2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编 选修4-4 坐标系与参数

2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编

选修4－4坐标系与参数方程

解答题(本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1．[2016·石家庄教学质检]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方

?程为?2

?y＝3＋2t

2x＝2t，

(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的

极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．

解 (1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，(2分) ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，

曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(5分)

?

(2)将直线的参数方程?2

y＝3＋?2t1)2＋(y－2)2＝5，

故|PA||PB|＝|t1t2|＝3.(10分)

2x＝2t，

(t为参数)代入曲线C：(x＋

得t2＋22t－3＝0，t1t2＝－3，(8分)

2．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2

＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

??x＝tcosα，(2)直线l的参数方程是?(t为参数)，l与C交于A，B

??y＝tsinα

两点，|AB|＝10，求l的斜率．

解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(3分)

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.(5分)

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.(7分)

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝?ρ1＋ρ2?2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.(8分) 315由|AB|＝10，得cos2α＝8，tanα＝±3. 1515

所以l的斜率为3或－3.(10分)

3．[2017·东北三省四市调研]在直角坐标系xOy中，圆C1的参数

??x＝3＋3cosφ1，方程为?

??y＝3sinφ1

(φ1是参数)，圆C2的参数方程为

??x＝cosφ2，

?(φ2是参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐??y＝1＋sinφ2

标系．

(1)求圆C1，圆C2的极坐标方程；

(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C1交于O，M两点，与圆C2交于O，N两点，求|OM|＋|ON|的最大值．

解 (1)圆C1：(x－3)2＋y2＝3，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，(2分) 故圆C1：ρ＝23cosθ，圆C2：ρ＝2sinθ.(4分)

(2)当θ＝α时，M的极坐标为(23cosα，α)，N的极坐标为(2sinα，α)，

∴|OM|＋|ON|＝23cosα＋2sinα，(6分) π??

∴|OM|＋|ON|＝4sin?α＋3?.(8分)

?

?

ππ7π∵3≤α＋3<3，

πππ

∴当α＋3＝2，即α＝6时，|OM|＋|ON|取得最大值4.(10分) 4．[2016·云南师大附中月考]在平面直角坐标系xOy中，直线l

1

x＝－2＋2t，

?

的参数方程为?3

y＝2＋?2t(1)求|AB|的长；

(t为参数)，直线l与曲线C：(y－2)2

－x2＝1交于A，B两点．

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点3π??

P的极坐标为?22，4?，求点P到线段AB中点M的距离．

??

?解 (1)直线l的参数方程为?3

?y＝2＋2t线C的方程得t2＋4t－10＝0.

t1t2＝－10，(3分)

所以|AB|＝|t1－t2|＝214.(5分)

1

x＝－2＋2t，

(t为参数)，代入曲

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－4，

(2)由极坐标与直角坐标互化公式，得点P的直角坐标为(－2,2)，t1＋t2

所以点P在直线l上，中点M对应参数为2＝－2.(7分)

由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|＝2.(10分)

5．[2017·辽宁抚顺一模]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x

??x＝t，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为?(t为

??y＝at

参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)直线l与曲线C2相交于B，C两点，若|BC|≥23，求实数a的取值范围．

解 (1)由题意知，曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12.(2分)

??x′＝2x－6，

设点P(x′，y′)，Q(x，y)．由中点坐标公式得?

?y′＝2y，?

代入x2＋y2－4y＝12中，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4.(4分)

(2)直线l的普通方程为y＝ax， |3a－1|

由题意可得2≤22－?3?2，(8分)

a＋1

3??3

?解得0≤a≤4，即实数a的取值范围是0，4?.(10分) ??

??x＝1＋tcosα，?6．[2017·江西新余模拟]已知直线C1：(t为参数)，??y＝2＋tsinα

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极π??

坐标方程为ρ＝2sinθ＋22cos?θ＋4?，且C1与C2相交于A、B两点．

??

(1)当tanα＝1时，判断直线C1与曲线C2的位置关系，并说明理由；

(2)当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．

解 (1)当tanα＝1时，将直线C1的参数方程化为普通方程为y＝x＋1，

曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，

则圆C2的圆心C2(1,0)，半径r＝1，(3分)

则圆心C2到直线C1的距离d＝2>1，则直线C1与曲线C2的位置关系为相离．(5分)

(2)由直线C1的方程可知，直线恒过定点Q(1,2)，弦AB的中点P满足C2P⊥QP，故点P到C2Q的中点D(1,1)的距离为定值1，(7分)

当直线C1与圆C2相切时，切点分别记为E，F，则点P的普通方程为C2：

?1?

(x－1)2＋(y－1)2＝1?y<2?，表示的是一段圆弧．(10分)

?

?

7．[2017·江西南昌调研]将圆x2＋y2＝4每一点的横坐标保持不变，1

纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：x＋2y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，(2分)

??x＝2cost，

依题意得：圆x＋y＝4的参数方程为?(t为参数)，(3

?y＝2sint?

2

2

分)

??x＝2cost，

所以C的参数方程为?(t为参数)．(5分)

??y＝sint

2

x?＋y2＝1，???x＝2，?x＝0，4(2)由?解得?或?(6分)

???y＝0?y＝1.?x＋2y－2＝0，

1??

所以P1(2,0)，P2(0,1)，则线段P1P2的中点坐标为?1，2?，所求直

??线的斜率k＝2，于是所求直线方程为

1

y－2＝2(x－1)，即4x－2y＝3，(8分)

3

化为极坐标方程得4ρcosθ－2ρsinθ＝3，即ρ＝.(10分)

4cosθ－2sinθ8．[2016·贵阳一中月考]在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知π??3

?曲线C的方程为ρ＝2，点A23，?. 6??1＋2sinθ

2

(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；

(2)设B为曲线C上一动点，以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴，求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标．

解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

x22

∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1，(3分) 点A的直角坐标为(3，3)．(5分)

??x＝3cosα，

(2)曲线C的参数方程为?(α为参数，α∈[0,2π))，∴

??y＝sinα

设B(3cosα，sinα)，

依题意可得|BE|＝3－3cosα，|BF|＝3－sinα，

矩形BEAF的周长＝2|BE|＋2|BF|＝6＋23－23cosα－2sinα＝6π??

?＋23－4sinα＋3?，(8分) ??

π

当α＝6时，周长的最小值为2＋23，此时，点B的直角坐标为

?31?

?，?.(10分) ?22?

9．[2017·昆明检测]已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2,0)．

1??

所以P1(2,0)，P2(0,1)，则线段P1P2的中点坐标为?1，2?，所求直

??线的斜率k＝2，于是所求直线方程为

1

y－2＝2(x－1)，即4x－2y＝3，(8分)

3

化为极坐标方程得4ρcosθ－2ρsinθ＝3，即ρ＝.(10分)

4cosθ－2sinθ8．[2016·贵阳一中月考]在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知π??3

?曲线C的方程为ρ＝2，点A23，?. 6??1＋2sinθ

2

(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；

(2)设B为曲线C上一动点，以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴，求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标．

解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

x22

∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1，(3分) 点A的直角坐标为(3，3)．(5分)

??x＝3cosα，

(2)曲线C的参数方程为?(α为参数，α∈[0,2π))，∴

??y＝sinα

设B(3cosα，sinα)，

依题意可得|BE|＝3－3cosα，|BF|＝3－sinα，

矩形BEAF的周长＝2|BE|＋2|BF|＝6＋23－23cosα－2sinα＝6π??

?＋23－4sinα＋3?，(8分) ??

π

当α＝6时，周长的最小值为2＋23，此时，点B的直角坐标为

?31?

?，?.(10分) ?22?

9．[2017·昆明检测]已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2,0)．

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