2018年北京各区初三二模数学分类汇编 - 平移旋转对称

2018年北京各区初三二模数学分类汇编——平移旋转对称

1.（西城）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时

针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）； ②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.

图1 备用图

解：（1）当0°

①画出的图形如图9所示．…………… 1分

∵ △ABC为等边三角形，

∴ ∠ABC=60°．

∵ CD为等边三角形的中线，

Q为线段CD上的点，

由等边三角形的对称性得QA=QB． ∵ ∠DAQ=α，

∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．

∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴ QE = QA．

∴ QB=QE．

＜α＜30°时，

图9

可得 ?BQE?180??2?QBE?180??2(60???)?60??2?．……… 2分 ②CE?AC?3CQ．……………………………………………………… 3分

证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．

∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上， ∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE

=(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．

∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α， ∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC．

1

又∵ AF =CE，QA=QE， ∴ △QAF≌△QEC． ∴ QF=QC．

∵ QH⊥AC于点H， ∴ FH=CH，CF=2CH．

∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线， 点Q在CD上，

1∴ ∠ACQ=2?ACB=30°，

图10

即△QCF为底角为30°的等腰三角形．

∴

CH?CQ?cos?HCQ?CQ?cos30??32CQ．

∴ CE?AC?AF?AC?CF?2CH?3CQ．

即CE?AC?3CQ． ………………………………………… 6分

思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得

△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一

同理可得CE?AC?BG?BC?CG?3CQ．

（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC?CE?3CQ．………………………… 7分 2.（东城） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、 y轴上，

?APO?30? .

先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC. 若点A的坐标为??1,0? ，则线段BC的长为 . 22 3.（东城）如图所示，点P位于等边△ABC的内部，且∠ACP=∠CBP．

2

图

(1) ∠BPC的度数为________°；

(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．

①依题意，补全图形； ②证明：AD+CD=BD；

(3) 在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分

(2)①∵如图1所示.

②在等边△ABC中，?ACB?60?， ∴?ACP??BCP?60?. ∵?ACP=?CBP，

∴?CBP??BCP?60?.

∴?BPC?180????CBP??BCP??120?. ∴?CPD?180???BPC?60?. ∵PD=PC，

∴△CDP为等边三角形.

∵?ACD??ACP??ACP??BCP?60?， ∴?ACD??BCP. 在△ACD和△BCP中，

?AC?BC，???ACD??BCP， ?CD?CP，?∴△ACD≌△BCP?SAS?.

∴AD?BP.

∴AD?CD?BP?PD?BD.-----------------------------------------------------------------4分 （3）如图2，作BM⊥AD于点M，BN⊥DC延长线于点N. ∵?ADB=?ADC??PDC?60?， ∴?ADB=?CDB?60?. ∴?ADB=?CDB?60?.

∴BM=BN?3BD?3. 23

又由（2）得，AD?CD?BD=2，

?S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD?113ADBM?CDBN??AD?CD? 222?3?2?3.2----------------------------------------------------------7分

4.（海淀）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以O为位似中心的位似图形，满足OA1=A1A，E，F，

E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，则

AE1F11= ． EF2

OA1E1D1EDCFBB1F1C15.（海淀）如图，在等边△ABC中， D,E分别是边AC,BC上的点，且CD?CE ,?DBC?30? ，点C与点F关于BD对称，连接

AAF,FE，FE交BD于G.

（1）连接DE,DF，则DED,F之间的数量关系是 ；

F（2）若?DBC??，求?FEC的大小; （用?的式子表示） （2）用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系，并证明.

GDBEC（1）DE?DF； （2）解：连接DE，DF， ∵△ABC是等边三角形， ∴?C?60?. ∵?DBC??， ∴?BDC?120???.

∵点C与点F关于BD对称，

∴?BDF??BDC?120???，DF?DC.

BGDFA4

EC∴?FDC?120??2?. 由（1）知DE?DF.

∴F，E，C在以D为圆心，DC为半径的圆上. ∴?FEC?1?FDC?60???. 2（3）BG?GF?FA.理由如下： 连接BF，延长AF，BD交于点H， ∵△ABC是等边三角形，

∴?ABC??BAC?60?，AB?BC?CA. ∵点C与点F关于BD对称， ∴BF?BC，?FBD??CBD. ∴BF?BA. ∴?BAF??BFA. 设?CBD??， 则?ABF?60??2?. ∴?BAF?60???. ∴?FAD??.

∴?FAD??DBC. 由（2）知?FEC?60???. ∴?BGE??FEC??DBC?60?. ∴?FGB?120?，?FGD?60?.

四边形AFGB中，?AFE?360???FAB??ABG??FGB?120?. ∴?HFG?60?.

∴△FGH是等边三角形. ∴FH?FG，?H?60?. ∵CD?CE， ∴DA?EB.

在△AHD与△BGE中，

BGDHFAEC5

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