高中数学北师大版《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性》word导学案

第3课时任意角的正弦函数、

余弦函数的定义与周期性

1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.

2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.

3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.

4.了解周期函数的定义,并能简单应用.

在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.

问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比

值叫作角α的,记作:sin α=;比值叫作角α的,记作:cos α=,r= .

当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P 的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.

通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.

问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sin αsin β,cos αcos β.

问题3:正、余弦函数值的符号

(1)表格表示

象限

第一象限第二象限第三象限第四象限

三角函数

sin α

cos α

问题4:周期函数的有关概念

(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的.

(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.

1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在().

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为().

A.-

B.

C.-

D.

3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是.

4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).

判断正弦、余弦函数值的符号

判断下列各式的符号.

(1)cos(-345°);

(2)sin 175° cos 248°.

周期函数的证明

已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.

利用正弦函数、余弦函数的定义求值

已知角α的终边在直线y=-x上,求cos α-的值.

若角α的终边落在直线y=-x上,求+的值.

若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值.

已知角α的终边经过点P(x,-) (x≠0),且cos α=x,求sin α+的值.

1.等于().

A.±

B.

C.-

D.

2.已知cos θ·sin θ<0,那么角θ是().

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第二或第四象限角

D.第一或第四象限角

3.求下列式子的值:

(1)sinπ= ;(2)cos 405°= .

4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-,求证:f(x)是以2为周期的周期函数.

(20XX年·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= .

考题变式(我来改编):

第3课时任意角的正弦函数、

余弦函数的定义与周期性

知识体系梳理

问题1:正弦余弦角α正弦y=sin α(α∈R)角αy=cos α(α∈R)y=sin x(x∈R)y=cos x(x∈R)

问题2:相同相同= =

问题3:正正负负正负负正

问题4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2kπ(k∈Z,k≠0)最小正周期

基础学习交流

1.D∵sin α<0,∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上,由cos α>0,可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上,故α在第四象限.

2.A cos α===-.

3.(-1,)∵x=|OP|cos =2×(-)=-1,y=|OP|sin =.∴点P的坐标为(-1,).

4.解:1125°=360°×3+45°,d=r sin 45°=r(cm).

重点难点探究

探究一:【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角,

∴cos(-345°)>0.

(2)∵175°是第二象限角,248°是第三象限角,

∴sin 175°>0,cos 248°<0,

∴sin 175° cos 248°<0.

【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形帮助理解.

探究二:【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.

【小结】一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,使得对任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.

探究三:【解析】求角α的正、余弦值关键是确定角α的终边上任一点的坐标,所以在角α的终边上取一点P(4,-3),

则r=|OP|===5.

于是sin α==-,cos α==,

所以cos α-=+=.

[问题]上述解法全面吗?

[结论]角α的终边在一条直线上时,要对角α的终边为射线y=-x(x≤0)还是为射线y=-x(x>0)进行分类讨论.

于是,正确解答如下:

①在角α的终边上取一点P1(4,-3).

则r=|OP1|===5.

于是sin α==-,cos α==,

∴cos α-=.

②在角α的终边上取一点P2(-4,3).

则r=|OP2|===5.

于是sin α==,cos α==-,

∴cos α-=--=-.

综上,cos α-的值为或-.

【小结】(1)在角α的终边上取点,利用定义求sin α,cos α;

(2)若终边落在直线上,则需分两种情况讨论.

思维拓展应用

应用一:当α的终边落在第二象限时,+=+=0;

当α的终边落在第四象限时,+=+=0.∴+=0.

应用二:∵f(x)是以为周期的奇函数,

∴f(-)=-f()=-f(3×π+)=-f()=-1.

应用三:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.

又cos α=x,∴cos α==x.

∵x≠0,∴x=±,∴r=2.

当x=时,P点的坐标为(,-),

由三角函数的定义,有sin α==-,==-,

∴sin α+=--=-;

当x=-时,同理,可求得sin α+=.

基础智能检测

1.B=|sin 120°|=.

2.C若cos θ>0,sin θ<0,则θ在第四象限;若cos θ<0,sin θ>0,则θ在第二象限.故选C.

3.(1)1(2)(1)sinπ=sin(+6π)=sin=1.

(2)cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°=.

4.解:∵f(x+2)=-=-=f(x),

即f(x+2)=f(x).

∴由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.

全新视角拓展

-8r==,且sin θ=-,所以sin θ===-,则y=-8.

思维导图构建

f(x+T)=f(x)

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