河南五市2011届高三第二次联考数学（理）试题及答案

2011年河南省五市高三第二次联考

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非 选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的． 1．若集合M＝{y｜y＝x－2}，P＝{y｜y＝x－1}，那么M∩P＝

A．（1，＋∞） B．[1，＋∞） C．（0，＋∞） D． [0，＋∞） 2．已知复数Z＝

a＋i1－i（a为实数），若Z为纯虚数，则a是

A．－1 B．1 C．－2 D．2 3．下列判断错误的是

A．命题“若q则p”与命题“若非p则非q”互为逆否命题

22

B．“am

C．对于命题p：?x∈R，使得x＋x＋1<0，则?p为?x∈R，均有x＋x＋1≥0 D．命题“??{1，2}或4?{1，2}”为真命题

4．点P是函数f（x）＝cosωx（ω>0）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称

轴的距离最小值是π，则函数f（x）的最小正周期是

A．π B．2π C．3π D．4π 5．给出15个数：1，2，4，7，11，?，要计算这15个数的和，现给出解决该

问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A．i≤15?；p＝p＋i－1 B．i≤16?；p＝p＋i＋1

C．i≤16?；p＝p＋i D．i≤15?；p＝p＋i

22

??6．已知平面向量a＝（sinθ，1），b＝（－??若a⊥b，则θ可以为

3，cosθ），

A．θ＝C．θ＝

?6 B．θ＝ D．θ＝

5?62?3

?37．圆柱的底面直径与高都等于某个球的直径，则该球的表

面积与圆柱全面积的比是 A．

13 B．

23 C．

25 D．

2235

2

8．斜率为k的直线l过点P（2，0）且与圆C：x＋y＝1存在公共点，则k≤

为 A．

2349的概率

B．

12 C．22 D．33

9．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含“qu”（“qu”相连且顺序不变）

的不同排列方法有

A．120种 B． 240种 C．288种 D．480种 10．(x＋2x2)展开式中仅有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是

nA．360 B．180 C．90 D．45 11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数， 则

A．f（33）

xa22－yb22＝1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段

F1F2的比为5 ：1，则双曲线离心率的取值范围是 A．（1，

32] B．（1，

32） C．（2,

52] D．（

32，2]

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．

13．一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位：cm），该几何体的体积为

3

__________cm

14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝20，S3＝36，

则

1S1－1＋

1S2－1＋

1S3－1＋?＋

1S15－1＝______.

?2x－y－6≥0?15．已知x，y满足不等式组?x＋y＋3≥0，则

?5x＋2y－6≤0?2x－y＋4x＋2的最大值为_____________.

216．若双曲线

x3－16yp22＝1的渐近线与抛物线y＝2px（p>0）的准线相交于A,B两点，且

2

△OAB（O为原点）为等边三角形，则p的值为___________

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a＋c）cosB

＋bcosC＝0．

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）已知函数f（x）＝2cos（2x－B），将f（x）的图象向左平移

的图象，求g（x）的单调增区间．

18．（本小题满分12分）某班主任为了解所

带班学生的数学学习情况，从全班学生 中随机抽取了20名学生，对他们的数 学成绩进行统计，统计结果如图． （Ⅰ）求x的值和数学成绩在110分以

上的人数；

（Ⅱ）从数学成绩在110分以上的学生

中任意抽取3人，成绩在130分 以上的人数为ξ，求ξ的期望．

19．（本小题满分12分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面

CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝2．

（Ⅰ）求证：DE⊥AC；

（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值； （Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平

面ADE，若存在，求点M的位置，不 存在请说明理由．

?12后得到函数g（x）

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：

xa22＋yb22＝1（a>b>0）的离心率为

63，其左、右焦

点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且｜OP｜＝O为坐标原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

102?????????1PF，PF1·2＝（点

2????????? （Ⅱ）直线y＝x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使OM＋ON＝

????λOA，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

2l．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝e－x （e为自然对数的底数）． （Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）不等式f（x）>ax的解集为P，若M＝{x｜

取值范围；

（Ⅲ）已知n∈N﹡，且Sn＝?[f?x?＋x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{bn}，

tnx12≤x≤2}且M∩P≠?，求实数a的

使得b1＋b2＋?bn＝Sn?若存在，请求出数列{bn}的通项公式；若不存在，请说 明理由．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1《几何证明选讲》．已知A、B、C、D为圆O上的四点，

直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点 （Ⅰ）求证：BD平分∠ABC

（Ⅱ）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．

23．（本小题满分10分）选修4－5《不等式选讲》．已知a＋b＝1，对?a，b∈（0，＋∞），

使

1a＋

4b ≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，求x的取值范围.

★2011年5月6日

2011年河南省五市高中毕业班第二次联考

理科数学参考答案及评分标准

一．选择题:

1—5 CBBDD 6—10 ABADB 11—12 CA 二．填空题： (13)

72 (14)

1531 (15)

103 (16)4

三．解答题： （17）（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由正弦定理得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC?0， 即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0

得2sinAcosB?sin(B?C)?0 ???3分

因为A?B?C?π，所以sin(B?C)?sinA，得2sinAcosB?sinA?0，因为

sinA?0，

所以cosB??（

Ⅱ

）

12，又B为三角形的内角，所以B?2?32π33) ???6分

由

题

意

得

：

?B=

]

?f(x)?2cos(2x?2??g(x)?2cos[2(x+s2x?=2co（?12)?2?3?2）=2sin2x ???9分

由2k?-?2?2x?2k???2(k?N) 得k?-*?4?x?k??*?4(k?N)

* 故f(x)的单调增区间为：[k?-

(18)（本小题满分12分）

?4,k???4] (k?N). ???12分

解：（Ⅰ）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]/20=0.0175 ???2分

数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人 . ???.4分

（Ⅱ）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人

??的取值为：0，1,2 ???.5分

P（?=0）?C533C7?27, P（?=1）?C5C2C7321?47, P（?=2）?C5C2C7312?17 ???10

分

?的分布列为： i P（?=i） 0 271 472 17 27 47

?2?17?67??的期望为：E??0??1?. ???12

分

（19）解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则E(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0)

Ez 2 C 做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF?CF? 又?平面BDA?平面BDC ?CF?平面BDA ，所以C的坐标为C(1,1,2)

???????? ?DE?(0,-2，2)，AC?(1,1，2)

ADy F B???????? ?DE?AC?(0,-2，2)?(1,1,2)?0

x 故DE⊥AC ???4分 （Ⅱ）设平面BCE的法向量为n?(x,y，z) 则

?????????z?2x?n?EB?0?2x?2z?0? ????? 即? ??y??x?????n?CB?0?x?y?2z?0?????令x=1得n?(1,-1，2) 又DE?(0,-2，2) ???6

?分

设平面DE与平面BCE所成角为?，则

?????n?DE????? sin??cos?n,DE????????nDE63. ???8分

?????????(III)假设存在点M使得CM∥面ADE，则EM??EB

????EB?(2,0，??????2),?EM?(2?,0，?2?) 得M(2?,0，2?2?) ???10分

又因为AE?平面ABD，AB?AD 所以AB?平面ADE

??????????????????因为CM∥面ADE，则CM?AB 即CM?AB?0

得2??1=0??=12

故 点M为BE的中点时CM∥面ADE. ???12分

(20)解：（Ⅰ）设P(x0,y0),F1(?c,0),F2(c,0),则由OP??????????1由PF1?PF2?21022得x0?y0?22252，

得(?c?x0,?y0)?(c?x0,?y0)?12，即x02?y0?c?12 ???2

分 所以c分

椭圆C的方程为：分

?y?x?33??（Ⅱ）解法一:由?x2得， A?,?2??2??y?1?2??3?y?kx?m?y?kx?m,联立方程组?x2 2?y?1??3?2，又因为ca?63，所以a?3,b?1 ???3

22x23?y2?1； ???.4

设直线MN的方程为

消去y得：(1?3k2)x2?6kmx?3m2?3?0 ???5分

设M?x1,y1?,N?x2,y2?, 则x1?分

?y1?y2?k(x1?x2)?2m?2m1?3k2x2??6km1?3k2,x1x2?3m?31?3k22 ???6

3?????????????∵OM?ON??OA，∴x1?x2?2?，y1?y2?32?

得kMN??13,m?33?,于是x1?x2?3m2,x1x2?9m2?94 ???8分

104?3m22?|MN|?1?(?13)|x1?x2|?2103(x1?x2)?4x1x2?2,

???9分

又???0,O(0,0)到直线MN的距离为d?310m10 ∴S?OMN?12|MN|?d?104?3m42?310m10?3?(4?3m)3m43222?32，

当m?63,即??2时等号成立，S?OMN的最大值为

???12分

?y?x?33??解法二:由?x2得， A?,?2??2??y?1?2??3???设M?x1,y1?,N?x2,y2?则????x1223x232?y1?1

?y2?12∴?x1?x2??3?y1?y2?y2?y1x2?x1?0????① ???5分

?????????????∵OM?ON??OA32，

?y2?32∴x1?x2??，y1?代入①得kMN1334??13， ???6分

设直线MN的方程为y代入?34???(x??)，即x=-3y+3?， ???7分

椭圆方程得 4y232?23?y??2?1?0,

?y1?y2??,y1.y2??2?14，

?|MN|?10|y1?y2|?104??22, ???.9分

又?O(0,0)到直线MN的距离为h?3?10

∴S?OMN?12|MN|?h?3?4??42?32， ???11分

当??2时等号成立，S?OMN的最大值为

32 ???12分

(21)（本题满分12分）

x 解：（Ⅰ）f?(x)?e?1 ????1分

由f?(x)?0,得x?0当x?0时f?(x)?0.当x<0时,f?(x)?0

?f(x)在(0,??)上增,在(??,0)上减

?f(x)min?f(0)?1 ????4分

12 （Ⅱ）?M?P??，?f(x)?ax在区间[,2]有解 由f(x)?ax,得e?x?ax即a?

令g(x)?1exx

exx?1在[12,2]上有解 ????6分

xx?1,x?[12,2]?g?(x)?e2(x?1)ex2，?g(x)在[,1]上减，在[1，2]上增

211又g()?2e?1,g(2)?2?a?e22?1，且g(2)?g()?g(x)max?g(2)??1

22e22?1 ????8分

(III)设存在等比数列{bn}，使b1?b2??bn?Sn

∵Sn?? n t[f(x)?x]dx?e?e ?b1?e?e ????10分

nttn?1 n?2时bn?Sn?Sn?1?(e?1)e

当t=0时， bn?(e?1)e当t?0时，

b2b1?b3b2n?1，数列{bn}为等比数列

，则数列{bn}不是等比数列

n?1 ?当t=0时，存在满足条件的数列bn?(e?1)e满足题意 ????12分

1. （本小题满分10分）选修4—1《几何证明选讲》 解：（Ⅰ）?AC?DE ??CDE??DCA

又??DBA??DCA ??CDE??DBA ?直线DE为圆0的切线 ??CDE??DBC

故 ?DBA??DBC. ????5分

(Ⅱ)??CAB??CDB 且?DBA??DBC

??ABH??DBC ?

AHCD?ABBD

又?EDC??DAC??DCA ?AD?DC ????8分

?AHAD?ABBD ?AB?4，AD?6，BD?8

故 AH?3. ????10分 (23)（本小题满分10分）选修4—5《不等式选讲》 解：?a?0,b?0 且a?b?1

?

1a1a?4b4b?(a?b)(1a?4b)?5?ba?4ab?9

故

?的最小值为9 ????5分

对?a,b?R+，使

1a?4b?2x?1-x?1恒成立

所以，2x?1-x?1?9 ????7分 当x??1时，2?x?9 ??7?x??1 当?1?x?当x?112时，?3x?9 ??1?x?12?x?11

12

2 ?-7?x?11 ????10分

时，x-2?9 ?

BOAHCDE

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