动量守恒定理应用之滑块、子弹打木块模型

浅析动量守恒定理应用的几种模型

动量守恒定律中常常涉及这样几种模型：人船模型，子弹打木块模型，滑块模型，弹簧模型等

1人船模型：是利用平均动量守恒求解的一类问题。在解题时要画出个物体的位移关系草图，找出物体间的位移关系。

【例1】质量为M的小船长为L浮在静水中。开始时质量为m的人站在船头，人和船均处于静止状态。若此人从船头走到船尾，不计水的阻力，则船将前进的距离为

A、mL/(m+M) B、ML/(m+M) C、mL/(M-m) D、ML/(M-m)

【解析】以人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走向船尾，系统在水平方向上不受外力作用，所以水平方向动量守恒，人起步前人和船均静止系统的总动量为零。以河岸为参考系有0=MV船→岸+mV人→岸人走船走人停船停。整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律，位移x=V平均t，所以0=ML船→岸+mL人→岸,根据位移关系可知L=L船→岸+L人→岸,解得L船→岸= mL/(m+M) 【答案】A

人船模型往往会涉及速度，在解决物体时一定要分析清楚是相对哪一个参考系，如果给出的速度不是同一参考系，则必须化为同一参考系。 2.子弹打木块模型：此类问题以系统为研究对象，水平方向满足动量守恒条件，但由于有摩擦，故系统的机械能不守恒，而损失的机械能等于摩擦力与相对位移的乘积，解题时最好画出运动草图，物体位移间的关系就很直观。

【例题2】：质量为M、长为l的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以水平初速v0射入木块，穿出时子弹速度为v，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。

【解析】：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为f，射出时木块速度为V，位移

为S，则子弹位移为(S+l)以子弹木块为系统，由动量守恒定律得：mv0=mv+MV （1）

2 l 由动能定理，对子弹 -f(s+l)=1mv2?1mv0 （2）

22 v0 v S

对木块 fs=1MV2?0 （3）

2M2M2由①式得 v=m(v0?v) 代入③式有 fs=1M?m2(v0?v)2 ④

11111m22②+④得 fl=1mv0?mv2?MV2?mv0?{mv2?M[(v0?v)]2}

222222M注意：这类问题存在临界条件，即子弹射出和留在滑块中。不同条件滑块的速度应考虑清楚。

3弹簧模型:这类问题主要要考虑到弹簧何时拉的最长或压缩最短，注意，有弹性势能和动能的转化。

【例题3】两滑块A、B的质量分别为M1和M2，置于光滑的水平面上，A、B间用一劲度系数为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为原长。一质量为m的子弹以速度V0沿弹簧长度方向射入滑块A并留在其中。求滑块B相对于地面的最小速度。

【解析】由于子弹射入滑块A的过程极短，可以认为弹簧的长度尚未发生变化，

滑块A不受弹力作用。取子弹和滑块A为系统，子弹射入A前后物体系统动量守恒，设子弹射入后A的速度为V1，有： mV0＝（m＋M1）V1

取子弹、两滑块A、B和弹簧为物体系统，满足动量守恒，设弹簧的最大压缩长度为x，此时两滑块具有的相同速度为V，系统动量守恒（m＋M1）V1＝（m＋M1＋M2)V

子弹射入滑块A后，整个系统向右作整体运动，另外须注意到A、B之间还有相对振动，当弹性势能为零时，滑块B相对地面有极值速度。若B向左振动，与向右的整体速度叠加后有最小速度；若B向右振动，与向右的整体速度叠加后有最大速度。设极限速度为V3，对应的A的速度为V2，系统动量守恒

mV0=（m＋M1）V2 ＋M2V3

由上式得：（m＋M1＋M2）V3 －2mV0=0 解得：V3=0 （最小速度） 4滑块模型

【例题4】两块厚度相同的木块a和b，并列紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为ma=2.0kg，mb=0.90kg．它们的下底面光滑，上表面粗糙．另有质量mc=0.10kg的铅块c(其长度可略去不计)以vc=10m/s的速度恰好水平地滑到a的上表面，由于摩擦，铅块最后停在本块b上，测得b、c的共同速度为v=0.50m/s，求木块a的速度和铅块c离开a时的速度．

【解】设c离开a时的速度为vc，此时a、b的共同速度为va，对于c刚要滑上

a和c刚离开a这两个瞬间，由动量守恒定律知 mcvc=(ma+mb)va+mcv'c(1)

以后，物体c离开a，与b发生相互作用．从此时起，物体a不再加速，物体b将继续加速一段时间，于是b与a分离．当c相对静止于物体b上时，c与b的速度分别由v'c和va变化到共同速度v．因此，可改选c与b为研究对象，对于c刚滑上b和c、b相对静止时的这两个瞬间，由动量守恒定律知 mcv'c+mbva=(mb+mc)v(2) 由(l)式得mcv'c=mcvc-(ma＋mb)va 代入(2)式mcv'c-(ma+mc)va+mbva=(mb+mc)v． 得木块a的速度

所以铅块c离开a时的速度 总之求解这类问题应注意：

正确分析作用过程中个物体状态的变化情况，建立运动模型；分清作用过程的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量；合理选取研究对象，在运用动量守恒定律时主要注意初、末状态是否守恒，而不太注重中间状态的具体细节，因此解题非常便利。

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