小升初讲义数学共16讲

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小升初数学专题讲义推荐度：
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第1讲前言

第一章丰富的图形世界

第2讲生活中的立体图形第3讲展开与折叠第4讲截与看几何体

第5讲平面图形与基本的推理第6讲直线、线段、射线、角

第二章有理数

第7讲数怎么不够用了第8讲数轴第9讲绝对值

第10讲有理数的加法第11讲有理数的减法

第12讲有理数的加减混合运算第13讲有理数的乘法第14讲有理数的除法第15讲有理数的乘方

第16讲有理数的混合运算

第1讲前言

数学：人类离不开；人人都能学会！

一、走进数学世界

宇宙之大（海王星、流星雨），粒子之微（铍原子、氯化钠晶体结构），火箭之速（火箭），化工之巧（陶瓷），地球之变（陨石坑），生物之谜（青蛙），日用之繁（杯子、表），大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献，让我们共同走进数学世界，去领略一下数学的风采，体会数学的魅力。

1.大自然的鬼斧神工使几何图形的对称美成了造型艺术、建筑美学的基础。雪花的对称性就是大自然的杰作。晶体（如冰糖）的表面对称极为精巧，并由此内含着深刻的物理性质。在人类赖以生存的建筑群中，小到衣物装饰，大到房屋建筑、路面铺设，几乎处处都有美丽的对称性装饰，古代皇宫中壁画的边饰等无不含有极为壮丽的对称美，以至亡国之君李煜在身受软禁之际，还深情怀恋昔日的“雕阑玉砌应犹在”。

2.天工造物，每每使人惊叹不已；生物进化提示的规律，有时几个世纪也难以洞悉其中的奥秘。蜂房的构造，大概最令人折服的实例之一。18世纪初，法国学者马拉尔琪实测了蜂房底部菱形，得出令人惊异而有趣得结论：拼成蜂房底部的每个菱形的蜡板，钝角都是109°28ˊ，锐角都是70°32ˊ。瑞士数学家克尼格经过精心计算，结果更令人震惊：建造同样体积且用料最省的蜂房，菱形的两角应是109°26ˊ与70°34ˊ，与实测仅差2分。人们对蜜蜂出类拔萃的“建筑术”赞叹万分之余，无人去理会这不起眼的“2分”。不料蜜蜂却不买克尼格的账，冷酷的科学事实后来去判断错方是克尼格。公元1743年，大数学家马克劳林改用数学用表重新计算，得出的结论与马拉尔琪的实测不差分毫。简直不可思议。

3.人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙飞船航行，任何时候都受到数学的恩惠和影响，到处都体现着人类数学智慧的结晶。

在天体运动着的星球遵循四种轨道，人造卫星、行星、彗星等依据运动速度的不同（即7.9千米/秒、11.2千米/秒、16.7千米/秒三种宇宙速度）顺从地运行在圆、椭圆、抛物线及双曲线的轨道中。人造地球卫星要想发射成功，必须达到第一宇宙速度。

4.人类在进步、社会在发展。随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买卖与批发、存款与保险、股票与债券等，几乎每天都会碰到，而这些经济活动无一能离开数学。

5..数学是人类最伟大的精神产品之一。每一个数学公式，就是一首诗，公式C=2πR就是其中一例。司空见惯的图形——圆，内含的周长与半径有着异常简洁、和谐的关系，一个传奇的数π把她们紧紧相连。天地间有无数个圆，唯有C=2πR这个纯粹的圆最精致、最完美。这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而再生的哲理美，因而人们常用“圆满”比喻十全十美。

6.比例的数量关系，以其天造地设的美感令人叹为观止。把长为c的线段分为a（较长）、b（较短）两段，使之符合a︰b≈0.618。这0.618是最美、最巧妙的比例，人们称之为“黄金分割”。法国的圣母巴黎院、中国的故宫、埃及的金字塔的构图都融入了“黄金分割”的匠心。

二、回顾历程—数学伴我们成长

1．现在让我们进入时空的隧道，回忆我们的成长历程：出生——学前——小学（板书），我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗？不

妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子，试一试。

（共同讨论交流，从具体事例中分析并找出数学信息。）

2．进入小学，我们正式开始学习数学，回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些？

3．（指定若干名学生口答）师生共同系统归纳：

（1）数与式：数和式的认识、计算、方程、解应用题；（2）图形：图形的认识、图形的画法、图形的计算；（3）统计知识。

4．数学知识的学习，不仅开阔了我们的视野，而且改变了我们的思维方式，使我们变得更加聪明了。发挥一下我们的聪明才智，尝试解决下面的问题：

例1．①计算并观察下列三组算式：

②已知25325=625，则24326= （不要计算） ③你能举出一个类似的例子吗？ ④更一般地，若a×a=m，则(a+1)(a－1)= 。例2．如图（1）和图（2），毎个小正方形的边长都为1，我们可以将其适当分割后拼成一个大正方形，请你在图中画岀分割线，并分别画出拼接成的大正方形。

（1）（2）

例3.设定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的年利率分别为2.25%，2.43%，2.7%，和2.88%．试计算1000元本金分别参加这四种储蓄，到期所得的利息各为多少（国家规定：个人储蓄从1999年11月1日起开始征收利息税，征收的税率为利息的20%）．分析结果，你能发现什么？（提示：利息=本金3年利率3储存年数）

例4.在第十届“哈药六杯”全国青年歌手电视大奖赛，8位评委给某选手所评分数如下表，计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分，请你算一算该选手的最后得分．评委评分 1 9.8 2 [o]3 4 5 6 7 8 9.5 9.7 9.9 9.8 9.7 9.4 9.8

例5.某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游．甲旅行社说：“如果校长买一张票，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的6折

优惠”（即按票价的60%收费）．现在全票价为240元，学生人数为5人，请算一下哪家旅行社优惠？你喜欢哪家旅行社？如果是一位校长，两名学生呢？

例6.下面图形中哪些可以一笔画成，哪些不能一笔画成的？

③ ② ① ④

例7.已知有两个大小相等的正方形内紧排着九个等圆和十六个等圆，你认为这两个正方形内空隙哪个大？为什么？

例8.某服装店售出甲、乙两件衣服，各得款120元，其中甲种衣服盈利20%，乙种衣

服亏损20%，问这两次买卖盈亏情况．

例9.一商店把某种品牌彩电按标价的八折出售，仍可获利20%，（进价的20%），已知该品牌彩电每台进价为1998元，求该品牌彩电每台的标价为多少元？

例10.宏达百货商店2011年全年营业额如下：第一季度40万元，第二季度35万元，第三季度45万元，第四季度60万元，回答下面问题．

(1)这一年平均每季度营业额是多少万元？ (2)这一年平均每个月营业额是多少万元？ (3)第四季度比第一季度增加百分之几？

(4)第三季度的营业额比第四季度少百分之几？

通过刚才的解题，可以看出同学们都非常聪明，其实不仅我们每个人离不开数学，而且整个人类、整个社会也离不开数学，

小结：生活中充满了数学，人类离不开数学。学数学，更是为了用数学。应用数学，首先是要有用数学的意识，其次是要学会用数学的方法去看待问题、解决问题。

三、过关精练 1.猜谜语：（1）各打数学中常用字：① 千人分在北上下；② 1人立在口上边.

（2）打一成语：2、4、6、8、10、?

2.下列图形中，阴影部分的面积相等的是

④ ③ ① ②

3.三个连续奇数的和是21，它们的积为 4.计算：7+27+377+4777= 5. 找规律，在括号里填上合适的数

(1)1，2，4，5，7，8，10，( )，( ) (2)19，9，17，8，15，7，( )，( ) 6.只允许添两个“一”、一个“十”和一个括号，不改变数字顺序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字连成结果为100的算式：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 =100

7.把长方形剪去一个角，它可能是几边形

8.有一个正方形池塘如图，在它的四个角上有四棵大树，现在为了扩大池塘，要把池塘面积扩大一倍，但是，这四棵树不便搬动，也不能使它淹在水里，而且扩大后的池塘还是正方形，这该怎么办呢？

9.在操场上，小华遇到小冯，交谈中顺便问道：“你们班有多少学生？”小冯说：“如果我们班上的学生像孙悟空那样一个能变两个，然后再来这么多学生的

1，再加上班上学生的41，最后连你也算过去，就该有100个了．”那么小冯班上有多少学生？ 4

10. 传说有一个叫巴霍姆的人想到草原上买一快地.他问：“价钱如何？”卖主答：“一天1000卢布。”意思是如果你愿出1000卢布，那么你从日出始至日落止，走过的路所围住的土地就归你所有；倘若你在日落之前回不到出发的地方，你的钱就白花了。巴霍姆觉得很合算，于是他就给卖地人1000卢布。第二天，太阳刚刚从地平线露面，他就立即在大草原上狂奔起来。他奔的路线大致如下图。为了不使自己的1000卢布白费，他用尽全身力气，总算在太阳全部消失前的一刹那，赶到了出发地点（A点），可是还没站稳，就口吐鲜血，向前一扑，再也站不起来了。计算其面积.若周长不变,你能围住更大的面积吗？

11.计算：（2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99）= . 12.计算：1+2+3+?+2003+2004+2003+?+3+2+1= ．

13.今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）

14.下面有一张某地区的公路分布图，请你找出从A至D的一条最短路线（图中所标最短路线为里程） 10 C1 B1

10 1 1 5 2 9 A 2 7 B2 D C2

3 4 3 3 11

C 3B3 8

15．已知等式（1）a＋a＋b=23，（2）b＋a＋b=25。如果a和b分别代表一个数，那么a＋b是（）

A.2 B.16 C.18 D.14

16.用如图所示，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形？请你画出拼成的图形．

17.计算： ?1?

18．汽车上有男乘客45人，若女乘客人数减少10％，恰好与男乘客人数的女乘客有多少人？

19．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

20．自然数如下表的规则排列：（1）求上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

1 4 9

2 3 8

5 6 7 14 23

10 11 12 13 22

17 18 19 20 21

16 15 25 24

? ?

第一章丰富的图形世界

第2讲生活中的立体图形

一、【学习目标】

1.能从现实世界中抽象出立体图形；

2.能区分常见的立体图形，并说明它们的特征； 3.理解点、线、面体之间的关系. 二、【知识梳理】

1.几种常见的几何体:

（1）说岀下列几何体的名称；并将它们分类.

（9）

点拨：分类是数学的一种基本思想方法，在分类时，应注意按同一标准不重不漏地进

行，若分类的标准不同，则所分类别也不同.

（2）面和面相交得到，线与线相交得到 . （3）点动成，线动成，面动成 . 2.有关概念：（1）柱体

① 棱柱体：〔如图（1)(2）〕，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱．其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点．

点拨：正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱．正方体是特殊的长方体． ② 圆柱：图（3）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面．

点拨：棱柱和圆柱统称柱体．

（2）锥体 ① 圆锥：〔如图（4）〕图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点． ② 棱锥：〔如图（5）〕图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面．

点拨：棱锥和圆锥统称锥体．

（3）台体 ① 圆台：〔如图（6）〕图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台的侧面．

② 棱台：〔如图（7）〕图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面．

（4）球体：〔如图（8）〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体表面是曲面．

三、【典例精析】

例1.下列说法中，正确的是（）.

①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形.

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

例2.观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（）

A B C D

例3.一个长方形的长为4cm，宽为3cm，分别以它的长、宽所在直线为轴，把长方形旋转一周后，得到不同的圆柱体，分别求出它们的体积.

例4.用数学知识解释： ⑴.一只蚂蚁行走的路线； ⑵.汽车雨刮器的运动；

⑶.一个圆沿着它的一条直径旋转.

例5.生活中的物体：足球、铅笔、挂衣橱、漏斗、砖块、魔方、西瓜、苹果、六角螺母等类似于哪些几何体？

例6.一个画家把14个边长为1米的正方体摆在地面如图所示，然后他把露出的表面都染上颜色，求染色的面积.

小结：1.几何体是由点、线、面构成的； 2.生活中的点动成线，线动成面，面动成体；

3.生活中的几何体很多，我们可以把几种常见的几何体进行如下分类：

??圆柱??柱体?直棱柱（如长方体、正方体、直三棱柱?）??棱柱????斜棱柱???

常见几何体??圆锥?锥体??棱锥（如三棱锥、四棱锥?）?????球体

四、【过关精练】 1.判断正误：

（1）棱柱侧面的形状可能是一个三角形（）（2）棱柱的每条棱长都相等. （）（3）正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体. （）

2.长方体共有（）个面.

A.8 B.6 C.5 D.4

3.六棱柱共有（）条棱.

A.16 B.17 C.18 D.20

4.下列说法，不正确的是（）

A、圆锥和圆柱的底面都是圆. B、棱锥底面边数与侧棱数相等.

C、棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形. D、长方体是四棱柱，四棱柱是长方体.

5.下面的几何体是棱柱的是（）

A B C D 6.（1）正方体有个面，个顶点，经过每个顶点有条棱，这些棱的长度（填相同或不同），棱长为acm的正方体的表面积为 cm. （2）长方体有个顶点，条棱，个面.

（3）五棱柱是由个面围成的，它有个顶点，有条棱.

（4）一个六棱柱共有条棱，如果六棱柱的底面边长都是2cm，侧棱长都是4cm，那么它所有棱长的和是 cm. （5）如图所示的几何体是由一个正方体截去

21后而形成的，这个几何体是4由个面围成的，其中正方形有个，长方形有个.

7.将下面的几何体进行分类，并写出简单理由。

① ② ③ ④ ⑤

8.至少找出下列几何体的4个共同点。

9.在正方体的六个面上分别涂上红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，现有涂色方式完全相同的四个正方体，如图拼成一个长方体，请判断涂红、黄、白三种颜色的对面分别涂着哪一种颜色？

10.如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是16，19和20，求这6个整数的和.

11.画出下列图形绕着虚线旋转一周所得到的几何体.

（1）（2）（3）（4）（5）

12.写岀n棱柱的顶点数、面数和棱数.

13.如图是一个五棱柱，填空：（1）这个棱柱的上下底面是____边形，有_____个侧面；（2）这个棱柱有_____条侧棱，共有_______条棱；（3）这个棱柱共有_____个顶点．

14.如图，可用一个正方形制作成一副“七巧板”，利用“七巧板”能拼出各种各样的图案，根据“七巧板”的制作过程，请你解答下列问题.

⑴“七巧板”的七个图形，可以归纳为三种不同形状的平面图形，即一块正方形，一块_____________和五块____________.

⑵请按要求将七巧板的七块图形重新拼接（不重叠，并且图形中间不留缝隙），在下面空白处画出示意图.①拼成一个等腰直角三角形； ②拼成一个长与宽不等的长方形； ③拼成一个六边形.

⑶发挥你的想象力，用七巧板拼成一些图案，在下面空白处画出示意图.

15.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请观察下列几种简单多面体模型，并解答下列问题：

（1）完成下表中的空格：

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）正四面体正六面体正八面体正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30

你发现顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在的关系式是

（2）通过以下多面体检验你发现的关系式是否正确？

（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数.

（4）某个玻璃钸品的外形是简单多面体，它的外壳表面是由三角形和八边形垪接而成，且有24个顶点，毎个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形个数为y个，求x?y的值.

第3讲展开与折叠

一、【学习目标】

1.能进行图形的分割组合； 2.会判断正方体的相对面；

3.能区分几何体的表面展开图，会判断最短路线. 二、【知识梳理】

1. 圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：

2. 正方体的平面展开图：

（1）设法将一个正方体展开，需要剪开几条棱？几条棱没剪开?

（2）你能将正方体展开成下列形式吗？

（3）正方体的展开图有哪些？（用边长为1厘米的正方形画）

①最多4个面连在一起的情况 ②最多3个面连在一起的情况 ③最多2个面连在一起的情况 3.总结：正方体的展开图有种

三、【典例精析】

例1.常见几何体的展开图问题

（1）下列展开图中，不能围成几何体的是（）.

A.B.C.D.

（2）下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是( )

A B C D

例2.正方体的展开图问题

如下图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面, 试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置.

例3.最短距离问题

如图1的正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.共有几条最短路线？

图1 图3 图2

例4.如图：正五棱柱底面边长都是5㎝，侧棱长为6㎝，回答下列问题： ⑴ 它有多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？

⑵ 它有多少条棱？长度分别是多少？

⑶ 沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，画出示意图，并计算其面积.

例5.有一圆心角为90、半径为8㎝的

1圆形纸片、用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽4略不计），画出示意图，并求圆锥的底面面积. 四、【过关精练】

1.如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（）

A．奥 B．运 C．圣 D．火迎接

奥

运

圣火

图1

迎接

奥

1 2 图2

2．如图，下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）

A B C D

3.如下左图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）

ABCD AB CD

4.下图是正方体的表面展开图，如果将其合成原来的正方体（右下图）时，与点P重合的两点应该是（ )

A、S 和 Z B、T 和 Y C、U 和 Y D、T 和 V

5..如下图，哪个是正方体的展开图（）

6.如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）

[来源:Zxxk.Com]

7.将图（1）中的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到图（2）中的（ )[来源:Z+xx+k.Com]

8.从棱柱的折叠过程可以知道：

（1）棱柱的表面展开图是两个______的多边形作底面，几个_______作侧面；

(2) 棱柱的底面边数与侧面数_______；

(3) 棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的_______．

9.部分几何体的平面展开图：

（1）圆柱的表面展开图是_________作底面；和______________作侧面．

（2）圆锥的表面展开图是___________作底面；和_______________作侧面

10.下图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？

11.在434的方格中，取适当的相连的5个小正方形可折叠成无盖的正方体盒子，请你在图由中画岀这样的相连的5个正方形，在图中最多能剪折多少个？

12.小华用如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，则符合胶滚涂出的一个正确图案是（）

13.如下图是一食品包装盒侧面展开图.

（1）指出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）计算出这个多面体的侧面积（单位：cm）

14.如下图是一张铁皮. （1）计算铁皮的面积；

（2）它能否做成一个长方体的盒子？若能，求出它的体积；若不能，请说明理由.

第4讲截与看几何体

一、【学习目标】

1.了解用平面截几何体出现的截面形状，体会面与体的转换，提高动手操作能力； 2.会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图； 3.会画用若干个小正方体搭成的几何体的三种视图。二、【知识梳理】

1.用平面截一个几何体出现的截面形状

（1）用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：

三角形正方形长方形梯形五边形六边形

点拨：用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．（2）用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．

点拨：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形．

（3）用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面，初中不予研究)

（4）用平面去截球体，只能出现一种形状的截面

结论：①正方体的截面可能是 ②圆柱的截面可能是

③圆锥的截面可能是 ④球的截面是

2.．识别物体的三视图

（1）主视图、左视图、俯视图的定义

从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主（正）视图，从左面看图叫左（侧）视图，从上面看图叫做俯视图．（2）几种几何体的三视图

①正方体：三视图都是 ②球体：三视图都是．

③圆柱体：主视图是；左视图是；俯视图是。

④圆锥体：主视图是；左视图是；俯视图是。

点拨：圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆．

3．画出下列组合体的三视图，其中⑴、⑵、⑶都是用五个小正方体搭成的几何体.

（4）

结论： “长对正”， “高平齐”， “宽相等”

4.三视图中反应的长、宽、高的特点

一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样．三、【典例精析】

例1．用平面截下列几何体，找出相应的截面形状．[来源:学科网]

（1）

（2）

（3）

例2．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码。 A B C D E

1 2

3 4 5 6 A（）；B（）；C（）；D（）；E（）.

思考：用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是________ _。

例3．画出下列立方体的三视图：

点拨：注意主视图与俯视图列数相同,左视图的列数与俯视图的行数相同. 例4．根据三视图画出几何体

主视图左视图俯视图几何体

四、【过关精练】

1.一个正方体的截面不可能是（）

A.三角形 B.梯形 C.五边形 D.七边形 2.有下列几何体：（1）圆柱；（2）正方体；（3）棱柱；（4）球；（5）圆锥；（6）长方体。则这些几何体中截面可能是圆的有（）

A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.如图：用一个平面去截一个圆柱，则截面形状是（）

4.正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是（） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 5.物体的形状如图所示，则此物体的俯视图是（）

6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，这堆货物的三种视图如下

这些正方体货箱的个数为??（）

A、5 B、6 C、7 D、8

主视图左视图俯视图

7.用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面是_ _____形．

8.如果用一个平面去截一个几何体，所得任意截面都是圆，则这个几何体是__ ____.

9.用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是__ ___

10.如果用一个平面截一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？（画图说明）

11.如图，下列立体图形被一刀切除一部分，写出剩下部分几何体的名称。

（1）

12.如下图，写出所给几何体的三视图的名称。

13.画出下图（正方体上面放一个圆锥）的三视图。

14.如图所示，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图。

3 4 2 2 3 15.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？[来源:学&科&网]

主视图俯视图

第5讲平面图形与基本的推理

一、【学习目标】

1.能从现实生活中抽象岀平面图形； 2.能利用多边形进行拼图；

3.会判断多边形及扇形，并能进行简单的计算； 4.掌握基本的推理、论证的方法. 二、【知识梳理】 1．多边形的定义：

定义1：三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形．多边形可分为凸多边形与凹多边形两类，若无特别说明均指凸多边形.

定义2：边长与角都相等的多边形叫正多边形．定义3：把多边形的一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线.

2．多边形的分割：提问：从多边形的一个顶点出发的对角线有多少条？这些对角线将多边形分割成多少个三角形？

多边形三角形四边形五边形 ? n边形

线段数三角形个数[

定理：从n?n?3?边形的一个顶点出发有?n?3?条对角线，这些对角线又把这个n边形分割成?n?2?个三角形；n边形共有3．扇形与弧的定义及区别：

n?n?3?2条对角线.

(1)弧：圆上叫弧． (2)扇形：由和经过所组成的图形叫扇形． (3)扇形与弧的区别:弧是一段曲线，而扇形是一个面．

4.推理的依据是学过的定义、公理和定理。推理时一定要做到言必有据.

（1）定义：对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。比如：

定义1：直线上一点和它一旁的部分叫做射线.这就是射线的定义；射线可由线段向一方无限延长而得.

定义2：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这就是角的定义。

（2）公理：被人类长久以来的实践所证实，作为推理依据的事实叫做公理。比如：公理1：经过两点有且只有一条直线.

公理2：在所有连接两点的线中，线段最短。

（3）命题：可以判断真假的语句叫命题. 命题分为“真命题”与“假命题” 两类. （4）定理：用逻辑推理的方法证明为正确的命题叫做定理。比如：定理1：三角形内角和为180°。其证明需要用到平行线的相关性质. 定理2：三角形两边之和大于第三边。其证明需要用到以上公理2. 5.为何要推理、论证？

（1）请量一量、拼一拼，找出规律.

提问：在测量三角形的内角和时，你真能测量得绝对精确、没有一点误差吗？在把三角形的内角拼接为一个平角时，你真的认为能拼成一个平角吗？会不会只是很接近平角

呢？（2）请摆一摆，找出规律.

提问：在用三根小棍摆三角形时，你发现了两边之和必须要大于第三边。这个结论对所有长度的小棍都成立吗？你没有摆的其他长度也是这样吗？（3）请看一看，你能得出什么结论：

图（1）中，线段AB、CD哪一条长？图（2）中，线段AB、AC哪一条长？图（3）中，两个带阴影的椭圆哪一个大？图（4）中，a,b两条直线之间一样宽吗？

提问：你相信“眼见为实”吗？再量一量看看.

总结：测量有误差，观察不可靠，唯有推理、论证才信服于人。因此，在学习数学的过程中，一定要养成“讲道理”的习惯。 6.三角形的外角

（1）定义：三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角，叫做三角形的外角。（2）定理：关于三角形的外角有如下定理：

定理1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。定理2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。定理3：三角形的外角和为360（每个顶点处的外角只取其中一个）。

在中学学习中，同学们一定不能只注重结论，还必须弄清楚其来源和推理过程。三、【典例精析】例1．（1）从一个八边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，把八边形分割成多少个三角形？八边形的内角和是多少？先想一想，再画一画。

（2）从多边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形是几边形？

（3）证明凸n边形的内角和是?n?2??180.

例2．观察图中可爱的小猫，你能看出它是由多少个三角形组成的吗？与同们交流你的看法.

例3．用四种以上的方法把一正方形分成面积相等的四块，画岀示意图.

例4．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如图（1）所示，仿照图示方法解答下列问题：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）如图（3），对任意三角形，设计一种方案将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

例5.已知：如图，D是AB中点，E是AC中点，且AB＝AC。求证：AD＝AE。

（1）（2）（3）

例6.已知：如图，在?ABC中，?A?75，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点。求?BHC的度数。

分析：无论解答题还是证明题，其解答或证明过程都是将已知条件和结论联系起来。因此，我们的任务就是将“?BHC”与“?A?75”联系起来，过程中可能会用到条件“BE是AC边上的高，CF是AB边上的高”。

点拨：有的同学认为只有证明题才需要推理依据，计算题与证明题不同，只要算出得数即可。这个观念是极其错误的，计算题在计算过程中也存在着推理论证，也要求言必有据！四、【过关精练】

1.如图，图中三角形的个数为（）

A. 2 B. 18 C. 19 D. 20

第1题图第2题图

[来源:学科网]

2.将两个完全相同的三角形，如图，拼在一起成为四边形，使它们有一条相等的边完全重合，则能拼出不同的平面图形（）种

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

3.下列说法中正确说法的个数是（） ①钝角三角形有两条高在三角形内部；

②三角形三条高至多有两条不在三角形内部；

③三角形三条高的交点不是在三角形内部，就是在三角形外部； ④钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如果三角形三边长分别为a?1、a、a?1，则a的取值范围是（） A.a?0 B.0?a?1 C.a?2 D.1?a?2

5.一个等腰三角形的周长是11，其中一边长是3，则其他两边长是（） A.3和5 B.4和4 C.3和5或4和4 D.不能确定

6.五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为（）

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

7.如图，如果OA,OB,OC是圆的三条半径，那么图中有个扇形.

8..如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2012个三角形，那么此多边形的边数为 9..（1）若在n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形.

（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形.

10.如图，图中共有个梯形。

11.平面内有5个点，过毎两个点作直线，则最多可得条直线，最少可得条直线。

12.平面内三条直线把平面分割成最少块，最多块。

13..已知扇形弧上连同两个端点共有4个点，将这4点与圆心连接，则共可得个扇形。

?14.已知：如下左图，?ABC中，OA、OB分别平分?BAC、?ABC，若?AOB?100，则?C? ；

??15.已知：如上右图，AD、AE分别是?ABC的高和角平分线，若?B?33，?C?67，则?1? ，?2? ，?3? ；

16.已知?ABC中，AD?BC，BE?AC，垂足为D、E，AD＝6，BC＝10，BE＝8。则AC的长为______________；

17.（1）在如下左图中，平行移动四根火柴，组成三个全等的正方形。（2）在如下右图中，移走3根火柴，组成6个全等的等边三角形。

18.用规格131的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图方式辅地板.

（4） ??（n）??

（1）观察图形，填写下表：

图形（1）（2）（3）

黑砖块数

黑砖面积

（2）推测第n个图形中需要黑色瓷砖的块数和面积；

（3）在上述图形中，是否存在一个图形，使所含黑色瓷砖的块数为34？若存在，请指出是第几个图形；若不存在，请说明理由.

?19.已知：如图，Rt?ABC中，?ACB?90，CD?AB，AE平分?CAB。求证：?CEF??CFE。

20.已知：?ABC中，D为AB边上一点，且AD＝AC，求证：BC?CD?AB?AC。

第6讲直线、线段、射线、角

一、【学习目标】

1.理解线段、射线、直线的区别与联系；

2.理解“两点之间线段最短”和“经过两点有且只有一条直线”； 3.理解角的有关定义、表示方法、会计算角度数和进行简单的换算。二、【知识梳理】

1.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；线段有两个端点；可以测量长度和比较大小；.两点之间线段最短。

2.射线：射线只有一个端点,另一边可以无限延伸；不可测量长度和比较大小。 3.直线：经过两点有且只有一条直线；直线没有端点；可以向两端无限延伸；不可测量长度。

点拨：线段和射线都是直线的一部分. 4.线段、射线、直线的表示方法：

①一条线段可用表示两个端点的大写字母来表示，如线段AB或BA．或一个小写字母表示。 ②一条射线可用端点和射钱上的另一点表示，规定把表示端点的字母写在前面．

③一条直线可用两个大写字母表示，这两个大写字母代表直线上的两个点，如直线AB或BA；另外直线还可用一个小写字母表示。

5.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角

也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 6.角通常有四种表示方法：

（1）角可以用三个字母及符号“∠”表示，其中表示顶点的字母写在中间。（2）角可以用一个数字和符号“∠”表示。

（3）角可以用希腊字母（α、β、γ）和符号“∠”表示。

（4）如果一个角的顶点上只有一个角，那么也可以用这个顶点字母和符号“∠”表示。 7.角的度数与换算：在测量角时，有时以度为单位还不够，我们需要用比1°更小的单位，称之为分和秒，把1°的角等分成60份，每一份是1分，记做1'，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，记做1\，即1周角=360°；1°=60'；1'=(60)°；1'=60\；1\60)'； 8.角的分类：

0?????90??锐角： ?直角：???90? ??角的分类?钝角： 90?????180??平角：???180?

??周角：???360?三、【典例精析】

例1.判断正误：

（1）直线AB与直线BA是同一条直线；（）（2）射线AB与射线BA是同一条射线；（）（3）线段AB与线段BA是同一条线段；（）

（4）线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点.（）

例2.图中给出的直线、射线、线段,根据各自的性质,能相交的是( )

11A

BCD

例3.已知A、B、C、D在一条直线上，线段AD＝6cm，BD＝2cm，C是线段AD的中点，求线段BC的长度。

例4.如图：作出三角形ABC的三个内角的平分线．观察它们是否交于一点，如果交于一点，则交点的位置在哪里？

例5.如图,AOB为一直线，OC、OD、OE是射线，则图中大于0°小于180°的角有多少个？

例6.如图.∠AOB=35°40＇，∠BOC=50°30＇，∠COD=21°18＇，OE平分∠AOD，求∠BOE.

点拨：利用图形中的角的位置关系，求出已知角的和差，再利用角的平分线定义求出角的大小。

例7.如图：AC为一条直线，O是AC上一点，，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，（1）当∠AOB＝120°时，求∠EOF的大小；

（2）当OB绕O旋转任意角度时，问：∠EOF的大小发生变化吗？你能否用一句话概括出这个命题．

四、【过关精练】

1.如右图所示，已知平面上四个点（1）画直线AB；（2）画线段AC；（3）画射线AD、DC、CB；（4）指出图中有_____条线段，有___ 条射线，

2. 已知A、B、C在一条直线上，且线段AB=5 cm，BC=3 cm，求线段AC的长.

3.如下图，点C分AB的比为2∶3，点D分AB的比为1∶4，若AB为10 cm,则AC=_______cm；BD=_______cm；CD=_______cm.

4.如下图，∠AOB为平角，且∠AOC=

1∠BOC，则∠BOC的度数是（）2A.100° B.135° C.120° D.60°

5.计算(1)57.32°=___度_____分____秒.(2)27°14?24?= _度.

6. 如下左图：AB的长为m，BC的长为n，M、N分别是AB，BC的中点，则MN=_____

7.如上右图：用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．AB＋BC_____AC； AC＋BC_____AB；BC_____AB＋AC；理由是_______ _

8..一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是( )

A.75° B.105° C.45° D.135°

9.如下图，直线AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1=57°，则∠2=____.

10．如下图，点O在直线AC上，画出∠COB的平分线OD。若∠AOB＝55°，求∠AOD的度数.

11.在直线l上任取一点A，截取AB=16 cm，再截取AC=40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离.

12.如下图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°, 求∠BOD的度数。

13.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若△ABC的面积为6，求PD＋PE的值。

14.已知：如图，?ABC中，AD是角平分线，?B?40，?C?50。求?ADC的度数。

第二章有理数

第7讲数怎么不够用了

一、【学习目标】

1．了解正数与负数是从实际需要中产生的；

2．理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数； 3．初步会用正负数表示具有相反意义的量；

4．在负数概念的形成过程中，培养学生的观察、归纳与概括的能力． 5．理解有理数的意义，并能将给出的有理数进行分类；二、【知识梳理】

1.小学里已经学过哪些类型的数？；；

点拨：小学里学过的数可以分为三类：正整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．

为了表示一个人、两只手、??，我们用到整数1，2，?? 为了表示“没有人”、“没有羊”、??，我们要用到0．

但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示．例如：（1）某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．“零上5℃”和“零下5℃”它们是具有相反意义的两个量．

（2）珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．

“运进”和“运出”，其意义是相反的．同学们能举例子吗？提出：怎样区别相反意义的量才好呢？

点拨：（1）用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；（2）在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，35℃表示零下5℃．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的．

现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．

点拨：只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了． 2. 什么是正、负数？

点拨：像5，1.2，＋3.14?这样的数叫做，它们都比0 ；在正数前面加上号叫做负数，它们都比0 ；0既不是也不是

3.什么是整数？什么是分数？什么是有理数？举出若干数写在下面相应的大括号内：

⑴自然数集：｛｝；⑵正整数集：｛｝；

⑶负整数集：｛｝；⑷正分数集：｛｝；

⑸正分数集：｛｝；⑹有理数集：｛｝.

[来源学科网Z.X.X.K] 37

4.有理数的分类：

点拨：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．

（1）按定义分: （2）按有理数的符号：

有理数有理数

三、【典例精析】

例1.先将下列数按一定标准分类：再把它们填写在相应集合圈内 0.618，+3.14，2012，19?，0，－648，－39.11，＋512，π，－

整数集

负数集

分数集

例2.如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题．

（1）一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深．

例3. 2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,

其中―+‖表示成绩大于18秒,―—‖表示成绩小于18秒?这个小组女生的达标率是( )

A．25% B．37.5% C．50% D．75% 例4.七名同学的体重以48kg为标准,超过记为正,不足记为负,记录如下编号与标准体重的差(kg) 1 -3.0 2 +1.5 3 +0.8 4 0 5 +0.3 6 +1.2 7 +0.5 （1）最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义. （2）按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?

总结：由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．

四、【过关精练】

1.任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛｝，负数集合：｛｝．

2.在下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -3.6，-4，9651，-0.1．

3.如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？

[4.河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？

5．一物体可以左右移动，设向右为正，问：

(1)向左移动12米应记作什么？(2)“记作8米”表明什么？

6.整数和分数合起来叫做______，正分数和负分数合起来叫做______．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]7.-100不是（）

A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数 8.在以下说法中，正确的是（）

A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是有理数 C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数 9.下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（）

①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.

A.0 B.1 C.2 D.3 10.在－11,0,0.2,3,+

,1,－1各数，正数一共有（）

A.5个 B.6个 C.4个 D.3个 11.在0，

，－

，－8，+10，+19，+3，－3.4中整数的个数是（）

A.6 B.5 C.4 D.3 12..下列各数中，大于－A.－

小于

的负数是（）

D.0

B.－

13.如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示_______，不升不降用_______表示. 14.如果向南走5 km记为－5 km，那么向北走10 km记为_______.

15.如果收入2万元用+2万元表示，那么支出3000元，用_______表示.

16..某乒乓球比赛用+1表示赢一局，那么输2局用_______表示，不输不赢用_______表示. 17.某房地产企业以2010年的利润为标准，2011年增加了30%记为+30%，2012年利润为－5%表示的意义是_______.

18.节约用水，如果节约5.6吨水记作+5.6吨，那么浪费3.8吨水，记作_______. 19.大于－5.1的所有负整数为___ __. 20.请写出3个大于－1的负分数_ ____.

21.某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____.

22.某县外贸局一年出口总额人民币1300万元，表示为+1300万.进口某种原料350万应表示为_____.

23.在“学雷锋活动月”活动中，甲乙两组同学上街清扫街道，它们分别在街道的两端同时相向开始打扫，街道总长1200米，两组会合时甲组向南清扫了500米，记作+500米，则乙组向北清扫了_____米，应记作_____. 24.某下岗职工购进一批苹果，第一天盈利17元，记作+17元，第二天亏损6元应记作_____. 25.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在 26.判断题

（1）零上5℃与零下5℃意思一样，都是5℃. （）（2）正整数集合与负整数集合并在一起是整数集合. （）（3）若－a是负数，则a是正数. （）（4）.若+a是正数，则－a是负数（）（5）收入－2000元表示支出2000元. （） 27.下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系

[来源学科网][来源学科

28.某天气预报显示，我国五个地区的最高气温第二天比第一天下降了12℃，这五个地区第一天最高气温如图所示，请填写第二天的最高气温

29..某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示

科目成绩语文 +15 数学－3 外语－6 请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么？

30.观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,?并写出第150个数.

111,,—,_______,________,_______,第150个数是________; 6781111111(2)1,—,—,—,,—,—,—______,_______,_______,第150个数是________;

2345678111111(3)1,,—,—,1,,—,—_______,_______,_______,第150个数是________.

234234(1)1,—

,,—

第8讲数轴

一、【学习目标】

1．正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；

2．学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来； 3.会利用数轴比较有理数的大小； 4.初步理解数形结合的思想方法．二、【知识梳理】 1．问题：

（1）小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？（2）用“射线”能不能表示有理数？为什么？

（3）你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？

点拨：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．

与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下：

①.画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；

②.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；

③.选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，?从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，?

提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)

2．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

提问：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？

3.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，缺一不可．

4. 有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.

点拨：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。 5.比较大小（数轴）：数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。

结论：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

6. 相反数：

（1）代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。0的相反数是0。

（2）几何定义：两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。点拨：①. +5的相反数是－5；－5的相反数是5；a的相反数是－a.

②. 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是一个正数；0的相反数是0 ③. 一个数的相反数的相反数是它本身.即－（－a）= a

三、【典例精析】

例1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。

例2．一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数有是

例3．.借助数轴列式回答下列问题：

2的点表示的数是什么? 32(2).与－3相距的点表示的数是什么?

31(3).一个点A表示的数为－,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数是什么?

71(4).两个点A,B分别表示的数为—1，,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C表

4(1).与原点相距

示的数是什么?

例4．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（） A.a>b B.－a>－b C.b >o D.a > o

例5．请指出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来并把它们用“<”连接起来.

－4，3，+

11，0，－2 22

总结：

1.一条正确的数轴，必须要有______，______，______. 2.数轴的三要素？[来源:学科网]

3.结论：正有理数可用原点的点表示，负有理数可用原点的点表示，零用原点表示．

4.在数轴上表示的两个数，边的数总比边的数大． 5. 数都大于0，数都小于0，大于一切负数. 6.相反数的定义？相反数在数轴上的位置关系？四、【过关精练】 1．一个数的相反数是它本身，则这个数是（）

A．正数 B．负数 C.0 D．没有这样的数

2．数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（）

A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对 3．如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（）

A．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数 C．等于另一个数的相反数 D．大小不定

4.下面正确的是（）

A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线 B.离原点近的点所对应的有理数较小

C.数轴可以表示任意有理数 D.原点在数轴的正中间

5..关于相反数的叙述错误的是（） A.两数之和为0，则这两个数为相反数

B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数 C.符号相反的两个数，一定互为相反数 D.零的相反数为零

6..如果点A、B、C、D所对应的数为a、b、c、d，则a、b、c、d的大小关系为（）

A.a＜c＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.b＜d＜c＜a D.d＜b＜c＜a

7.下列图形中不是数轴的是（）

8..若数轴上A、B两点所对应的有理数分别为a、b，且B在A的右边，则a－b一定（） A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.无法确定

9.下列各式中正确的是（） A.－3.14<－π B.－1

11>－1 C.3.5>－3.4 D.－<－2 22

10.下列说法错误的是（） A.零是最小的整数

B.有最大的负整数，没有最大的正整数 C.数轴上两点表示的数分别是－2

1与－2，那么－2在右边 3D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来

11．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的_ ___侧； 12．与原点的距离是5个单位长度的点有____ 个，它们分别表示的有理数是___和_______； 13.若数轴规定了向右为正方向，则原点表示的数为_____，负数所对应的点在原点的__ ___，正数所表示的点在原点的___ __.

14.在数轴上A点表示－，B点表示，则离原点较近的点是_ __.

15.两个负数，较大的数所对应的点离原点的距离较 _.

16.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_ ___，它们互为_ _.

17.数轴上A、B、C三点所对应的实数为－

，－

，

，则此三点距原点由近及远的顺

序为_____ .

18.数轴上－1所对应的点为A，将A点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A点距原点的距离为__ ___.[来源:学&科&网 ]

19.在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数____ ______

20.比较大于（填写“＞”或“＜”号）

（1）－2.1_____1；（2）－3.2_____－4.3；（3）－21．判断正误：

（1）在数轴离原点4个单位长度的数是4．（）（2）在数轴上离原点越远的数越大．（）（3）数轴就是规定了原点和正方向的直线．（）（4）表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．（） 22．写出符合下列条件的数（1）大于?2

23．在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来．（1）7，－3.5， 0，－4.5， 5，－2， 3.5；（2）－500，－250， 0， 300， 450；（3）0.1， ?

_____－

11；（4）－ _____0 341而小于1的整数；（2）大于－4的负整数；3）大于－0.5的非正整数， 217， 0.9， ?， 1， 0． 210 44

24．如图，说出数轴上A、B、C、D四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用

标在数轴上．

25．在数轴上，点A表示的数是－1，若点B也是数轴上的点，且AB的长是4个单位长度，则点B表示的数是多少？

[

26.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3，计算(2a+3c)2b的值.

27.下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数.

第9讲绝对值

一、【学习目标】

1.掌握有理数的绝对值概念及表示方法；

2.熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算； 3.掌握利用绝对值比较两个负数的大小；

4.渗透数形结合思想方法，培养推理论证能力。二、【知识梳理】 1.回顾：

⑴.下列各数中： +7，－2，

121，－8，3，0，+0.01，－，1，哪些是正数?哪些是负352数?哪些是非负数?

⑵.什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：

-3，4，0，3，-15，-4，

3，2 2⑶.问题⑵中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点? ⑷.怎样表示一个数的相反数? 2.引入：

（1）两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了.

我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向，当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)这里的5叫做+5的绝对值；4叫做-4的绝对值

（2）两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米，甲测量的差额即多出的数记作 +0.01米，乙测量的差额即减少的数记作－0.02米.

如果不计测量结果是多出或减少，只考虑测量误差，那么他们测量的误差分别是0.01米和0.02米，这里的测量误差0.01就是+0.01的绝对值；0.02就是－0.02的绝对值.

如果请有经验的老师傅进行测量，结果恰好是1米，我们用有理数来表示测量的误差，这个数就是0(也可以记作+0或-0)，自然这个差额0的绝以值是0.

现在我们撇开例题的实际意义来研究有理数的绝对值，那么，有 ①.+5的绝对值是5，在数轴上表示+5的点到原点的距离是5； ②.-4的绝对值是4，在数轴上表示-4的点到原点的距离是4；

③.+0.01的绝对值是0.01，在数轴上表示+0.01的点到原点的距离是0.01； ④.－0.02的绝对值是0.02，在数轴上表示－0.02的点它到原点的距离是0.02； ⑤.0的绝对值是0，表明它到原点的距离是0 3.绝对值的定义：

⑴.代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用式子表示为： |a|=

。

⑵.几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作―|a|‖

如：?5?5；?4?4；?0.02?0.02；0?0.

4.结论：⑴.如果a＞0，那么a=a；如果a＜0，那么a=-a；如果a=0，那么a=0 ⑵.如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等，即?a??a?a. ⑶.两个负数，绝对值大的反而小，这样以后在比较负数大小时就不必每次再画数轴了. 点拨：⑴.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置; ⑵.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;

⑶.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.

⑷..原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值. 三、【典例精析】例1.求8，-8，

11，-，0，6，-π，π-5的绝对值. 44

例2.下列哪些数是正数?

-2，?1，?3，0，-?2，-（-2），-?2 3

例3.在括号里填写适当的数：

?3.5=( )； ?1=( )；－?5=( )；－?3=( )； ??=0；－??=－2 2例4.计算下列各题：

⑴.|-3|+|+5|； ⑵|-3|+|-5|； ⑶|+2|-|-2|； ⑷|-3|-|-2|； ⑸|-

11111|3|-|； ⑹|-|÷|-2|； ⑺÷|-|。 23222

例5.填空：

(1)当a＞0时，|2a|=________； (2)当a＞1时，|a-1|=________； (3)当a＜1时，|a-1|=________ 例6.⑴.比较-4

1与-|—3|的大小； 223⑵比较-与-的大小；

34⑶已知a＞b＞0，比较a，-a，b，-b的大小

例7..(1).+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x的相反数是______，数–x的相反数

是________；

（2）因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系4?点100和到点999距离相等的数是_____________；到点____________；

（3）已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5?9?4，那么点10和点?3.2之间的距离是____________；

（4）数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________；负数1+a的绝对值为________，正数 –a+1的绝对值___________。

点拨：⑴.求一个数的相反数就是给整体添一个负号即可。

⑵.求数轴上到两个数表示的点的距离相等的点表示的数为两数相加再除以2. ⑶.正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数。

四、【过关精练】

1.下列说法中正确的有（）

①互为相反数的两个数的绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值的相反数一定是负数。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列判断正确的有（）

①｜＋2｜＝2；②｜－2｜＝2；③－｜－5｜＝5；④｜a｜≥0

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若x??x，则x一定是（）

A.负数 B.负数或零 C.零 D.正数 4．已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b等于( )

A.+5 B.-5 C.0 D.+5或-5

5．一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为( ) A.-m B.m C.±m D.2m

6．绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( ) A.+8或- 8 B.+4或-4 C.-4或+8 D.-8或+4

[来源:学科网ZXXK]1?2?6?，那么到246,距离相等的点表示的数是577.下列说法中正确的是（）

A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值 B.相反数等于它本身的数只有零

C.一个有理数不是正数就一定是负数 D.绝对值等于它本身的数只有零.

8.－

10，π，－3.3的绝对值的大小关系是( ) 3(A).?1010>|π|>|-3.3|; (B) ?>|-3.3|>|π|; 331010>|-3.3|; (D) ?>|π|>|-3.3| 33(C).|π|>?9.?7.2的相反数的绝对值是。

10.数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是。

11.绝对值等于5的数有两个，它们分别是，它们表示的是一对相反数. 12. 的绝对值是7。

13.如果｜x｜＝9，那么x＝。

14.绝对值不大于3的整数是___ _________，

15.在有理数中，绝对值最小的数是_ ___；在负整数中，绝对值最小的数是__ _； 16.(1)符号是“+”号，绝对值是7的数是________； (2)符号是“－”号，绝对值是7的数是________； (3)符号是“－”号，绝对值是0.35的数是________； (4)符号是“+”号，绝对值是1

1的数是________； 317..绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.

18..将下列各数由小到大排列顺序是 _____.

－211，，|－|，0，|－5.1| 35219..如果－|a|=|a|，那么a=_____.

20..已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.

311_____|－|；（2）|－|_____0； 5256496（3）|－|_____|－|；（4）－_____－

537511122.计算：（1）|－|35.2=_____；（2）|－|－=_____；

22221.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－(3)|-15|-|-6|= ； (4)|－0.24|+|－5.06|= ； (5)|-3|3|-2|= ； (6)|20|÷|-

1|= ； 2(7)|+4|3|-5| ； (8)|-12|÷|+2| . 23.判断题：

(1)任何一个有理数的绝对值都是正数；（）

(2)若两个数不相等，则这两个数的绝对值也不相等；（）

(3)如果一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数；（） (4)绝对值不相等的两个数一定不相等；（） (5)若|a|>|b|时，则a>b; （）

(6)当a为有理数时，|a|≥a；（）