第二章 行列式

第二章 行列式

关键知识点：逆序数,行列式的定义,矩阵及其初等行变换,元素的余 子式及代数余子式,子式的余子式及代数余子式;行列式的基本运算性质, 行列式的行(列)展开性质(定理3,P78),克兰姆法则;利用运算性质化三角 形法,利用展开性质降(升)阶法,归纳与递归法等.

2.1 设排列x1x2?xn?1xn的逆序数为I,问排列xnxn?1?x2x1的逆序数 是多少?

略证 在原排列x1x2?xn?1xn和倒排列xnxn?1?x2x1中,任意两个元素

2, xi,xj(i?j)之间均存在唯一一个逆序,因此二者的逆序数之和必为Cn2则所求的逆序数为Cn?I.

2.2 由行列式定义计算

2xx121x1?1 f(x)?32x1111x中x3的系数,并说明理由.

详解 由行列式定义,f(x)中的一般乘积项可设为x1j1x2j2x3j3x4j4, 只有当二三四行中所取的元素恰好有两个含x时,上述乘积项才可能 产生出x3的项,所以排列j1j2j3j4可能为4231,3214,2134三种,这三种 中只有第三种才真正出现x3的项,所以相应的项为(?1)?(2134)x3??x3, 则系数为-1.

2.3 由

11?111?1D??0

????1111证明:奇偶排列各半.

详证 由n级行列式的定义,则D?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?j1j2?jn?(j1j2?jn),其中当排列j1j2?jn为奇排列时,被加项为-1,当排列 (?1)?j1j2?jn为偶排列时,被加项为+1,而D?0,所以在所有的n级排列中,奇 排列偶排列各占一半.

注 也可以用“对换改变排列的奇偶性”来证明:在所有的n级排列中, 奇排列偶排列各占一半.

2.4 设

11?1xa1?an?1x2a12??xn?1?a1n?1??P(x)?,

2n?1an?an?1?1其中a1,a2,?,an?1是互不相同的数.

1)由行列式的定义,说明P(x)是一个n?1次多项式. 2)由行列式的性质,求出P(x)的根. 略证 取a0不同于a1,a2,?,an?1,则

P(a0)?0?j?i?n?1?(ai?aj)?0

(范得蒙行列式),则P(x)?0;由行列式的定义,则每一个乘积项相应的单 项式的次数不超过n?1,那么?(P(x))?n?1.

由行列式的性质,则P(aj)?0(两行对应元素一致)(j?1,2,?,n?1). 所以?(P(x))?n?1,且P(x)的根分别为a1,a2,?,an?1.

2.5 计算下面的行列式

246427327a2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(a?2)2(b?2)2.

(c?2)21000100327 1) 1014543443; 2) b2?342721621c22464273271000427327详解 1)1014543443?2000543443?2000100443 ?342721621100072162110001006211132711327 ?10521443?1050?1?211??294?105.

1162100294a2(a?1)2(b?1)2(c?1)2a1c1(a?2)2(c?2)21aa21cb?cb1?c1b2?c2a2c22a?14a?42c?14c?4a2c22a?122b?12 2c?122)b2c2a2(b?2)2?b22b?14b?4?b2 ?4b2c2b1??41bb2??4(b?a)(c?a)(c?b)(范得蒙行列式).

c2c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1. c22.6 证明:

a1?b1?2a1a2?b2a2 提示 后两列加到第一列,提取2倍,再第一列的(-1)倍加到后两列.

2.7 计算下列n级行列式

xy0?00a1?b1a1?b2?a1?bn0xy?00a2?b1a2?b2?a2?bn 1)?????? 2)

????000?xyan?b1an?b2?an?bny00?0x123?n?1??00n1?10 3)02?2???00000

????n?11?nxy?00y0?00?????xy?00略解 1)D?x ?y(?1)n?100?xy?????00?0x00?xy ?xn?(?1)n?1yn(其中第一步:按第一列展开).

a1?b1b1?b2?b1?bnb1?b2?b1?bn

???b1?b2?b1?bn2)D?a2?b1?an?b10n?3???a?bb?b??1112?(a1?a2)(b1?b2)n?2 ?a2?b1b1?b2?n?1?a1?b1n(n?1)2(n?2)(n?1)2(n?3)(n?2)2?2n?1????00?0n00 ?1?n0?10?00?2?03)D?0?0?(?1)n?1(n?1)!2.

(第一步:第n列加到第n?1列,第n?1列再加到前一列,一直下去,直到第 二列加到第一列)

注 也可将各列均加到第一列,再求(这种行列式属第二种“K”字型). 2.8 计算下列行列式

a011?1a0?10?001a10?0a1x?1?00 1)10a2?0 2)??????

?????an?200?x?1100?anan?100?0xa?bab0?00000010?0cos?10?0a?bab?1a?b??012cos?1?0?00 3)

????1a?b?000000 4)

1?2cos???0

????12cos?1?a111?1111111?1?an 5)

11?11?a21?11?a3??1?1?

?? 详解 1)若aj?0(j?1,2,?,n),将第j?1列的(?1aj)倍加到第1列, 则有

a0??i?1nD?00?01ai1a110??10?a1a2?an(a0??i?1n0a2?0????00?an1). ai若有某个aj?0(1?j?n),不妨设a1?0,由定义或按第二行展开则 有

D??a2a3?an.

说明:这里是第一种“K”字型,可以化为三角形行列式来作.

2)将第1行的x倍加到第2行,再将第2行的x倍加到第3行,一直这样 做下去,最后将第n?1行的x倍加到第n行,则有

a0?10?00a0x?a10?1?00D???????

a0xn?2?a1xn?3???an?200?0?1a0xn?1?a1xn?2???an?100?00 ?a0xn?1?a1xn?2???an?1.

说明:这里是第三种“K”字型,可以化为三角形行列式来作或者如上 那样化,再利用定义计算.

3)将行列式按第1列展开,那么

ab00?001a?bab?00Dn?(a?b)Dn?1?1?01a?b?00

??????000?1a?b ?(a?b)Dn?1?abDn?2 则

Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),

记An?Dn?aDn?1,则An?bAn?1,那么

An?A2b则

n?2?(D2?aD1)bn?2?a?bab?n?2n?, ???a(a?b)?b?b?1a?b??Dn?aDn?1?bn.

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