数模第一次作业

数模第一次作业

姓名（学号）杜永志（07114140） 蔡国栋（07114136） 学院 理学院 老师 穆 学 文

问题1:

如果在食饵----捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。

问题2: 恶狼追兔问题.

设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。

问题3: （2007年全国数模竞赛a 题）

利用雷斯利模型（Leslie）研究中国未来的人口发展状况。

问题一

该问题添加了“捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获”这一条件，这里将捕食者看做鲨鱼，食饵看成食用鱼，按其体积大小分为“大鱼”和“小鱼”2类，研究大鱼，小鱼以及鲨鱼三者的稳定性。

符号说明

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

符号 x1(t) x2(t) y(t) x1’(t) x2’(t) y’(t) a b d r1 r2 意义 食饵中大鱼在时间t的数量 食饵中小鱼在时间t的数量 捕食者鲨鱼在时间t的数量 大鱼增长率 小鱼增长率 鲨鱼增长率 捕食者鲨鱼掠夺食饵中大鱼的能力 大鱼对鲨鱼的供养能力 鲨鱼离开食饵的死亡率 大鱼产小鱼的速率（小鱼的出生率） 小鱼长大成为大鱼的速率 问题分析

对大鱼而言，小鱼成长使得其增长率变大，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；被鲨鱼捕食增长率变小，减小的程度与捕食者数量成正比,系数为a。于是x1(t)满足方程 x1’(t)=r2x2-ax1y (1) 对小鱼而言，小鱼成长使得其增长率变小，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；大鱼产小鱼使得增长率变大，比例系数为r1，与大鱼数量x1有关。于是x2(t)满足方程 x2’(t)=r1x1-r2x2 (2)

对鲨鱼而言，大鱼的存在使得其增长率变大，变大的程度与大鱼数量成正比，系数为b；鲨鱼离开食饵无法生存，死亡率为d。于是y(t)满足方程

y’(t)=bx1y-dy (3)

以上三式就是自然环境下，大鱼小鱼以及鲨鱼三者之间依存和制约的关系。 令三式右端为零，得到方程组，并把（1）（2）式得到的方程相加的 r1x1-ax1y=0 (4)

与（3）式得到的方程 bx1y-dy=0 (5)

构成方程组解得两个平衡点 ：

P1（0,0,0） P2（d/b,r1d/r2b,r1/a）(按照（x1,x2,y）排列)

然后按照Volterra食饵-捕食者模型中的相轨线分析方法分析x1(t) ,y(t)在P1，P2点的稳定性，把x1(t)的结果代入（2）式即得到x2(t)的稳定性，综合x1(t),x2(t),y(t)即得到成年食饵，未成年食饵和捕食者三者的稳定性关系

问题二

解：设兔子速度为v, 则狼得速度为2v, 兔子安全回到巢穴得时间为t1=60/v

狼到兔子巢穴的最短距离为(60^2+100^2)^(1/2)=20*34^(1/2) 狼到兔子巢穴的最短时间为t2=20*34^(1/2)/(2v)=10*34^(1/2)/v 显然只要v>0,就有 t1>t2

所以 兔子不能安全回到巢穴。

问题三

§1、问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在

本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。

考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）： 以人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。

§2、问题假设

1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争。bi,si不随时间而变化 2、超过90岁的妇女都按90岁年龄计算

3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变 4、不考虑移民对人口总数的影响

§3.符号说明

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 符号 t r x ni(t),i?1,2,?m b（,2,?,90) ii?0,1d（,2,?,90) ii?0,1si(i?0,1,2,?,90) L Z0 zs zz zx ni(0),i?1,2,?m 意义 表示年份（选定初始年份的t?0） 人口增长率 人口数量 在时间段t第i年龄组的人口总数 第i年龄组的生育率 第i年龄组的死亡率 第i年龄组的存活率 Leslie矩阵 2001年全国人口总数 2001年城市总人口 2001年镇总人口 2001年乡总人口 2001年第i年龄段的人口总数

§4.模型建立与求解

一、模型的准备

将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为t?0,1,2?.设在时间段t第i年龄组的人口总数为ni(t),i?1,2,?m，定义向量

n(t)?[n1(t),n2(t),?nm(t)]T，模型要研究的是女性的人口分布n(t)随t的变化规律，从而

进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第i年龄组的生育率为bi，即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为di，即di是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，

si?1?di称为存活率。设bi、si不随时间t变化，根据bi、si和ni(t)的定义写出ni(t)与ni(t?1)应满足关系：

m??n(t?1)??bini(t) ?i （9） i?1??ni?1(t?1)?sini(t),i?1,2,?,m?1在（9）式中我们假设bi中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不到t?1的那些婴儿。若记矩阵

?b1b2?bm?1bm??s?001??L??0s2?? （10）

??????0sm?10??0?则（9）式可写作

n(t?1)?Ln(t) （11）

当L、n(0)已知时，对任意的t?1,2,?有

n(t)?Ltn(0) （12）

若（10）中的元素满足

（ⅰ）si?0,i?1,2,?,m?1；

（ⅱ）bi?0,i?1,2?,m，且至少一个bi?0。

则矩阵L称为Leslie矩阵。

只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n(0)，我们就可以求出t时段的人口分布向量n(t)。

二、模型的建立

我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）中所给数据，以一岁为间距对女性分组。 (1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量ni(0),（i?0,1,2,?,90?)： 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3

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