2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案

第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教学设计、教案

2010年第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评选活动交流材料

人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第二册

椭圆及其标准方程教学设计

云南省玉溪市第一中学 姚艳萍

第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教学设计、教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标

1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．

3．情感目标

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.

二、重点、难点

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．

难点：椭圆标准方程的推导与化简．

三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

四．教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳．

五、教学过程

（一）创设情境，认识椭圆．

材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，

让学生从感性上认识椭圆.

材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．

2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功 , 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实 ，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问： “嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）

引入课题：椭圆及其标准方程．

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（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）

（二）动手实验，亲身体会．

1．教师演示，引出研究思路．

教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．

思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．）

2．学生分组试验．

(1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点F1、F2；

(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？ （教师巡视指导，展示学生成果）

3.分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？

学生总结规律：|MF1|+|MF2|>|F1F2| 轨迹为椭圆；

|1FF| |MF轨迹为线段 ； 1|+|MF2=|2

|MF1|+|MF2|<|F1F2|轨迹不存在．

（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）

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(三)总结归纳，形成概念. 定义：平面内，到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的 点的轨迹叫做椭圆. (在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步 加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关 键词与相应的特征.) 问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？ MF1 MF2 2a(2a 2c) . (设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程 参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.) (四)合理建系，推导方程. 1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简； (5)证明(可省略) (由学生回答，不正确的教师给予纠正. ) 2.如何选取坐标系？ 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把 F1、F2 建在 x 轴上，以 F1F2 的中点为原点； 方案二：把 F1、F2 建在 x 轴上，以 F1 为原点； 方案三：把 F1、F2 建在 x 轴上，以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点； 方案四：把 F1、F2 建在 y 轴上，以 F1F2 的中点为原点； 教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征(对称性) ,如何建系能使方程更简 洁？学生讨论，经过比较确定方案一. (设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通 过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法. ) 3.推导标准方程.

选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过 F1 、 F2 的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分或线为 y 轴，建 立平面直角坐标系.设 F1 F2 2c(c 0) ,点 M ( x, y) 为椭圆上任意一点， 则 P M MF1 MF2 2a (称此式为几何条件) , ∴ 得

x c 2 y 2

x c 2 y 2

2a (实现集合条件代数化) ,

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（想一想：下面怎样化简？）

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方

好呢？化简，得 (a2 c2)x2 a2y2 a2(a2 c2)．

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图1

图3

(4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的 建系方式得到的方程不够简洁. (设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导.再 展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义， 对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标 准方程，避免重复的繁杂计算. ) 4.归纳概括，掌握特征. (1)椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方 和，右边是 1; (2)椭圆标准方程中三个参数 a , b , c 的关系：b 2 a 2 c 2 (a b 0) ; (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

(五)尝试应用，范例教学. 例1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上

?并

指明 a 、 b ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) 1 9 4

(2)9 x 2 25 y 2 225 0x2 y2 (4) 2 2 1(m 0) m m 1

x2 y2 (3) 4 25 16

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然. (设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.)

0 例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是 4, 、 0 4 , ,椭圆上一点到两焦点距离的和等于 10.

变式一：将上题焦点改为 (0 , 4) 、 (0 , 4) ,结果如何？ 变式二：将上题改为两个焦点的距离为 8 ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离 和等于 10 ,结果如何？(学生直接抢答)

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例 3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 3 5 2 两个焦点的坐标分别是 0 , 2 、 0 , ,并且经过点 P , . 2 2

(先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成.教师 巡视，投影学生答案.学生讨论总结. ) 解题思路 1:先根据已知条件设出焦点在 y 轴上的椭圆方程的标准方程y2 x2 3 5 再将椭圆上点的坐标 , 代入此方程， 并结合 a 、 、 2 1 a b 0 , b 2 a b 2 2

c 间的关系求出 a 2 、 b 2 的值，从而得到椭圆的标准方程为(设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.)

y2 x2 1. 10 6

3 5 解题思路 2:利用椭圆定义(椭圆上的点 , 到两个焦点 0 , 2 、 2 2

0 ,2 的距离之和为常数 2 a )求出 a 值，再结合已知条件和 a 、b 、 c 间的关系求出 b 2 的值，进而写出标准方程. (设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.) (六)回顾反思，归纳提炼. 1.椭圆定义； 2.椭圆标准方程； 3.解题思想方法. (七)课后作业，巩固提高. (八)板书设计： §8.1 椭圆及其标准方程 一.椭圆的定义MF1 MF2 2a(2a 2c)

三.例题 四.小结 五.作业

二.椭圆的标准方程

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x2 y 2 焦点在 x 轴上： 2 2 1 a b 0 a b焦点在 y 轴上；y 2 x2 1 a b 0 a 2 b2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mhun.html