数项级数和函数项级数敛散性的判别 - 唐婷

数学与计算机科学学院毕业论文

毕 业 论 文

论文题目: 数项级数和函数项级数敛散性的判别

学 院:数学与计算机科学学院 专 业:信息与计算科学 年 级:07级 姓 名:唐婷 指导教师:廖莉 职 称:讲师

（ 2011 年 6 月） 宜春学院教务处制

数学与计算机科学学院毕业论文

目 录

毕业设计（论文）任务书.......................................................................................................Ⅰ 毕业设计（论文）开题报告...................................................................................................Ⅱ 资格审查表...............................................................................................................................Ⅲ 学士学位论文原创性申明.......................................................................................................Ⅳ 论文版权使用授权书...............................................................................................................Ⅴ 毕业设计说明书或论文正文...................................................................................................Ⅵ 外文资料译文...........................................................................................................................Ⅶ 外文资料原文...........................................................................................................................Ⅷ

数学与计算机科学学院毕业论文

业设计（论文）任务书 宜春学院

毕业设计（论文）任务书

题 目： 数项级数和函数项级数敛散性的判别

学 院：数学与计算机科学学院 教研室：数学教育与函数论 专 业： 信息与计算科学 班 级： 07信计 学 号： 0731303105 姓 名： 唐婷 起止日期：

指导教师： 廖莉 职称： 讲师 教研室主任： 冷春勇 审核日期：

数学与计算机科学学院毕业论文

说 明

1. 毕业设计（论文）任务书由指导教师填写，并经教研室审定，下达到学生。

2. 进度表分前、中、后三期由学生填写，每期填写后交指导教师签署审查意见，并作为毕业论文工作检查的主要依据。

3. 学生根据指导教师下达的任务书独立完成开题报告，3周内提交给指导教师批阅。

4. 本任务书在毕业设计（论文）完成后，与设计（论文）一起交指导教师，作为设计（论文）评阅和毕业设计（论文）答辩的主要档案资料，是学士学位论文成册的主要内容之一。

数学与计算机科学学院毕业论文

一、毕业论文的要求和内容 要求： 论文结构完整，格式规范 篇章层次清晰，结论合理 按时完成，打印 内容： 1．引言 2．数项级数敛散性的判别方法：定义法，柯西收敛准则，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，拉贝判别法，高斯判别法，绝对收敛定理，莱布尼兹判别法 3．函数项级数一致收敛的判别方法：定义法，柯西收敛准则，优级数判别法等 4．结束语 二、研究方案,目标 研究方案： 利用图书馆和网络广泛搜集、阅读并整理相关文献，构筑论文的理论框架，利用例题和已有理论对论点进行充分论证和说明。 目标： 培养学生综合运用所学知识独立分析问题解决问题的能力，使其初步具备搜集、整理、筛选信息资料的能力。

数学与计算机科学学院毕业论文

七、其他（学生提交） 1．开题报告1份 2．外文资料译文1份（1000字以上，并附资料原文） 3．设计（论文）1份（理科4000字以上，文科6000字以上） 指 导 教 师： 廖莉 教研室负责人： 冷春勇 学生开始执行 任务书日期： 学生姓名： 唐婷 送交毕业设计期： 数学与计算机科学学院毕业论文

宜春学院

题 目：

学 院：专 业：班 级：学 号：姓 名：指导教师：填表日期：

毕业 论文 开题报告

数项级数和函数项级数敛散性的判别

数学与计算机科学学院 教研室 数学教育与函数论教研室 信息与计算科学 07信息与计算科学 0731303105 唐婷 廖莉 2011 年 5 月 20 日 数学与计算机科学学院毕业论文

一、选题的依据及意义

级数理论数学分析的重要组成部分，级数的敛散性是级数理论的核心问题，归纳总结数项级数和函数项级数敛散性的典型方法，比较这些方法的不同特点，随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用数项级数和函数项级数所取得的成功变得越来越多，我们对级数的敛散性判断进行了一些初步探索，对一般常见的方法进行归纳总结，增强学生的解题能力，同时拓展学生自己的创新能力。

二、国内外研究现状及发展趋势（含文献综述）

在国内外书籍中早已有此内容,其知识结构建立多年,其发展与应用也不断加深.而在国内的书刊中,他已是中学数学的一个基础点.随着知识的变更和社会的发展.这部分内容将在中学数学中不可磨灭与替代。

三、本课题主要研究内容

1．数项级数敛散性的判别方法：定义法，柯西收敛准则，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，拉贝判别法，高斯判别法，绝对收敛定理，莱布尼兹判别法

2．函数项级数一致收敛的判别方法：定义法，柯西收敛准则，优级数判别法等

四、本课题研究方法

本课题主要研究方法为分类介绍法、例题分析法和文献分析法。分类介绍法是对已知的类型进行分析与归类，总结出自己的观点并加以区别；例题分析法是通过例题分析来演示此类题目如何具体解决和实际应用的问题；文献分析法是对已有文献资料进行综合分析与评述，总结出自己的观点并加以阅释。

五、研究目标、主要特色及工作进度 研究目标:

掌握数项级数敛散性判断和函数项一致收敛判断的思想本质，使我们准确、迅速的选择合理的方法，使问题得到解决和培养数学思维模式，从而做到触类旁通，取到事半功倍的效果。

主要特色:

用典型的题目来类比常规解法与运用恰当的方法解题的效果

数学与计算机科学学院毕业论文

工作进度：

序号 各阶段工作内容 1 确定论文题目 广泛查阅资料 完成开题报告交指导老师批阅 3 拟定论文提纲完成论文初稿 4 修改论文初稿基本确定论文内容 5 完成论文初稿、打印 准备论文答辩 论文答辩 老师指导,打印初稿 检查修改 进行相关的设计 开始日期 备注 阅读相关书籍、查阅电子材料 2 老师批阅,指导修改 6 7 总结概括论文 答辩论文 六、参考文献

[1] 裴礼文.数学分析中典型问题与方法(第2版)[M].北京:高等教育出版社.2006. [2] 吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社.2006. [3] 纪乐刚.数学分析[M].上海:华东师范大学出版社.2000.

[4] 徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲(修订版)[M].北京:高等教育出版社,2002. [5]复旦大学数学系.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社.2006.

[6]孙本旺.数学分析中典型例题和解题方法[M].长沙:湖南科学技术出版社.2000.

数学与计算机科学学院毕业论文

宜春学院

论文原创性申明

本人郑重申明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律责任，其后果由本人承担。

作者签名：

日 期：

数学与计算机科学学院毕业论文

论文版权使用授权书

本论文作者完全了解学校有关保留、使用论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权宜春学院可以将本论文的全部或部分内容编入数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本论文。

作者签名： 日期： 导师签名： 日期：

数学与计算机科学学院毕业论文

数项级数与函数项级数敛散性的判定的若干种方法

宜春学院 数学与计算机科学学院 信息与计算科学专业 唐婷

指导老师：廖莉

摘要：级数是数值计算和研究函数的一个重要工具，它在数学工、程技术乃至其它自然科学的许多领域中都有广泛的应用。级数分为数项级数和函数项级数，函数项级数是表示函数特别是表示初等函数的一个重要的数学工具，也是研究函数性质的主要手段。数项级数是函数级数的特殊情况也是函数级数的基础，本文主要研究数项级数敛散性和函数项级数的一致收敛性判定的若干种方法。 关键词：级数 敛散性 判别方法 Abstract: series is the important tool of numerical calculation and research function , In maths, science, technology and many other fields are widely used。Levels are divided into several levels and functions of the series，Function is a function of the series particularly primary function that an important mathematical tool，it is the function of the main means too。Several levels is a series of the special functions and it is a function of the series. this article mainly on several levels ruffled by sex and functions of the series of convergence that some method of sexual。 Key words： series Restrain scatteredness Discriminant method

级数是一门非常活跃的学科,级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广。由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变。首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容。

1、数项级数敛散性的判别方法 1.1定义法

对于数列u1,u2,?,un,?，由此数列构成的级数u1?u2?u3???un?? (1) 记为?un或

n?1??un,级数(1)的前n项的和构成的数列sn?u1?u2???un，n?1,2,3,?(2)

称为级数(1)的部分和数列。若级数(1)的部分和数列{sn}有极限，即存在常数s，使得

limsup?uk?x??S?x?

n??x?Dk?1n1352n?1+2+3+···++···的敛散性 n2222352n?11352n?1解：sn=2sn-sn=1++2+···+n?1--2-3-···-

2222222n112n?1 =1+1++···+n?2—

222n例1、讨论级数

数学与计算机科学学院毕业论文

1n?12n?12 =1++ 12n1?21?故原级数的部分和为 S=limsn=3 因此级数收敛。

n??1.2柯西收敛准则

任给正数?，总存在正整数N，使得当m?N以及任意的正整数p，都有

|um?1?um?2???um?p|??

另：级数发散的充要条件

存在某正数?0,对任何正整数N,总存在m0(?N)和p0,有

|um0?1?um0?2???um0?p|??0

0 级数收敛的必要条件 若级数(1)收敛,则

limun?0

n?? 注 我们常利用limun?0来判别级数(1)发散

n??

aa例2 应用级数收敛的柯西收敛准则证明级数a0?1?????n????1010n?an?10?的敛散性

an?p?1anan?1证明： ??????sn?p?sn= ?10n10n?110n?p?1an?p?1anan?1??????? ? nn?1n?p?1101010

?1?11?11????????*??10n?1?1010p?1?10n?11?1 110 =

1

9*10n?21??即 因此，???0，若使sn?p?sn??，只要

qx10n?2

1??n?2?lg 取N?2??lg?，则当n?N时，对一切正整数

?9??9?1P，不等式

数学与计算机科学学院毕业论文

sn?p?sn?an收敛。

??皆成立，因此，级数?nn?1101.3对于正项级数敛散性常用判定方法

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界，即在某正数M，对一切正数n，有sn?M

1 比较判别法

(1) 比较原则 两个正项级数?un和

n?1???vn?1?n,且un?vn,则

?(i)若级数?vn收敛,则级数?un也收敛;

n?1n?1(ii)若级数?un发散,则级数?vn也发散.

n?1n?1??(2) 比较原则的极限形式 设?un和

n?1??vn都是正项级数,若limn?1?un?l,则

n??vn?(i)当0?l???时,级数?un和?vn的敛散性相同;

n?1n?1?(ii)当l?0且级数?vn收敛时,级数?un也收敛;

n?1??n?1(iii)当l???且级数?vn发散时,级数?un也发散.

n?1??n?1 例3:判断级数1?132?152??????1?2n?1?2?????的敛散性

?11? 解:因为0?，且级数?收敛， 222?2n?1?nn?1n

1?1 所以由比较判别法知级数?也收敛

2n?1?2n?1?

2比式判别法(达朗贝尔判别法)

数学与计算机科学学院毕业论文

(1) 设?un为正项级数,且存在某正整数N0及常数q(0?q?1),

n?1?un?1?q,则级数?un收敛. (i)若对一切n>N0,成立不等式unn?1?un?1?1,则级数?un发散. (ii)若对一切n>N0,成立不等式unn?1?(2) 比式判别法的极限形式 若?un为正项级数,且limn?1??un?1?q,则

n??un (i)当q?1时,级数?un收敛;

n?1(ii)当q?1时或q???时,级数发散.

3 根式判别法(柯西判别法)

(1) 设?un为正项级数,且存在某正数N0及正常数l

n?1??(i)若对一切n?N0,成立不等式nun?l?1,则级数?un收敛;

n?1?(ii)若对一切n?N0,成立不等式un?1,则级数?un发散.

nn?1(2) 根式判别法的极限形式

设?un为正项级数,且limnun?l,则

n?1n???(i)当l?1时,级数?un收敛;

n?1?(ii)当l?1时,级数?un发散.

n?1?例4:判断级数

1?3?5???(2n?1)?2?5?8???(3n?1)的敛散性

分析:因为此级数利用

un?12n?1?，所以可以用比式判别的极限形式. un3n?2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mgnv.html