张亦春,郑振龙《金融市场学》《金融市场学》第2版第二篇下

第二篇下

第十章 债券价值分析

在第十和第十一章中，将分别运用收入资本化法(Capitalization of income method of valuation),即收入法（Income Approach ）对债券和普通股的价值进行分析。事实上，价值分析的方法除了收入法之外，还包括市场法(Market Approach)与资产基准法(Asset-Based Approach)等方法。收入法或收入资本化法，又称现金流贴现法（Discounted Cash Flow Method,简称DCF ），包括股息（或利息）贴现法和自由现金流贴现法。而第十章和第十一章中运用的收入资本化法仅仅是其中的股息（或利息）贴现法。

第一节 收入资本化法在债券价值分析中的运用

收入资本化法认为任何资产的内在价值（intrinsic value ）决定于投资者对持有该资产预期的未来现金流的现值。根据资产的内在价值与市场价格是否一致 ，可以判断该资产是否被低估或高估，从而帮助投资者进行正确的投资决策。所以，决定债券的内在价值成为债券价值分析的核心。本书第三章对债券的种类进行了详细的分类，下面将对不同的债券种类分别使用收入资本化法进行价值分析。

一.贴现债券（Pure discount bond ）

贴现债券，又称零息票债券（zero-coupon bond ），是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。债券发行价格与面值之间的差额就是投资者的利息收入。由于面值是投资者未来唯一的现金流，所以贴现债券的内在价值由以下公式决定：

()T r A

D +=1 （10.1）

其中，D 代表内在价值，A 代表面值，r 是市场利率，T 是债券到期时间。

假定某种贴现债券的面值为100万美元，期限为20年，利率为10%，那么它的内在价值应该是：D= 100 /（1+0.1）20 = 14.8644(万美元)。换言之，该贴现债券的内在价值仅为其面值的15%左右。

二.直接债券（Level-coupon bond ）

直接债券，又称定息债券，或固定利息债券，按照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证的息票，也可不附息票。投资者不仅可以在债券期满时收回本金（面值），而且还可定期获得固定的利息收入。所以，投资者的未来的现金流包括了两部分，本金与利息。直接债券的内在价值公式如下：

()()()()()T T r A r c r c r c

r c

D ++++++++++=1111132 (10.2)

其中，c 是债券每期支付的利息，其他变量与式（10.1）相同。

例如，美国政府2002年11月发行了一种面值为1000美元，年利率为13%的4年期国债。由于传统上，债券利息每半年支付一次，即分别在每年的5月和11月，每次支付利息65美元（130美元/2）。那么，2002年11月购买该债券的投资者未来的现金流可用表10-1表示：

表 10-1 购买某种债券的投资者未来的现金流

如果市场利率定为10%，那么该债券的内在价值为1097.095美元，具体过程如下： ()()()()88205.01100005.0165

05.016505.0165++++++++= D

=1097.095(美元)

三. 统一公债（Consols ）

统一公债是一种没有到期日的特殊的定息债券。最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债（English Consols ），英格兰银行保证对该公债的投资者永久期地支付固定的利息。直至如今，在伦敦的证券市场上仍然可以买卖这种公债。历史上美国政府为巴拿马运河融资也曾发行过类似的统一公债。但是，由于在该种债券发行时含有赎回条款，所以美国的统一公债已经退出了流通。因为优先股的股东可以无限期地获得固定的股息，所以，在优先股的股东无限期地获取固定股息的条件得到满足的条件下，优先股实际上也是一种统一公债。统一公债的内在价值的计算公式如下 ：

()()()r c

r c r c r c D =++++++= 32111 （10.3）

例如，某种统一公债每年的固定利息是50美元，假定市场利率水平为10%，那么，该债券的内在价值为500美元，即：

5001.050

==D

在上述三种债券中，直接债券是一种最普遍的债券形式。下面就以直接债券为例，说明如何根据债券的内在价值与市场价格的差异，判断债券价格属于低估还是高估。 第一种方法，比较两类到期收益率的差异。式（10.1）、（10.2）、（10.3）中的r 是市场的利率水平，即根据债券的风险大小确定的到期收益率（appropriate yield-to-maturity ）；另外一类到期收益率，是债券本身承诺的到期收益率（promised yield-to-maturity ），用y 表示。

假定债券的价格为P ，每期支付的利息为c ，到期偿还本金（面值）A ，那么，债券价格与债券本身承诺的到期收益率之间存在下列关系式：

()()()()n n y A y c

y c

y c P ++++++++=11112 （10.4）

如果r > y ，则该债券的价格被高估；如果r < y ，表现为该债券的价格被低估；当r = y 时，债券的价格等于债券价值,市场也处于均衡状态。因此在本章的第2节和第3节中，若未特别说明，则市场利率r 与债券承诺的到期收益率y 是相等的，债券价格与债券价值也是相等的。

例如，某种债券的价格为900美元，每年支付利息60美元，三年后到期偿还本金1000美元，那么根据式（10.4），可以算出该债券承诺的到期收益率y 为10.02%。如果市场利率为9%。那么，这种债券的价格是被低估的。具体计算过程如下：

()()()321100060160160

900y y y ++++++=

第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。我们把债券的内在价值（V ）与

债券价格（P ）两者的差额，定义为债券投资者的净现值（NPV ）。当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券价格，即市场利率低于债券承诺的到期收益率，该债券被低估；反之，当净现值小于零时，该债券被高估。

P V NPV -= （10.5）

沿用第一种方法种的例子，可以发现该债券的净现值为24.06美元，所以该债券的价格被低估了，具体计算如下：

()()()()06.2490009.01100009.016009.016009.0160332=-?????

?+++++++=NPV （美元） 当净现值大于零时，对于投资者是一个买入信号。相反，如果市场利率r 不是9%，而是11%，那么，该债券的净现值将小于零（-22.19美元），表明它被高估了，对于投资者构成了一个卖出信号。只有当市场利率近似的等于债券承诺的到期收益率时，债券的价格处于一个比较合理的水平。

第二节 债券属性与价值分析

债券的价值分析与债券的以下8方面的属性密切相关。这些属性分别是（1）到期时间（期限）；（2）债券的息票率；（3）债券的可赎回条款；（4）税收待遇；（5）市场的流通性；

（6）违约风险；（7）可转换性；（8）可延期性。其中任何一种属性的变化，都会改变债券的到期收益率水平，从而影响债券的价格。下面将采用局部均衡的方法，即在假定其他属性不变的条件下，分析某一种属性的变化对债券价格的影响。

一.到期时间 （Time to Maturity ）

从第一节的式（10.1）至式（10.4）可以发现：当市场利率r 和债券的到期收益率y 上升时，债券的内在价值和市场价格都将下降。当其他条件完全一致时，债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。但是当到期时间变化时，债券的边际价格变动率递减。

例如，假定存在4种期限分别是1年、10年、20年和30年的债券，它们的息票率都是6%，面值均为100元，其他的属性也完全一样。如果起初的市场利率为6%，根据内在价值的计算公式可知这4种债券的内在价值都是100元。如果相应的市场利率上升或下降，这4种债券的内在价值的变化如表10-2所示。

表10-2 内在价值(价格)与期限之间的关系

资料来源：黄亚钧 《现代投资银行的业务和经营》，立信会计出版社，1996年，第118页，表2.4 。

表10-2反映了当市场利率由现在的6%上升到8%，四种期限的债券的内在价值分别下降2元、14元、20元和23元；反之，当市场利率由现在的6%下降到4%，四种期限的债券的内在价值分别上升2元、16元、27元和35元。同时，当市场利率由现在的6%上升到8%时，1年期和10年期的债券的内在价值下降幅度相差12元，10年期和20年期的债券的内在价值下降幅度相差6元，20年期和30年期的债券的内在价值下降幅度相差3元。可见，由单位期限变动引起的边际价格变动率递减。

下面分析随着到期时间的减少同一债券价格的变动情况，即动态的债券价格。 当债券息票率等于市场利率时，投资者资金的时间价值通过利息收入得到补偿。当息票率低于市场价值时，利息支付不足以补偿资金的时间价值，投资者还需从债券价格的升值中获得资本收益。

例如，几年前发行的某债券的市场利率和息票率都等于7%，面值为1000美元，现在离到期日还有三年时间，市场利率变为8%，则此时债券合理的市场价格应该是：

332%)81(1000%)81(70%)81(70%)81(70

23.974+++++++=

一年后，债券价格变为：

22%)81(1000%)81(70%)81(70

17.982+++++=

所以，如果投资者以974.23美元的价格买入，这一年投资者获得的资本收益为982.17-974.23=7.94（美元），总收益为70+7.94=77.94（美元），持有期收益率为77.94/974.23=8%。正好等于市场利率。

可见，当债券价格由市场利率确定的现值决定时，折价债券将会升值，预期的资本收益能够补足息票率与市场利率的差异；相反，溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入，投资者仍然获得相当于市场利率的收益率。图10-1反映了这两种债券的价格变动轨迹。

图10-1 折（溢）价债券的价格变动

本例说明，虽然利息收入与资本收益的比重有所不同，不同息票率的债券提供给投资者的收益率是相同的。在一个有效的资本市场上，经过税负调节和风险因素的调整后，各种债券的整体收益应该是相等的。否则，投资者就会卖掉收益率低的债券，买入收益率高的债券，导致相应价格的下降或上升，直到各种债券收益率相等为止。

零息票债券的价格变动有其特殊性。在到期日，债券价格等于面值，到期日之前，由于资金的时间价值，债券价格低于面值，并且随着到期日的临近而趋近于面值。如果利率恒定，则价格以等于利率值的速度上升。例如，30年期的零息票债券，面值1000美元，市场利率

等于10%，当前价格为1000/（1+10%）30=57.31（美元）。一年后，价格为1000/（1+10%）29=63.04（美元），比上一年增长了10%。图10-2反映了这种债券价格的变动轨迹。

图10-2 零息票债券的价格变动

二.息票率（Coupon Rate）

债券的到期时间决定了债券的投资者取得未来现金流的时间，而息票率决定了未来现金流的大小。在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大。

例如，存在5种债券，期限均为20年，面值为100元。唯一的区别在于息票率，即它们的息票率分别为4%、5%、6%、7%和8% 。假设初始的市场利率水平为7%，那么，可以利用式（10.2）分别计算出各自的初始的内在价值。如果市场利率发生了变化（上升到8%和下降到5%），相应地可以计算出这5种债券的新的内在价值。具体结果见表10-3。

表10-3 内在价值(价格)变化与息票率之间的关系

资料来源: 黄亚钧 《现代投资银行的业务和经营》，立信会计出版社，1996年，第119页，表2.5 。

从表10-3中,可以发现面对同样的市场利率变动,无论市场利率上升还是下降,5种债券中息票率最低的债券(4%)的内在价值波动幅度最大,而随着息票率的提高,5种债券的内在价值的变化幅度逐渐降低。所以，债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大。

息票率与债券价格之间的关系请详见本书所附光盘中题为债券定价与久期的模板。

三.可赎回条款 （Call Provision ）

许多债券在发行时含有可赎回条款,即在一定时间内发行人有权赎回债券。事实上含有可赎回条款的主要是公司债券(Corporate Bonds)，国家一般不再发行这种债券。这是有利于发行人的条款，当市场利率下降并低于债券的息票率时，债券的发行人能够以更低的成本筹到资金。这种放弃高息债券，以低息债券重新融资的行为称为再融资(Refunding)。发行人行使赎回权时，以赎回价格(Call price)将债券从投资者手中收回。初始赎回价格通常设定为债券面值加上年利息，并且随着到期时间的减少而下降，逐渐趋近于面值。尽管债券的赎回价格高于面值，但是，赎回价格的存在制约了债券市场价格的上升空间，并且增加了投资者的交易成本，所以，降低了投资者的投资收益率。为此，可赎回债券往往规定了赎回保护期，即在保护期内，发行人不得行使赎回权。这种债券称为有限制的可赎回债券(Deferred callable bonds)。常见的赎回保护期是发行后的5至10年。

例如，一种10年期的可赎回债券的息票率为12%，按面值1000美元发行，赎回价格为1050美元，赎回保护期为5年。如果5年后，5年期的债券的息票率降低为8%，该债券的发行人可能行使赎回权。这时，投资者的现金流发生了变化，即从原来的每年120美元利息（共10年）加第10年年末的本金（1000美元），改变为每年120美元利息（前5年）加第5年年末的赎回价格（1050美元）。假定在没有交易零股限制的情况下，投资者将赎回价格1050美元再投资于息票率为8%的5年期债券，该投资组合的内在价值也低于发行人没有行使赎回权的内在价值，详见下式：

未行使赎回权情况下的债券的内在价值（r 是市场利率）：

()()()()10102110001120

1120

1120r r r r D ++++++++=

行使赎回权情况下的投资组合的内在价值(r 是市场利率)：

()()()()()()

106521105084184112011201120r r r r r D ++++++++++++= 所以，可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，并且降低了投资者的实际收益率。一般而言，息票率越高，发行人行使赎回权的概率越大，即投资债券的实际收益率与债券承诺的收益率之间的差额越大。为弥补被赎回的风险，这种债券发行时通常有较高的息票率和较高的承诺到期收益率。

下面具体分析可赎回条款对债券收益率的影响。例如，30年期的债券以面值1000美元发行，息票率为8%。在图10-3中，如果债券不可赎回，其价格随市场利率的变动如曲线AA 所示。如果是可赎回债券，赎回价格是1100美元，其价格变动如曲线BB 所示。随着市场利率下降，债券未来支付的现金流的现值增加，当这一现值大于赎回价格时，发行者就会赎回债券，给投资者造成损失。在图中，当利率较高时，被赎回的可能性极小，AA 与BB 相交，

利率下降时,AA 与BB 逐渐分离，它们之间的差异反映了公司实行可赎回权的价值。当利率很低时，债券被赎回，债券价格变成赎回价格1100美元。

图10-3 可赎回条款对债券价格的影响

在这种情况下，投资者更关注的是债券的赎回收益率(yield to call)而非到期收益率(yield to maturity)。下面举例说明两者的差异。例如，30年期的可赎回债券，发行价为1150美元，息票率8%（以半年计息），赎回保护期为10年，赎回价格1100美元。则赎回收益率为：

2020%)41(1100%)41(40%)41(40

%64.6++++++=

而到期收益率为：

6060%)41(1000%)41(40

%)41(40

82.6++++++=

其中，赎回收益率也称为首次赎回收益率（yield to first call ），它假设公司一旦有权利就执行可赎回条款。但债券的溢价折价发行也会影响公司的赎回决策。如果债券折价较多，价格远低于赎回价格，即使市场利率下降也不会高于赎回价格，公司就不会赎回债券，也即折价债券提供了隐性赎回保护；反之，溢价债券由于发行价较高，极易被收回。所以，对溢价债券投资者主要关注赎回收益率，而对折价债券主要关注到期收益率。

四.税收待遇 (Tax Treatment)

在不同的国家之间,由于实行的法律不同,所以不仅不同种类的债券可能享受不同的税收待遇,而且同种债券在不同的国家也可能享受不同的税收待遇。债券的税收待遇的关键，在于债券的利息收入是否需要纳税。由于利息收入纳税与否直接影响着投资的实际收益率，所以，税收待遇成为影响债券的市场价格和收益率的一个重要因素。例如，美国法律规定，地方政府债券的利息收入可以免缴联邦收入所得税，所以地方政府债券的名义到期收益率往往比类似的但没有免税待遇的债券要低20至40%。此外，税收待遇对债券价格和收益率的影响还表现在贴现债券的价值分析中。对于美国地方政府债券的投资者来说，由于贴现债券具有延缓利息税收支付的优势，但实际上贴现的地方政府债券可以免缴联邦收入所得税，这使得贴现债券的税收优势不复存在，所以，在美国地方政府债券市场上，贴现债券品种并不流行。对于（息票率低的）贴现债券的内在价值而言，由于具有延缓利息税收支付的待遇，它们的税前收益率水平往往低于类似的但没有免税待遇的（息票率高的）其他债券，所以，享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券。 下面分析税收待遇对债券持有者收益的影响。美国的税收当局认为，初始折价发行的债券(original issue discount bonds,OID)，如零息债券，其价格升值对持有者是一种隐性的利息收入(implicit interest payment)，即使没有发生债券交易或到期，也应归入该年度的税基。如果发生债券交易，由市场利率变动引起的额外的损失或收益被视为资本损益(capital gains)。

例如，某30年期的零息票债券，面值为1000美元，市场利率10%，则发行价为1000/（1+10%）30=57.31（美元）。一年后，市场利率不变时，债券价格为1000/（1+10%）29=63.04（美元）。价差63.04-57.31=5.73（美元）作为利息收入来纳税。如果市场利率下降为9.9%，债券价格变为1000/（1+9.9%）29=64.72（美元）。若债券被卖掉，价差64.72-63.04=1.68（美元）作为资本收益以相应税率纳税；若债券没有卖掉，则1.68美元的价差作为未实现的资本收益(unrealized capital gains)不需纳税。

五. 流通性 (Liquidity)

债券的流通性，或者流动性，是指债券投资者将手中的债券变现的能力。如果变现的速度很快，并且没有遭受变现所可能带来的损失，那么这种债券的流通性就比较高；反之，如果变现速度很慢，或者为了迅速变现必须为此承担额外的损失，那么，这些债券的流动性就比较慢。例如，尽管凡 高的作品在世界上享有很高的声誉,但是如果某收藏家计划在

一个小时内出售其收藏的凡 高作品,那么,他的成交价格一定大大低于该作品应有的价值。相比之下，债券的流动性远远高于上述收藏品。

通常用债券的买卖差价的大小反映债券的流动性大小。买卖差价较小的债券流动性比较高；反之，流动性较低。这是因为绝大多数的债券的交易发生在债券的经纪人市场。对于经纪人来说，买卖流动性高的债券的风险低于流动性低的债券，所以，前者的买卖差价小于后者。所以，在其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的名义的到期收益率之间呈反比例关系，即：流动性高的债券的到期收益率比较低，反之亦然。相应地，债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。

六．违约风险 (Default Risk)

债券的违约风险是指债券发行人未履行契约的规定支付债券的本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。债券评级是反映债券违约风险的重要指标。美国是目前世界上债券市场最发达的国家，所拥有的债券评级机构也最多。其中，最著名的两家是标准普尔公司（Standard & Poor’s, S&P）和穆迪投资者服务公司(Moody’s Investors Services)。尽管这两家公司的债券评级分类有所不同，但是基本上都将债券分成两类：投资级或投机级。投资级的债券被评定为最高的四个级别，例如：标准普尔公司和穆迪投资者服务公司分别将AAA,AA,A,BBB和 Aaa,Aa,A,Baa四个级别的债券定义为投资级债券，将BB级以下（包括BB级）和Ba级以下（包括Ba级）的债券定义为投机级。有时人们将投机级的债券称之为垃圾债券（junk bonds），将由发行时的投资级转变为投机级的债券形象地称为失落的天使(fallen angels)。标准普尔公司的债券评级标准详见表10-4。在政府债券与公司债券之间，包括AAA级在内的公司债券的违约风险高于政府债券；在政府债券内部，中央政府债券的违约风险低于地方政府的债券；在公司债券内部，AAA级的债券的违约风险最小，并随着评级的降低，违约风险不断上升。

表10-4 标准普尔公司的债券评级标准

资料来源：Standard & Poor’s Bond Guide, November 1993, P.10.

债券评级机构以分析发行者财务指标的水平及趋势为基础，对其债券质量做出分类评定。依据的主要财务比率有：

1.固定成本倍数(Coverage ratios)，即公司收益与固定成本之比。如已获利息倍数(times-interest-earned ratio)是息税前收益(EBIT)与利息费用的比率;而扩大的利息倍数(fixed-charge coverage ratio)则把租赁费用和偿债基金(sinking fund)支出与利息费用加总作为分母形成一个新的比率。这些比率较低，或者比率下降，反映公司可能面临资金流动的困难。

2.杠杆比率（Leverage ratio），即资产负债比率(Debt-to-equity ratio)。资产负债率过高，意味着公司负债过多，可能有偿债困难。

3.流动性比率(Liquidity ratios)。常见的有流动比率(current ratio)和速动比率(quick ratio)，前者是流动资产与流动负债之比，后者是速动资产与流动负债之比。速动资产是扣除了存货后的流动资产。这些比率反映公司用可调动资金偿还到期债务的能力。

4.盈利性比率（Profitability ratios）。常见的是资产收益率(return on assets,ROA)，即息税前收益与总资产之比，可反映公司的整体财务状况。

5.现金比率(Cash flow-to-debt ratio)，即公司现金与负债之比。

分析这些比率要以产业的整体水平为背景。对各比率的侧重不同，分析结果也会不同。但总体上，从经验数据看，比率越高，债券评级也越高。

关于这些指标是否能有效预测公司违约风险，有一个著名的试验，即Edward Altman 的分离分析(discriminant analysis)。在分离分析中，根据各公司财务特征来打分。如果分值超过某个确定的值(cutoff value)，就认为公司是可信的；否则，公司就有破产的风险。

假定我们收集了一组样本公司的财务数据，如ROE(return on equity)和Coverage ratio ，并对其破产状况作出观测记录。在图10-4中，X 代表最终破产的公司，O 代表保持了偿付能力的公司。结果表明O 公司的两个比率都相对更高。

图10-4 对债券违约风险的分离分析

分离分析要决定一条直线方程，即图中的直线AA ，以最好地分离X 公司和O 公司。假设直线方程为0.75=0.9?ROE +0.4? Coverage ratio ，据此，每个公司可计算出一个值Z =0.9?ROE +0.4?Coverage ratio 。若Z>0.75，公司位置落在直线上方，可认为没有风险；反之，公司被认为有财务困难。

Altman 最终确定的直线方程是：

Z=3.3?EBIT/总资产+99.9?销售额/总资产+0.6?股票市场价值/债务账面价值+1.4?保留盈余/总资产+1.2?营运资本/总资产

其中，EBIT 是息税前收益。

由各种工具可测定违约风险， 那么，债券的违约风险与债券的收益率之间存在着什么关系呢？既然债券存在着违约风险，投资者必然要求获得相应的风险补偿，即较高的投资收益率。所以，违约风险越高，投资收益率也应该越高。在美国债券市场上，联邦政府债券的违约风险最低，地方政府债券的违约风险次低，AAA 级的公司债券的违约风险较高，D 级的公司债券违约风险最高。相应地，上述债券的收益率从低向高排列。但是，由于地方政府债券的利息收入可以免缴联邦政府收入所得税，所以，美国地方政府债券的投资收益率低于联邦政府债券的收益率，而联邦政府债券的投资收益率又低于AAA 级的公司债券的收益率。在公司债券中，投资级债券的投资收益率低于投机级债券的收益率。

但由于违约风险的存在，债券承诺的到期收益率不一定能够实现，只是一种可能的最大收益率。故投资者更关注的是期望的到期收益率(expected yield to maturity)。例如，公司20年前发行的债券，面值为1000美元，息票率为9%（以半年计息），还有10年到期。公司陷入了财务困境，投资者预期公司可保证利息支付，但到期公司将被迫破产，投资者只能得到面值的70%。则承诺的到期收益率为13.7%:

2020)1(1000)1(45)1(45

750r r r ++++++= A

A

期望的到期收益率为11.6%:

2020)1(700)1(45)1(45

750r r r ++++++=

如果公司保持了清偿力，有风险债券就会获得比无风险债券更高的实际收益率；如果公司破产，则前者获得的收益率可能会低于后者。

七. 可转换性 (Convertibility)

可转换债券的持有者可用债券来交换一定数量的普通股股票。每单位债券可换得的股票股数称为转换率(conversion ratio)，可换得的股票当前价值称为市场转换价值(market conversion value)，债券价格与市场转换价值的差额称为转换损益(conversion premium)。例如，债券价格为1000美元，转换率为40，当前股价每股20美元，此时，转换损失为1000-40?20=200美元，投资者不会实行转换权。如果股价升至每股30美元，则转换收益为40?30-1000=200美元。可见，投资者可以从公司股票的升值中受益。

所以，可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。但是，如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。

八. 可延期性 (Extendability)

可延期债券是一种较新的债券形式。与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。如果市场利率低于息票率，投资者将继续拥有债券；反之，如果市场利率上升，超过了息票率，投资者将放弃这种债券，收回资金，投资于其他收益率更高的资产。这一规定有利于投资者，所以可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。

表10-5 债券属性与债券收益率

表10-5是对本节内容的总结，综合了上述8方面的债券属性与债券价值分析之间的关系。

第三节 债券定价原理

根据以上讨论，我们可以给出债券定价原理，并讨论与债券定价原理有关的债券的两个特性：凸度(convexity)和久期(duration)。

一. 债券定价原理

1962年麦尔齐(B.G.Malkiel)最早系统提出了债券定价的5个原理1。至今，这5个原理仍然被视为债券定价理论的经典。

定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升2。

例一：某5年期的债券A ，面值为1000美元，每年支付利息80美元，即息票率为8%。如果现在的市场价格等于面值，意味着它的收益率等于息票率8%。如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为5.76%，低于息票率；反之，当市场价格下降到900美元时，它的收益率上升到 10.98%，高于息票率。

()

()()5508.01100008.018008.01801000++++++= ()()()550576.0110000576.01800576.01801100++++++=

1 Malkiel, B.G., 1962, “Expectations, Bond Prices, and the Term Structure of Interest Rates”, Quarterly Journal of Economics, pp.197-218.

2 可以通过对式（10.2）求导，证明定理一。

()()0)11(111≤+++-==+=+∑T T t t r AT r tc dr dP dr

dV

。类似地，可以对定理二至定理四进行数学证明。

()()()551098.0110001098.0180

1098.0180

900++++++=

到期收益率与债券价格之间的关系请详见本书所附光盘中题为债券定价与久期的模板。

定理二：当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。这个定理不仅适用于不同债券之间的价格波动的比较，而且可以解释同一债券的期满时间的长短与其价格波动之间的关系。其中，债券之间的比较，在第二节的“到期时间”部分已经讨论过，详见表10-2。下面，分析定理二在同一债券中的运用。

例二：某5年期的债券B ，面值为1000美元，每年支付利息60美元，即息票率为6%。如果它的发行价格低于面值,为833.31美元,意味着收益率为9%,高于息票率；如果一年后，该债券的收益率维持在9%的水平不变,它的市场价格将为902.81美元。这种变动说明了在维持收益率不变的条件下，随着债券期限的临近，债券价格的波动幅度从116.69(1000-883.31)美元减少到97.19(1000-902.81)美元，两者的差额为19.5美元，占面值的1.95%。具体计算公式如下：

()

()()5509.01100009.016009.016031.833++++++= ()()()4409.01100009.016009.016081.902++++++=

定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。这个定理同样适用于不同债券之间的价格波动的比较，以及同一债券的价格波动与其到期时间的关系。其中，不同债券之间的价格波动的比较，同样参见第二节的“到期时间”部分，详见表10-2。

例三：沿用例二中的债券。假定两年后，它的收益率仍然为9%，当时它的市场价格将为924.06美元，该债券的价格波动幅度为75.94(1000-924.06)美元。与例二中的97.19美元相比，两者的差额为21.25美元,占面值的比例为2.125% 。所以，第一与第二年的市场价格的波动幅度（1.95%）小于第二与第三年的市场价格的波动幅度（2.125%）。第二年后的市场价格计算公式为：

()()()3309.01100009.016009.016006.924++++++=

定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动，

收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。

例四：某5年期的债券C ，面值为1000美元，息票率为7%。假定发行价格等于面值，那么它的收益率等于息票率7% 。 如果收益率变动幅度定为1个百分点，当收益率上升到8%时，该债券的价格将下降到960.07美元，价格波动幅度为39.93美元(1000-960.07)；反之，当收益率下降1个百分点，降到6%，该债券的价格将上升到1042.12美元,价格波动幅度为42.12美元。很明显，同样1个百分点的收益率变动，收益率下降导致的债券价格上升幅度（42.12美元）大于收益率上升导致的债券价格下降幅度（39.93美元）。具体计算如下：

()

()

()

5

5

07.011000

07.0170

07.0170

1000++

++

++=

()

()

()

5

5

08.011000

08.0170

08.0170

07.960++

++

++=

()

()

()

5

5

06.011000

06.0170

06.0170

12.1042++

++

++=

定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小3。在第二节的息票率部分，曾经分析过这种现象。下面再举一个例子。

例五：与例四中的债券C 相比，某5年期的债券D ，面值为1000美元，息票率为9%，比债券C 的息票率高2个百分点。如果债券D 与债券C 的收益率都是7%，那么债券C 的市场价格等于面值，而债券D 的市场价格为1082美元，高于面值。如果两种债券的收益率都上升到8%，它们的价格无疑都将下降，债券C 和债券D 的价格分别下降到960.07美元和1039.93美元。债券C 的价格下降幅度为3.993%，债券D 的价格下降幅度为3.889%。很明显，债券D 的价格波动幅度小于债券C 。具体公式如下： 债券C ：

()

()

()

5

5

07.011000

07.0170

07.0170

1000++

++

++=

()

()

()

5

5

08.011000

08.0170

08.0170

07.960++

++

++=

债券D ：

3

定理五不适用于一年期的债券和统一公债为代表的无限期债券。

()

()

()

5

5

07.011000

07.0190

07.0190

1082++

++

++=

()

()

()

5

5

08.011000

08.0190

08.0190

93.1039++

++

++=

二．久期

债券的久期( Duration)的概念最早是马考勒(F.R.Macaulay)1938年提出的，所以又称马考勒久期(简记为D)4。马考勒使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间，即马考勒久期。

（一）马考勒久期的计算公式

1

1

()()[

]T

t

T

t t t PV c t

PV c D t B

P ==?==

?∑∑

（10.6）

其中，D 是马考勒久期，B 是债券当前的市场价格，PV(c t )是债券未来第t 期可现金流（利息或本金）的现值，T 是债券的到期时间。需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。计算发行时的马考勒久期，T （到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T （到期时间）小于债券的期限。

例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。该债券的有关数据详见表10-6。利用公式（10.6），可知：

年）(78.225

.95017.263925

.9503

40.811212.66173.72==

?+?+?=

D

表10-6 马考勒久期计算举例

4

Macaulay, F.R.,1938, “ Some Theoretic Problems Suggested by the Movement of Int erest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States Since 1856”, National Bureau of Economic Research ,Columbia, New York.

资料来源：W.F.Sharpe, G.J.Alexander & J.V.Bailey “Investment ”, 5th edition, Table 16.1,p 470, Prentice-Hall International ,Inc.1995.

（二）马考勒久期定理

关于马考勒久期（MD ）与债券的期限（T ）之间的关系，存在以下3个定理5。 定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。

由于该种债券以贴现方式发行，期间不支付利息，到期一次性偿还本金。所以，它的市场价格应该等于到期偿还的本金的现值，即：

T T B c PV D T ?=?=1)

(T = （10.7）

其中，c T 是第T 期偿还的本金，PV(c T )是相应的现值。

定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1，即： B t c PV D T

t t

∑=?=1

)(T B c PV B c PV B c PV T ?++?+?=)

(2)

(1)

(21 T ≤ （10.8）

定理三：统一公债的马考勒久期等于[]r 11+，其中r 是计算现值采用的贴现率，即：

r D 1

1+= （10.9）

定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。

息票率越高，早期支付的现金流的权重越大，加权平均的到期时间自然就越短。 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。

对于平价和溢价的债券而言，到期时间越长，久期也越长，这是显而易见的。令我们感到意外的是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而越短。

定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

5 Francis, J.C., 1986, “ Investments: Analysis and Management”, 4th edition, McGraw-Hill Book

Company, Box11-1, pp. 297.

这是因为到期收益率越低，远期支付的现金流价值相对越大，其在债券总价值中占的权重也越大。

（三）马考勒久期与债券价格的关系

计算久期的主要目的之一就是要找出久期、到期收益率与债券价格三者之间的关系。 假设现在是0时刻，债券持有者在t i 时刻收到的支付为c i （1≤i ≤n ）, 则债券价格

P 和连续复利到期收益率y '的关系为：

∑

='-=n

i t y i i e c P 1 （10.10）

由此可得： ∑='--='??n i t y i i i e

t c y P

1 （10.11）

而债券久期的定义可以相应改写为： ∑∑='-='-==n

i t y i i

n

i t y i i P e c t P e c t D i i

11

][ （10.12）

将（10.12）代入（10.11）得： PD y P

-='??

整理得： y D P P

'?-=? （10.13）

公式（10.13）说明，债券价格的变动比例等于久期乘到期收益率微小变动量的负数。y ?表示收益率曲线的微小平移。

上述分析是在到期收益率为连续复利收益率的基础上得出的。如果到期收益率为一年计一次复利的收益率（y ），则：

y y

D P P

+?-=?1 （10.14）

这是因为根据第五章有关连续复利利率（y '）与一年计一次复利利率（y ）之间的关系，我们有： y 1dy

y d y)

ln(1+='+='y

代入（10.13）即可得到（10.14）。

为了与（10.13）保持一致，更主要是为了方面起见，当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期（Modified Duration,用D *表示）来代替久期。修正的久期定义为：

y D

D +=1* （10.15）

将（10.15）代入（10.14）得： y D P P

?-=?*

（10.16） 式（10.16）表明，对于给定的收益率变动幅度，修正的久期越大，债券价格的波动率越大6。这样我们就可以用久期近似估计收益率变动与价格变动率关系之间的关系： y D P P

?-≈?*

（10.17） 如何运用久期的概念来计算收益率变动与价格变动率之间的关系请详见本书所附光盘中题为“债券久期”的EXCEL 模板。

应该注意的是，用久期（或修正的久期）来考察收益率变动与价格变动之间的关系只是一种近似的计算，这是因为久期计算法没有考虑债券的凸度。

二．凸度

6对于一年计m 次复利的收益率而言，公式（10.14）变为：

m y y D P P /1+?-=?。而公式（10.15）也相应变为：m y D

D /1*+=。

债券的凸度(Convexity)是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。从公式（10.16）可以看出，久期实际上等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。我们可以把债券的凸度（C ）类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格，即： 221y P

P C ??= （10.18）

在现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系，而是非线性关系。如果我们只用久期来估计收益率变动与价格变动率之间的关系，那么从公式（10.17）可以看出，收益率上升或下跌一个固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与事实不符。

图10-5 价格敏感度与凸度的关系

在图10-5中，A 直线表示用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系，B 、C 曲线分别表示不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系，其中C 的凸度大于B 。从图10-5可以看出，当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；而当收益率下降时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。这说明：（1）当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；（2）在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。

考虑了凸度问题后，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系可以重新写为：

()2

*21

y C y D P P

?+?-=? （10.19） 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为：

()2

*21

y C y D P P

?+?-=? （10.20） 从实际使用效果看（参见本书所附光盘中标题为“债券凸度”的EXCEL 模板），公式（10.20）所得出的近似估计与实际值的差别是可以忽略不计的。

本章小结

1.收入资本化法是判断债券价格高估或低估的一种常用方法。收入资本化法的核心是对债券投资的未来收益进行贴现，即求债券的内在价值。

2.当债券内在价值高于债券市场价格时，该债券的价格被低估；反之，债券的价格被高估。

3.判断债券价格高估或低估的另一种方法是比较债券承诺的到期收益率与根据债券风险确定的到期收益率。如果前者低于后者，该债券价格被高估；反之，债券价格被低估。

4.债券的属性是债券价值分析中非常重要的一些因素，它包括债券的到期时间，债券的息票率，债券的可赎回条款，债券的税收待遇，债券的流通性，债券的违约风险，债券的可转换性以及债券的可延期性。

5.当市场利率调整时，债券的期限越长，息票率越低，债券价格的波动幅度越大；可赎回的债券和无税收优惠待遇的债券的收益率较高；可转换和可延期的债券的收益率较低；债券收益率与债券的违约风险成正比，与债券的流动性成反比。

6.溢价或者价发行的债券具有不同的息票率，但由于债券价格的动态变化，最终给投资者提供了相同的收益率。市场利率不变时，零息票利率的价格以等于利率值的速度上升，并趋向于面值。

7.执行可赎回条款，将使债券实际收益率低于承诺收益率，所以对于易被赎回的溢价债券，投资者更为关注债券的赎回收益率。

8.债券的年利息收入与资本损益享有不同的税收待遇。

9.债券质量评级以公司的一组财务指标为基础。对存在违约风险的债券，投资者更为关注期望的到期收益率。

10.债券属性与债券价格之间的关系可以归纳为债券定价的5个原理。

11.债券的凸度和久期都反映了债券的价格与收益率之间的反比关系。但是，债券的久期认为债券价格与收益率之间的反比关系是线性的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mh5l.html