概率论与数理统计科学出版社出版骆先南主编ch4-01

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概率论与数理统计课后题答案及详解推荐度：
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第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.上一页下一页 1

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例如：评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；

检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，

平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;上一页下一页 2

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考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写上一页下一页 3

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引例：某大学新聘一位教授给位研究生上课， 15 期末考试成绩如下： 72 81 90 85 90 63 80 73 83 30 78 82 76, 75, 90

成绩上报后，教学院长认为：试题太易，因为得 90分的就有3人；系主任认为：考题偏难，因为平均成绩才76.5分；教授认为：考题适宜，因为从总体看80分是有代表性的，多于分和少于80分的 80 人数相等，谁的话有道理？上一页下一页 4

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因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .

在这些数字特征中，最常用的是期望和方差下面，我们先介绍随机变量的数学期望.

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第一节数学期望一、数学期望的定义问题：某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题.上一页下一页 6

1、离散型随机变量的数学期望

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例某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？若统计100天, 可以得到这100天中每天的平均废品数为32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;

32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100这个数能否作为 X的平均值呢？上一页下一页

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可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与

前面的100天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27.一般来说,若统计n天,(假定小张每天至多出三件废品)n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.

可以得到n天中每天的平均废品数为 n0 n1 n2 n3 0 1 2 3 n n n n上一页下一页 8

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n0 n1 n2 n3 0 1 2 3 这是 n n n n 以频率为权的加权平均由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替这是以概率为权的加权平均频率，得平均值为 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .

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对于一个随机变量，若它可能取的值是 x1,x2, …, 相应的概率为 p1,p2, …,则对X作一系列观察(试验),所得X的试验值的平均值也是随机的. 但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于pk,于是可期望试验值的平均值接近

xk 1

由此引入离散型r.v.X的数学期望的定义如下:上一页下一页 10

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定义1 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望k 1

E ( X ) xk pkk 1

也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.上一页下一页 11

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2、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是

xi 1

f ( x )dx

阴影面积近似为

f ( xi ) xi

f ( xi )( xi 1 xi ) f ( xi ) xi小区间[xi, xi+1)上一页下一页 12

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由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.因此X与以概率 f ( xi ) xi 取值xi的离散型r.v 阴影面积近似, 该离散型r.v 的数近似为学期望是 f ( x ) x

x f ( x ) xi i i

这正是

x f ( x )dx小区间[Xi, Xi+1)上一页下一页 13

的渐近和式.

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由此启发我们引进如下定义. 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果 | x | f ( x)dx定义2

收敛,定义X的数学期望为

E ( X ) x f ( x )dx

也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.上一页下一页 14

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例1

已知X ~ B(n, p), 求 EXk EX kC n p k (1 p) n k n k 0 n

解

n! k p k (1 p)n k k! ( n k )! k 1( n 1)! k 1 ( n 1 ) ( k 1 ) np p (1 p) k 1 ( k 1)! ( n k )!nk np C n 1 p k (1 p)( n 1) k k 0 n 1

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例2 已知X ~ P( ), ( 0), 求 EX 解 EX k e e k!

k 0 k 1 ( k 1)! k

k 1

例3 解

已知 X ~ U (a, b) ,求 EX

xf ( x )dx

x a b dx b a 2

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例4 已知 X 服从参数为的指数分布求EX , 解 e x , f ( x) 0 ,

x 0 x 0 x

xf ( x )dx xe0

dx xd (e x )0

x 0

x 1 dx lim ( x ) x e

1 1 lim ( x ) x e

d ( x )

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例5

对服从正态分布 N , 的随机变量2

X ,求其数学期望。

解已知 X 的概率密度为

f x

1 e 2

x 2 2

, x , , x 2 2 2

则所求数学期望为

E X

x f x dx

x e 2 上一页

dx,18

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作变换 t

,得到

E X e dt 2 2 2 0 2 t2 22

t2 2

即正态分布 N , 的第一个参数就是随机变量 X 的均值。上一页下一页 19

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例6 若随机变量X服从柯西分布即其概率 , 1 1 密度为 f ( x ) , x 2 1 x 说明随机变量的数学期望不存在 X 解因为

x x f ( x )dx 1 x 2 dx 1

即 xf ( x )dx 不绝对收敛故 X 的数学期望不存在上一页下一页 20

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常见随机变量的数学期望

分布参数为p 的 0-1分布 B(n,p)

概率分布P ( X 1) p P ( X 0) 1 pk P ( X k ) C n p k (1 p) n k

期望 p

k 0,1,2, , n

P( )

P( X k )

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mhx1.html

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