信号与系统Chapter9-1

信号与系统

第9章 拉普拉斯变换THE LAPLACE TRANSFORM

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本章基本内容：1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数；

6. 单边拉普拉斯变换；

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9.0 引言 Introduction将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Z变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Z变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。

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9.1 拉普拉斯变换The Laplace Transform 复指数信号 e st 是一切LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t ),则系统对

e 产生的响应是:y(t ) H (s)e ,其中 H (s) h(t )e st dt st

st

显然当s

j 时，就是连续时间傅里叶变换。

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一.双边拉氏变换的定义：

X (s) x(t )e st dt

称为 x(t ) 的双边拉氏变换，其中 s j 。

s 若 0 , j 则有: X ( j ) x(t )e j t dt

这就是 x(t ) 的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换

在 0 或是在 j 轴上的特例。

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由于 X (s)

x(t )e e

t j t

dt [ x(t )e ]e t

j t

dt

F[ x(t )e [

t

]

所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(t ) 的拉氏变换就是 x(t )e t 的傅里叶变换。只要有合

适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 e t 后满足该条件。即有些信

号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。

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例1.

x(t ) e u(t )X ( s ) e e dt e at st 0 0 ( s a )t

at

1 dt s a

在 Re[s] a 时，积分收敛。 当 a 0 时， x(t ) 的傅里叶变换存在

X ( j ) e e0

at j t

1 dt a j

(a 0)

显然，在 a 0 时，拉氏变换收敛的区域为Re[s] a ,包括了 0 (即 j 轴)。

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比较 X ( s ) 和 X ( j ),显然有

X ( s)

s j

X ( j )

a 0时， x(t ) e at u(t ) u(t ) 当 1 Re[ s] 0 可知 u (t ) s

x(t ) e at u( t ) 例2.X ( s ) e e dt e at st 0 0 ( s a )t

1 dt Re[s] a s a

与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。

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由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上

的任何复数都能使拉氏变换收敛。2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称

为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC(Region of Convergence)对拉氏变换是非常重

要的概念。

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3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有

X ( j ) X ( s )

s j

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二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3. x(t ) e u(t ) e u(t ) t 2t

j 1

X (s) e e dt e e dt t st 2t st 0 0

1 e u(t ) , Re[s ] 1 s 1 t

j 2

1 e u (t ) , Re[s] 2 s 2 2 t

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1 1 2s 3 X ( s) 2 , s 1 s 2 s 3s 2

j

Re[ s] 1

2 1

可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部

分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与 X ( s ) 的分母的根相对应的。

(s ) N (s) M 若 X ( s ) 是有理函数 X ( s) D( s ) (s )i i i i

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分子多项式的根称为零点，分母多项式的根

称为极点。将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在S平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 表示一个 X ( s ) ,最多与真实的 X ( s ) 相差一个常 数因子 M 。 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。

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9.2 拉氏变换的收敛域The Region of Convergence for Laplace Transforms 可以归纳出ROC的以下性质： 1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。 2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。

4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j 轴的直线的右边。

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若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内， 则有 x(t )e 0t 绝对可积，即：

T

x(t )e

0t

dt x(t )e 1t dt 0t ( 1 0 ) t

若 1 0 ,则

T

T

x(t )e e ( 1 0 )T

e

dt

表明 1 也在收敛域内。

T

x(t )e 0t dt

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5. 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于j

轴的直线的左边。若x(t )是左边信号，定义于 ( ,T ,

0 在

ROC 内， 1 0,则

T

x(t )e

1t

dt

T

x(t )e 0t e ( 1 0 )t dt 0t

e

( 1 0 )T

T

x(t )e

dt

表明 1 也在收敛域内。

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6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内平行于 j 轴的带形区域。 例1.

x(t )

e at0 at st

0 t T

其它 t

X ( s ) e e dt0

T

e0

T

( s a )t

1 ( s a )T dt [1 e ] s a

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X ( s )有极点

s a

e ( s a

)T 1 考查零点，令2 k(k为整数) 得 s a j T

显然 X ( s )在 s a 也有一阶零点，由于零极 点相抵消，致使在整个S平面上无极点。

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当 X ( s )是有理函数时，其ROC总是由X ( s) 的极点分割的。ROC必然满足下列规律： 1. 右边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最右边极点

的右边。2. 左边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最左边极点 的左边。 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间 的带形区域。

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