分层抽样与系统抽样（教师版）

分层抽样与系统抽样

[读教材·填要点] 1．分层抽样的概念

将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．

2．系统抽样的概念

系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．

系统抽样又叫等距抽样或机械抽样． [小问题·大思维]

1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？

提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．

N2．系统抽样的第二步中，当不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？

n影响系统抽样的公平性吗？

提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性．

[例1] 某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？

[自主解答] 因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理．

因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取： 35

青年职工400×＝120(人)；中年职工400×＝200(人)；

10102

老年职工400×＝80(人)．

10

4001

由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是＝，所以每人被抽到的可3 20081

能性相同，均为.

8

[悟一法]

分层抽样的步骤：

(1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层； n

(2)根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比 k＝；

N

(3)确定第i层应该抽取的个体数目ni＝Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数)，使得各ni

之和为n；

(4)在各层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．

1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．

211

解：第一步：样本容量与总体容量的比为＝；第二步：确定各种商店要抽取的数21010111

目：大型商店：20×＝2(家)，中型商店：40×＝4(家)，小型商店：150×＝15(家)；

101010第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.

[例2] 相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取．

[自主解答] 第一步 将303盒月饼用随机的方式编号．

第二步 从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段．

第三步 在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l.

第四步 将编号为l，l＋30，l＋2×30，…，l＋9×30的个体取出，组成样本． [悟一法]

N

1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常

n是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获得整个样本．

2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本．

2．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．

解析：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.

(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．

(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.

(4)以56作为起始数，然后依次抽取156,256, 356，…，14 956，这样就得到容量为150的一个样本.

[例3] 选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程．

(1)有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，现抽取10个作样品； (2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，现取出3个作样品； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品； (4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品．

[自主解答] (1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取． 1011

第一步 确定抽取个数．因为＝，所以甲厂生产的应抽取21×＝7(个)，乙厂生产

30331

的应抽取9×＝3(个)；

3

第二步 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．

(2)总体容量较小，用抽签法．

第一步 将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；

第二步 将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签； 第三步 把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀； 第四步 从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； 第五步 找出与所得号码对应的篮球．

(3)总体容量较大，样本容量较小，适宜用随机数法．

第一步 将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；

第二步 在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第3行第5列的数“3”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；

第三步 从数“3”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．

(4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法．

第一步 将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段； 第二步 在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；

第三步 将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．

1．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．

2．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．

3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是( )

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样 C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．答案：B

一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定业务人员、管理人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？

[解] 法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4.

法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为112÷8＝14,16÷8＝2,32÷8＝4，所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员4人．

201法三：因为共有职工160人，所抽取的人数为20，所以样本容量与总体容量之比为＝，

1608

111

则业务人员应抽取112×＝14人，管理人员应抽16×＝2人，后勤服务人员应抽32×

888＝4人．

课堂训练：

1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )

A．都是从总体中逐个抽取 B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D．将总体分成几层，分层进行抽取 解析：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的．答案：C

2．某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号， 115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法

D．其他的抽样方法

解析：上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组中抽取15号，以后各组抽取15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．答案：C

3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )

A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法

D．分层抽样法

解析：样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法．答案：D

4．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取的个体数为________．

解析：

2

×100＝20.答案：20

5＋3＋2

5．将参加数学夏令营的100名同学编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为________．

解析：抽样距为4，第一个号码为004，故001～100中是4的整数倍的数被抽出，在046至078号中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8个．答案：8

6．某中学有教职工300人，分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为8∶1∶1.现用分层抽样从中抽取容量为20的样本，请写出抽样的过程．

8300×10201

解：抽样过程如下：(1)确定抽样比＝；(2)确定各层抽样数目为＝16，

300151511

300×300×

1010＝2，＝2；(3)用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样1515法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取2人；(4)将上述各层所抽的个体合在一起即为所要抽取的样本．

形成性测试： 一、选择题

1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么( )

A．①是系统抽样，②是简单随机抽样 B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样 C．①是简单随机抽样，②是系统抽样 D．①是系统抽样，②是系统抽样

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