数列的最值问题

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为

an?1500?230(n?1)?230n?1270,bn?2000?1.05n?1,n?N*

问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值 故需要比较可设

所以问题转化为研究函数二．方法探究

问题2：设等差数列{an}的首项a1?0，公差为d，前n项和为Sn，若S15?S20，

最大值

和

求Sn取最大值时的n值．

【设计说明】通过对几种不同的解题方法的比较，引导学生用函数的观点理解数列的有关问题，体会数列与函数的联系．

思路分析：

思路一：利用数列的单调性。即从寻求通项公式入手，等差数列中

an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)，若a1?0,d?0，则等差数列{an}是递减数

列，则Sn有最大值；

思路二：借助初等函数的性质解决数列问题。等差数列的前n项和Sn是关于n

的二次式(缺常数项)，求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数最值问题的方法．

思路三：数形结合。等差数列前n项和Sn的图象是抛物线上一群孤立的点，求

Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n对应的函数值． 我们说数列是一种特殊的函数，所以不仅等差数列的最值问题可以利用函数的性质来解决，其他数列的最值问题也可以借助函数的图像和性质解决．

三．问题解决

?n?97?问题3：数列??中是否存在最大项，最小项；如果存在则求出最大项

?n?98?和最小项的项数n，如果不存在，请说明理由．

【设计说明】数列的通项公式是函数关系式，可以作出对应函数的图像，判断函数的单调性，解决最值问题，体会数形结合的数学思想．提醒学生注意函数的定义域为正整数集时与为实数集时的区别．

思路分析：构造特殊函数，将数列通项公式分离常数，得

an?1?98?97n?98．该函数图象是由反比例函数的图像经过

98?97n?98坐标平移而得的函数f(x)?1?（如图）。根

据函数图像特点，可以判定数列?an?的最大最小项．

问题１的解决

四．课堂小结：

引导学生从数学知识点、数学思想方法等几个方面进行小结。

五．拓展研究：

已知数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，前n项和为Sn，设bn=（n?N?）要使bn?t对n?N?恒成立，试求t的最小值。

【设计说明】通过对问题的分析，将恒成立问题化归为数列的最值问题，进而选择相应的方法解决问题．体现数学问题解决的基本思想――化归．

六．作业

（A组必做，B组选做） A组

1．在等差数列{an}中，公差d?0，且|a3|?|a7| ，设数列前n项和为Sn，问: n为何值时Sn最大？

2．若数列{an}满足an?2时n的取值. 3．已知an?B组

1．等差数列?an?的前n项之和为Sn.已知：当且仅当n?5时，Sn有最小值. (1)当n取怎样的值时，分别有Sn?0,Sn?0,Sn?0? (2)an是否可能等于零？试说明理由；

(3)若a7?a8?72,问数列?an?中有多少项满足?9?an?260? 2．等比数列?an?的首项a1?1536，公比q??最大项

是第几项? Tn的最大项是第几项?

3．已知数列{an}满足a1?1,(an?1?an)(an?1?an?1)?0，试求a10的最大值与最小值.

17?2nSn2n（n∈N*），用Tn表示它的前n项之积，试求Tn取得最大值

n （n∈N*）求数列{an}的最大值.

n2?1561，用Tn表示它的前n项之积，则|Tn|的2n2?16４. 设数列{an}的通项公式是an=，数列{bn}的通项公式为bn=-n+2a，问

n（1）当a在什么范围时bn

（2）当a在什么范围时bn

课后反思：

教学设计说明

一、教材分析：

本节课的教学内容是《数列中的最值问题》，是在前面已经复习了函数和等差数列、等比数列的基础上进行的一次专题复习。由于数列是一种特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集，数列的通项公式、求和公式都是关于n的函数关系式，那么研究数列中的最值问题就可以利用研究函数的最值的方法。本节课主要探讨的就是如何利用研究函数的最值的方法解决数列中的最值问题。在进行知识与技能、过程与方法教育的同时，也注重数学思维品质的培养。 二、学生情况分析：

学生已经掌握了求函数的最值的各种方法，特别是结合函数的图像、利用函数的单调性求解最值问题更是函数中常用方法，学生对本节课所需要的知识点以及探究方法都具有了一定的储备，完全有基础探讨本节课要研究的问题。 三、教学设计思想：

为了有效地实现本节课的教学目标，我有意识地提出了一些引发学生思考，推进整节课教学的问题，并留有足够的时间给学生思考、推导．通过小组交流、师生对话等环节来促进本节课教学目标的达成．

教学的开始给出了实例（问题1），说明数列的最值问题不仅在高中的教学中占有很重要的位置，而且在实际生活中的也有着非常广泛的应用．但是学生对问题的解决比较困难，这时，我们就带着问题回归教材，从学生熟悉的等差数列（问题2）入手，探究解决数列最值问题的方法．

在问题2中，学生能根据已知条件很快判断所给数列是递减数列，既可以从通项考虑，也可以从前n项和的表达式出发，结合二次函数的图像等得到解答．并通过对几种不同方法的比较，引导学生用函数的观点理解数列的有关问题．数列的通项公式、求和公式都是函数关系式，研究函数的最值的方法就可以迁移到数列中来，不仅等差数列的最值问题可以利用函数的性质来解决，利用初等函数的图像、单调性也可以解决一些其它数列的最值问题．问题3的解决就是要利用函数的单调性、结合函数的图像解决数列中的最值问题，领悟了数形结合的数学思想．但是由于有些数列的最值问题不能转化为利用初等函数的单调性来解决，这样选用了问题1，利用数列的单调性得到解答。拓展研究题需要先将恒成立问题

化归为数列的最值问题，再利用函数的单调性解决，这样可以拓展学生的思维，提高学生分析问题的能力。通过合作交流，师生对话，体会数列与函数的联系，学会用研究函数最值的一些方法来研究数列中的最值问题。整节课的教学给学生足够的思考空间，让他们充分自主地发展。

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