE??∴CE>DE

49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB A 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE

B E C D 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于

G??∵∠ACB=90°??∴∠ACG= ∠DCG=45°??∵∠ACB=90° AC=BC??∴∠B=∠BAC=45°??∴∠B=∠DCG=∠ACG??∵CF⊥AD??∴∠ACF+∠DCF=90°

A 图9

??∵∠ACF+∠CAF=90°??∴∠CAF=∠DCF??∵ AC=CB ∠ACG=∠B??∴△ACG≌△CBE??∴CG=BE ??∵∠DCG=∠B C F E D B

CD=BD??

△CDG ≌△BDE??∴∠ADC=∠BDE ∴

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