2019 - 2020学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互

2.2.2 事件的相互独立性

[A 基础达标]

1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )

A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立的事件

3213

解析：选D．因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，所以5424

A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．

2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )

A．0.2 C．0.4

B．0.8 D．0.3

解析：选D．由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5＝0.3，故选D．

3．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，65

若该电路为通路的概率为，则p＝( )

81

1A． 22C． 3

1B． 33D． 4

6565

解析：选B．因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有818165154

当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)，解得p＝或p＝(舍

8133去)．故选B．

4．(2019·重庆高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每

次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( )

1A． 34C． 9

2B． 98D． 27

21

解析：选A．由已知得逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为，则逆时针跳三

3322281111

次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所

3332733327811

以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.

27273

11

5．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率

231

为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) 4

A．1 11C． 24

6B． 2417D． 24

解析：选C．一道数学难题，恰有一人解出，包括： 1231

①A解出，B，C解不出，概率为××＝；

23441131

②B解出，A，C解不出，概率为××＝；

23481211

③C解出，A，B解不出，概率为××＝.

2341211111

所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.

481224

6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．

解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.26

1

7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，2

则灯亮的概率是________．

——

解析：设“开关a，b，c闭合”分别为事件A，B，C，则灯亮这一事件为ABC∪ABC∪AB

C，且A，B，C相互独立，

ABC，ABC，AB C相互独立， ABC，ABC，AB C互斥，所以 P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)

——

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 11111?1?1?1?13＝××＋××?1－?＋×?1－?×＝. 2?2822222?2?2?3

答案： 8

1

8．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，312

，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 23

解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C， 112

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，

323

———

停车一次为事件(ABC)∪(ABC)∪(ABC)，

—

—

—

——

—

?1?121?1?211?2?7

故其概率P＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝.

?3?233?2?332?3?18

7

答案：

18

9．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：

(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，

且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.

———

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示，

P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)

＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003，

即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 ———

(ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示． ———

由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，

———

根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) ———＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)

＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]

＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.

10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不231

影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑

543的成绩进行一次检测，则

(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．

解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

231则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 543

设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：

——————

P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝. (2)三人都不合格的概率：

231

543110

P0＝P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.

(3)恰有两人合格的概率：

——————

312543110

P2＝P(AB C)＋P(A BC)＋P(ABC)

23221133123＝××＋××＋××＝. 54354354360恰有一人合格的概率：

———

P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝. 综合(1)(2)(3)可知P1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．

[B 能力提升]

1

11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )

2

12310601255106012

3A． 1613C． 16

3B． 41D． 4

解析：选C．记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求——11?11?3

解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(C)P(D)[1－P(AB)]＝××?1－×?＝.22?22?16313

所以灯亮的概率为1－＝. 1616

12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．

解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，

则D＝B∪C，且B与C互斥，

C2C44C2C11C2C22

又P(A)＝2＝，P(AB)＝2＝，P(AC)＝2＝，

C55C55C55故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A) ＝

11

11

11

P（AB）P（AC）3＋＝.

P（A）P（A）4

3答案： 4

13．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和452

水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互相

563独立．

(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．

4522

解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××(1－)＝，

56394524

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×(1－)×＝，

563454521

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－)××＝，

563924119

所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝. 945945

4521

(2)三个项目全部失败的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝，

56390189

所以至少有一个项目成功的概率为1－＝. 9090

14．(选做题)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

解：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．

(2)记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”，CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”，CB2表示事件“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，

C＝CB1CA1∪CB2CA2，

P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．

16410816

由所给数据，得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)

20202020204108101684

＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48. 20202020202020

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