江西省临川一中2012届高三数学4月模拟考试 理 新人教A版【会员独享】

用心 爱心 专心

1 江西临川一中2012届高三4月模拟考试试卷

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设A 、B 为非空集合,定义集合A*B 为如图非阴影部分表示的集合，

若

{|A x y =={|3,0},x

B y y x ==>则A*B= （ ） A ．（0，2）

B ．[0,1]∪[2，+∞）

C ．（1,2]

D ．[0,1]∪（2，+∞） 2.设复数121,2z i z bi =+=+，若21z z 为纯虚数，则实数b =（ ）

A ．2 B. 1 C ． 1- D ． 2-

3、下列有关命题的说法正确的是（ ）

A ．命题“若x 2 =1，则x=1”的否命题为：“若x 2 =1，则x ≠1”

B ．命题“若x=y ，则sinx=siny ”的逆否命题为真命题

C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2+x+1<0”的否定是：“对任意

x ∈R ，均有x 2+x+1<0 ”

D ．“x=―1”是“x 2―5x ―6=0”的必要不充分条件

4、从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，

其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.87 B. 85 C. 65 D. 43

5．阅读右面程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤与

(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ ）

A ．14

B ．23

C ． 13

D ．3

4 6．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数

a ，

b 满足23a =，32b =，则n 等于（ ）

A ．1

B ．-2

C ． -1

D ．2

7．设函数()s i n (f x x x x R =∈在0x x =处取得极值，则

200(1)(1cos 2)x x ++的值为 （ ）

A ． 2

B ．1

2 C ．1

4 D ．4

8.设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ²OB =6， △OAB 的重心是G ，则|OG

|

用心 爱心 专心 2

的最小值是( )

A.1 B ．2 C ．3 D ．4

9.设点P 是椭圆)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为

21F PF ?的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ???=+，则该椭圆的离心率是 （ ）

(A) 2

1 (B)

2

2 (C)

2

3 (D)

4

1

10．已知函数??

?>+-≤-=)

0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺

序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )

A ．1210-

B ．129-

C ．45

D ．55 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写答题卡中的横线上 11．公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．

12．已知曲线1ln )(++=bx x a x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为-2，且3

2=x 是)

(x f y =的极值点，则a-b= .

13．已知n

n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，且

126210=++++n a a a a ，那么n

x

x )13(-

的展开式中的常数项为 .

14．如图，已知F 1、F 2是椭圆222

2

:

1x y C a

b

+

=（0a b >>）的左、右焦点，

点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分

15．(A)若不等式|x+1|-|x ―4|≥a+4

a

，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是

(B)已知直线l ∶???x=a+2t y=―1―t

（t 为参数），圆C ∶ρ=2 2 cos(θ―π

4)（极轴与x 轴的非

负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得弦长为2，则a=

四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

用心 爱心 专心 3 16．（本小题满分12分）△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ?=-+ ．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求2

4sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．

17. （本小题满分12分）第七届城市运动会2011年10月16日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运动会组委会在某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”， 身高在175cm 以下（不包括175cm ）

定义为“ 非高个子 ”，且只有“女高个子”才担

任“礼仪小姐”。（I ）如果用分层抽样的方法从“高

个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人

中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是

多少？（II ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，

用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望。

18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（Ⅰ）证明：BN ⊥平面11NB C ；

（Ⅱ）求平面1CNB 与平面11NB C 所成角的余弦值；

19．（本小题满分

12分）已知等差数列{}n a （∈n N+）中,n n a a >+1,23292=a a ,37

74=+a a

.

C 1B 1

A 俯视图左视图

用心 爱心 专心

4

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若将数列{}n a 的项重新组合，得到新数列{}n b ，

具体方法如下: 11a b =，3

22

a a

b +=，

7

6543a a a a b +++=，

15

10984a a a a b ++++= ，…,依此类推，

第n 项n

b 由相应的

{}n a 中12-n 项的和组成，求数列

}

241{n

n b ?-

的前n 项和

n

T .

20．（本小题满分13分） 已知双曲线W ：

222

2

`1(0,0)

x y a b a

b

-

=>>的左、右焦点分别为1F 、

2

F ，点(0,)N b ，右顶点是M ，且21MN MF ?=-

，2120N M F ∠=?

．

（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点(0,2)Q -的直线l 交双曲线W 的右支于A 、B 两个不同的点（B 在A 、Q 之间），若点(7,0)H 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求△AQH 与△BQH 面积之比λ的取值范围．

21．（本小题满分14分） 设函数()1e x f x -=-，函数()1

x g x ax =

+（其中a ∈R ，e 是自然

对数的底数）．

（Ⅰ）当0a =时，求函数()()()h x f x g x '=?的极值；

（Ⅱ）若()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设n ∈*

N ，求证：1

4

(1)

21

2

e

!e

n

k n n n k n =--

+∑≤≤（其中e 是自然对数的底数）．

江西临川一中2012届高三4月模拟考试试卷

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）

用心 爱心 专心 5

11．16 12．10 13． 540- 14

3

三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分 ）

15．(A)a ≤-4或-1≤a<0 (B)a=5± 5 四、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．解 （Ⅰ）由已知2222cos 2bc A a b c bc =---， ²²²²²²²²²²²²²² 2分

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2

A =-， ²²²² 4分

∵0A π<<，∴23

A π=． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分

（Ⅱ）∵23

A π=

，∴3B C

π

=

-，03

C π

<<

.

2

41cos sin()sin(

)2

3

2

3C C

B B ππ

+--=+

-2sin()

3

C π

=

+

． ²² 8分

∵03C π

<<，∴

23

3

3

C π

π

π<+

<，

∴当3

2

C π

π

+=

，2

4sin(

)2

3

C B π--

2

+，解得6

B C π

==

． 12

分

17.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，……1分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是6

130

5=， ……2分

所以选中的“高个子”有26

112=?

人，“非高个子”有36

118=?

人．3分

用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示 “没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-

12

5

23C C 10

710

31=

-

=．…5分

因此，至少有一人是“高个子”的概率是10

7． 6分

（２）依题意，X 的取值为0,1,2,． 7分 55

14C

C )0(3

12

3

8=

=

=ξP ，

55

28C C C )1(3

12

2

814=

=

=ξP 55

12C C C )2(3

12

1

824=

=

=ξP ， 55

1C C )3(3

12

3

4=

=

=ξP ． …9分

因此，ξ的分布列如下：

用心 爱心 专心 6

y

……10分

1551

35512

25528

15514

0=?+?+?+?=ξ∴E ． ……12分

18．解：（Ⅰ）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴1,,BA BC BB 两两垂直.

以1,,BA BB BC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图．--------------2分

则()()()()()110,0,0,4,4,0,0,8,0,0,8,4,0,0,4B N B C C ．

∴()()14,4,04,4,016160BN NB =-=-+=

， ()()114,4,00,0,40BN B C ==

．------------4∴1NB NB ⊥,11BN B C ⊥. 又1NB 与11B C 相交于1B ，

∴BN ⊥平面11NB C . -------------------6分

（Ⅱ）∵BN ⊥平面11NB C ,

∴BN 是平面11C B N 的一个法向量()14,4,0n =

, ------------8分

设()2,,n x y z =

为平面1N C B 的一个法向量,

则()()()()221,,4,4,40

00

,,4,4,000x y z n C N x y z x y x y z n N B ??-=??=+-=????????-=?-=?=?????

, 所以可取()21,1,2n =

． ------------10分

则121212cos ,3||||n n n n n n ?<>====?

．

∴所求二面角C －NB 1－C 13

------------12分 19．解：（Ⅰ）由23292=a a 与379274=+=+a a a a

解得:???==29892a a 或???==82992a a （由于n n a a >+1，舍去）

设公差为d ，则???=+==+=29881912d a a d a a ,解得???==35

1

d a

用心 爱心 专心 7

所以数列{}n a 的通项公式为)(23+∈+=N n n a n ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意得:

1222212211111-+++-----++++=n n n n n a a a a b n

)]12

3(2

3[)82

3()52

3()22

3(1

1

1

1

1

-?+?+++?++?++?=-----n n n n n

)]12

3()42

3(852[232

1

1

1

1

-?+-?+++++??=----n n n n …………………………6分

而)123()423(85211-?+-?++++--n n 是首项为2,公差为3的等差数列的前12-n 项的和,所以)123()423(85211-?+-?++++--n n

n n n n n 24

12

332

)

12

(2

22

3

21

1

1

?+

?=?-+

?=----

所以n n n n n n

b 24

128

924

1232323222?+?=?+?+?=--………………………………10分

所以n n n

b 228

924

1?=?-

所以)14(2

34

1)41(48

9)264164(8

92-=--?=++++=n n

n n

T ……………………12分

20．解（Ⅰ）由已知(,0)M a ，(0,)N b ， 2(,0)F c ，22(,)(,0)1M N M F a b c a a ac ?=-?-=-=-

，

∵2120NMF ∠= ，则160NMF ∠=

，∴b =

，∴2c a ==， 解得1a =

，b =2

2

`1

3

y

x -

=． ²²²²²²²²² 4分

（Ⅱ）直线l 的斜率存在且不为0，设直线l :2y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，

由222,

`13y kx y x =-??

?-=??

得22(3)470k x kx -+-=，则222

12212230,

1628(3)0,40,

370,

3k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???+=>-?

??=>-?

k << ① ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分 ∵点(7,0)H 在以线段AB 为直径的圆的外部，则0H A H B ?>

，

11221212(7,)(7,)(7)(7)HA HB x y x y x x y y ?=-?-=-?-+

2

1212(1)(72)()53

k x x k x x =+-+++

2

2

2

74(1)(72)533

3

k k k k k =+?

-+?

+--222

2

7782853159

03

k k k k k +--+-=

>-，解得2k >． ②

由①、②得实数k

的范围是2k << ²²²²²²²²²²²²²²²² 8分 由已知||||

AQ H BQ H

S AQ S BQ λ??=

=，∵B 在A 、Q

之间，则QA QB

λ=

，且1λ>，

用心 爱心 专心 8

∴1122(,2)(,2)x y x y λ+=+，则12x x λ=，∴22222

4(1),3

7,3k x k x k λλ?

+=??-?

?=?-?

则

2

2

2

2

(1)

16163(1)

7

3

7

3k

k k λλ

+=

?

=

+

--， ²²²²²²²²²²²²²²² 10分

∵2k <<，∴2

(1)

6447

λλ

+<

<

，解得17

7λ<<，又1λ>，∴17λ<<．

故λ的取值范围是(1,7)． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 13分 21．解 （Ⅰ）()()x x f x e x e --''=-?-=，函数()()()x h x f x g x xe -'=?=，()(1)x h x x e -'=-?，

当1x <时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，故该函数在(,1)-∞上单调递增，在(1,)

+∞上单调递减．∴函数()h x 在1x =处取得极大值1(1)h e

=． ²²²²²²²²² 4分

（Ⅱ）由题11

x x e ax --≤

+在[0,)+∞上恒成立，∵0x ≥，1[0,1)x e --∈，∴

01

x ax ≥+，

若0x =，则a ∈R ，若0x >，则1a x

>-恒成立，则0a ≥．

不等式11

x x e ax --≤

+恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，

6分

令()(1)(1)x u x ax e x -=+--，则()(1)(1)1x x u x a e ax e --'=-++-，

又令()(1)(1)1x x x a e ax e ν--=-++-，则()(21)x x e a ax ν-'=--，∵0x ≥，0a ≥． ①当0a =时，()0x x e ν-'=-<，则()x ν在[0,)+∞上单调递减，∴()()(0)0x u x νν'=≤=， ∴()u x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)0u x u ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立； 7分 ②当0a >时，21()()

x a x a e x a

ν--'=-?-．

ⅰ）若210a -≤，即102a <≤

时，()0x ν'≤，则()x ν在[0,)+∞上单调递减，

∴()()(0)0x u x νν'=≤=，∴()u x 在[0,)+∞上单调递减，∴()(0)0u x u ≤=，此时()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立； ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 8分

ⅱ）若210a ->，即12

a >

时，若210a x a

-<<

时，()0x ν'>，则()x ν在21(0,

)

a a

-上单

调递增，∴()()(0)0x u x νν'=>=，∴()u x 在21(0,

)

a a

-上也单调递增，

∴()(0)0u x u >=，即()()f x g x >，不满足条件． ²²²²²²²²²²²² 9分 综上，不等式()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1

[0,]2． 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当12

a =

时，则211212x x

x x e e

x

x ----≤

?≥

++，

当[0,2)x ∈时，22x x e x

--≥+2ln

2x x x

+?≤-，令

22x n

x

+=-，则22421

1

n x n n -=

=-

++，

∴*

4ln 2()1

n n n ≥-

∈+N ，∴1

1

4ln 21

n

n

k k k n k ==≥-

+∑∑

，∴1

4ln(!)21

n

k n n k =≥-+∑

， 12分

又由（Ⅰ）得()(1)h x h ≤，即1x xe e

-≤

，当x ＞0时，1ln()ln

1

x xe e

-≤=-，∴ln 1x x ≤-，

(1)

ln(!)ln 2ln 3ln 12(1)2

n n n n n -=+++≤+++-=

，

用心 爱心 专心 9 综上得2142ln(!)12

n

k n n n n k =--≤≤+∑，即14(1)212e !e n

k n n n k n =--

+∑≤≤． ²²²²²² 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mie1.html