1.2_解三角形应用举例(1)

1.2 解三角形应用举例(1)

【温故知新】 a b c 2R 1.正弦定理： sin A sin B sin C2.余弦定理和推论：

a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accos B 2 2 2 c a b 2abcosC2 2 2

b c a cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab2 2 2

【引言】在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明 月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁 会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 早在1671年，两个法国天文学家就测出了 地球与月球之间的距离大约为385400km。他 们是怎样测出两者之间距离的呢？ 这节课就让我们一起探讨解决不可到达的 距离的测量问题。

【应用举例】测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55m,∠BAC=51o, ∠ACB= 75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 解：根据正弦定理，得AB AC sin ACB sin ABC

例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

AC sin ACB 55 sin ACB 在例题中我 AB sin ABC sin ABC 们根据测量 55 sin 75 55 sin 75 需要适当确 65 . 7 ( m ) sin( 180 51 75 ) sin 54 定的线段叫

答：A,B两点间的距离为65.7米。

做基线.

解三角形应用题的一般步骤：1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3 、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地 解这些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。实际问题实际问题的解

数学问题(三角形)数学问题的解(解三角形)

【巩固练习】1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛 和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的 视角，那么B岛和C岛间的距离是 5 6海里。解：因为C=45°由正弦定理C60°

BC 10 sin 60 sin 45

A

10 sin 60 BC 5 6 sin 45

75°

B

【应用举例】例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量两点间的距离的方法。

分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解：可以在河岸边选定两 点C、D,测得CD=a,并且 在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ⊿ADC和⊿BDC中，应用 正弦定理得

a sin( ) AC sin 180 ( a sin BC sin 180 (

计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦 定理计算出AB两点间的距离

a sin( ) sin( ) ) a sin sin( ) )

AB AC 2 BC 2 2 AC

BC cos

练习：若在河岸选取相距 得∠BCA=45º ,∠ACD=60º ,∠CDB=30º , ∠BDA =30º ,则A、B两点间距离为_______; 解: 在 BCD中， DBC 180 ( 30 60 45 ) 45 CD sin 30 6 由正弦定理可得BC km sin 45 4 3 在 ADC中， ADC ACD 60 AC DC km. 2 A 在 ABC中，由余弦定理可得

3 km 的 C 、 D 两点，测 2

AB AC BC 2 AC BC cos 45 2 2 2

B

3 3 3 6 2 3 2 4 8 2 4 2 8

300 300

6003 2

450

6 AB km 4

D

C

40 解:在 ABP中，AB 30 20, APB 30 , BAP 120 C 60 AB BP 由正弦定理可得 BP 20 3 sin 300 sin1200 60º 80 B 在 BPC中，BC 30 40 60 30º

某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面 上油井P在南偏东60o,向北航行40分钟后到达B点 测得油井P在南偏东30o,海轮改为北偏东60o的航 向再行驶80分钟到达C点，求P、C两点的距离。

【巩固练习】

由已知 PBC 180 30 60 90

PC BC 2 BP 2 20 (海里) 7 答：P、C两点的距离为20 7海里

【课堂小结】1、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清 已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理 和余弦定理解题。 2、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其 流程图可表示为：实际问题画图形

数学模型解 三 角 形

实际问题的解

检验(答)

数学模型的解

作业：课本P19第4题(注:把27°改为30 °,39°改为45°,结果保留根号)

练习：1.海中有岛A,已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一 货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行20 2 海里后，

见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。

A北 北

B

20 2

C

M

解：在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由正弦定理得：AB BC sin 120 sin 45

由BC=20 2 ,可求AB

∴

得AM= 15 2 5 6≈8.97>8

A北 30 20 2

∴无触礁危险

北 75

B

C

M

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