固体物理第三章

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Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质

(lattice vibration and its heat characteristics)

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一、简要回答下列问题(answer the following questions):

1、在晶格常数为a的一维单原子晶格中，波长λ=8a和波长λ=8a/5的格波所对应的原子

振动状态有无不同? 试画图加以说明。

［答］对于一维单原子链，由q=2π／λ知，λ＝8a时，q＝π／4a，λ＝8a／5时，q＝5π

／4a，二者的aq相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原子振动状态不同。

如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原子的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ［答］在简谐振动下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的

振动，每一个谐振子的振动模式称为简正振动模式。格波振动通常是这3N个简正振动模式的线性叠加。

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是是一回事，其数目等于晶体中所有原子的自由度之和，即等于3N。

3、晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T之间有什么样的关

系？

［答］频率为ωi的格波的平均声子数为 ： n(?i)?1e??/kBT?1

即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。

以德拜模型为例。晶体中的声子数目为

?DN'??0n(?)g(?)d? 其中 g(?)d??3V2?d?232?C

?33VkBT3??令 x? 则 N'?kBT2?2?3C3?D/T?0x2dx ex?13VkBT32?2?3C33在极低温度下，θD／T→∞，于是 N'?3

?0x2dx3VkBT3?23?()T x2333e?12??Cn?1n3?即在温度极低时，晶体中的声子数目与T成正比。

4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低温度下，德拜模型为

什么与实验相符？

［答］爱因斯坦模型的格波的频率大约为10Hz，属于光学支频率。而光学格波在低温时对

热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学波。所以爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是没有考虑声学波对热容的贡献。

在极低温度下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波因为未能被激发，得到的激发只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，温度越低，德拜模型与实验结果符合得越好。 5、格波与弹性波有何不同？

［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处:

i(?t?naq)(1) 对于一维单原子链格波解为: un?Ae

i(?t?qx)弹性波的解为: un?Ae

13

在弹性波的解中, x表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的位置. (2) 弹性波的色散关系是线性的，ω＝cq, c 是弹性波的波速;

而格波的色散关系:??21|sinaq| m2?所表示的是周期函数:?(q??2?)??(q) , 且ω 有极大值?m?2 。

ma但当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系趋于一致:

??a?mq?cq

而且c 就是把原子链看成弹性链时,弹性波的波速.

6、长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？

［答］长光学波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学波使得原胞内不同的原子

（正负离子）产生了相对位移。长声学波的特点是，原胞内所有的原子没有相对位移。因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

7、在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？

1)??i ，其中ni??i是由n i个声子携带211的热振动能，??i是零点振动能，声子数 n(?i)???/kT ，在绝对零度时，声子数

B2e?1［答］频率为ωi的格波的振动能为 ?i?(ni?为零，频率为ωi的格波的振动能只剩下零点振动能。

格波间交换能量使靠声子实现的，在绝对零度时，声子数为零，格波间不再交换能量。

8、声子数代表的物理意义是什么？为什么说声子是玻色子？

［答］声子是指格波的量子，它的能量等于??i。一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子。所以，声子数代表晶格振动的格波数。

在一定温度下，平均声子数遵从爱因斯坦——玻色分布， 二、填空题(fill in the blanks)（并用英语表示）：

1、在一定温度下，晶格原子获得能量做热运动，于是各晶格原子将偏离其平衡位置；另

一方面，由于原子间存在相互作用，使各原子又受到使其回到平衡位置的恢复力作用，结果，晶格各原子都在其平衡位置附近做微振动，这就是 。2、晶格振动的角频率ω随波数q变化，即允许的振动频率与波长有关，晶格振动的这种

变化关系（ω～q关系），称为晶格振动的色散关系 或晶格振动的 振动谱 。 3、晶格振动具有能量，其对固体比热的贡献，称为 晶格比热 。按照量子理论,晶格

?E??2e??/kBTCv?()V?kB()g(?)d???/kBT2比热为 . ?TkT(e?1)B0??m?

4、 由N个原胞组成的一维双原子链，q 可以取 2 个解，因此总共有 2N 个不同的格波。

5、在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 3 支声学波， 3(n－1) （n为一个原胞中的原子数） 支光学波。

个不同的值，每个q 对应

三、解释下列物理概念(explain the following physics concepts)： 1、格波

［答］ 晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，由于晶体内原子间有相互作用，存在相互联系，各个原子的振动间都存在着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。简单地说，由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式，称为格波(lattice wave)。 2、长声学波和长光学波

［答］波长很长（比原胞的线度大得多），即波矢q很小的声学波，称为长声学波。长声学波可以近似地被认为是弹性波。

波长很长（比原胞的线度大得多），即波矢q很小的光学波，称为长光学波。对于光学波，原胞中不同原子的振动方向相反，容易产生极化，所以长光学波又称为极化波。 3、三声子过程

非谐作用是指势能展开式中三次以上的高阶项。势能三次方项对应三声子过程，指两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子的过程，而且声子之间的相互作用遵从能量守恒和动量守恒定律。 4、非简谐效应

当考虑到原子的相互作用势中的δ以上的高次项时出现的种种效应叫非简谐效应。这时格波之间可以有相互作用，声子之间也可以交换能量。非简谐项的存在是晶格振动达到热平衡的最主要的原因，只有考虑到非简谐项的存在也才能解释晶体的热膨胀和热传导等现象。 5、局域振动

当晶体中存在有杂质或缺陷时，就可能产生局域振动，这种局域振动只是局限在杂质（或缺陷）的附近，其振幅随着与杂质（或缺陷）的距离增大而指数的衰减。所以，局域振动是局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动（localized vibration）。

四、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移μ

nj

★

3

为

?nj?ajsin(?jt?naqj??j)δj为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。

［解］任一原子的位移是所有格波所引起的位移的叠加，

即

? （1） n? ??nj??ajsin(?jt?naqj??j)jj原子位移的长时间平均值

由于μnj·μ

nj’?n2?(??nj)?(??nj')???nj2???nj??nj'jj'jj?j'的数目非常大，为N（N 为原子数）数量级，而且取正或取负的几率

2相等，因此上式中的第二项与第一项相比是一小量，可以略去不计，所以 由于μ

nj?n2???nj2j是时间t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值，因此

?nj21?T0T0?0ajsin2(?jt?naqj??j)dt?212aj2已知在较高温度下每个格波的能量为kT，μnj的动能的时间平均值为：

其中，L是原子链的长度，ρ是质量密度，T0为周期。 ∴

1Tnj?T0?LT0?dx?001d?nj2[?()]dt2dtT0??jaj22T0L?0cos2(?jt?naqj??j)dt?1??j2Laj241122T???La?kTnjjj （3） 42

因此

将上式代入（2）式有

所以每个原子的平方平均位移为

而ρ=m/a,L=Na aj?22kT?L?j2kT?L?j2?nj2??n2???nj2??jjkTkT??L?j2?LkTNm?j1?j2?n2??j1?j2

五、求出一维原子链的频率分布函数。 [解] 1、一维单原子链的情况

对于一维情况，q 空间的密度为L／2π,L=Na为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数为(L／2π)dq. dω 频率间隔内的振动模式数为

?n?2?Ldq?d? 2?d?等式右边的2 来源于ω(q) 具有中心反演对称,q > 0与q < 0 区间是完全等价的.从而有

g(?)?L1 (1) d??dq只考虑最近邻相互作用时,一维单原子链的色散关系为 ?(q)?4?11|sinaq|??m|sinaq| m22其中ωm 为最大频率.代入(1)式可以得到 g(?)?2、一维双原子链情况

2N?(?m??)

22?12??2??m?M4mM21/2{1?[1?sinaq]} 2mM(m?M)1?m?M14mM4mM222??d?????[1?sinaq]?2a(sinaqcosaq)dq22mM2(m?M)(m?M)?d???a4mM2所以 ??sin2aq[1?sinaq]2 2dq??(m?M)(m?M)1 代入(1)式有

L??(m?M)4mM2g(??)?[1?sinaq]2 2??asin2aq(m?M)六、设三维晶格的光学振动在q＝0附近的长波极限有 ω(q)=ω0-Aq 21V1 求证：频率分布函数为 ω<ω0 f(?)?(???)1/2 4?2A3/20 及 f(ω)=0 ω>ω0 [证明] 由 f(?)?VdS2 以及 ?(q)??0?Aq 3(2?)|?q?(q)|? 有 |d?|?2Aq dq1(?0??) A当ω<ω0 时, q?所以 f(?)?

V1V121/2?4?q?(???) 0323/2(2?)2Aq4?A当ω>ω0 时, 根号下为负值,q 不存在, 所以有f(ω)=0

七、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为

F?U0?kBT?qln(??qkBT)[证明]

量子谐振子系统的自由能为

F?U?kBT?q?1??q???q/kBT??ln(1?e)??2kTB? ?kBT????q经典极限意味着（温度较高） 应用 e?x?1?x?x2??

??qkBT所以 e??1?

??qkBT?(??qkBT)2??

因此 F?U?

?q1??q?2?kTln(1?1?kT)?UBqB??q0?kBTln(??qkBT)

其中 U0?U?

?q1??q 2

??，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 八、设晶体中每个振子的能量为 12[解] 根据量子力学, 零点正动能是谐振子所固有的,与温度无关, 故T=0 K 时的振动能就是各振动模零点能之和

?m E0??0E0(?)g(?)d? 而 E0(?)?1?? 2对于德拜模型 g(?)??m3V2?2vp2 ?3所以有 E0?

?013V?23?V??d??3322?vp4?2vp?m?0?3d??3?V4?2vp314??m 42但 ?m?(6?N1/3)vp V

所以 E0?

九、试由格临爱森方程 p??99?N?m?NkB?D 88?CVdUE 。 ?? 导出固体的体积热胀系数 ??kVdVV0??[解] 热膨胀是指在不施加力的情况下,体积的变化与温度的关系.

因此,令格林爱森方程中的P=0, 有

dUE?? (1) dVV对于大多数固体来说,体积的变化不大,因此可以将(dU/dV)在静止的晶格的平衡体积V0

点展开

dUdUd2U?()V0?(2)V0?V?? dVdVdV只取到ΔV 的线性项, 则有 (dUE )?V??VVdV20?2?将上式写成

?V?E?2? 并将两边对T求微商, V0VdU(2)V0V0dV则有 ???CVK0V 式中K0为T=0时的体弹性模量, Cv为固体的热容.

十、对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。

[解] 按照德拜模型, 格波的色散关系为 ω=vq, 由模式密度的讨论知,对于一维情况

g(?)?L1L? (1)

?d??vdq?m?m再利用

?0g(?)d??N??0LLd?? (N为原子数,a 为晶格常数) ?va得 ?m??av

由量子理论的晶格比热公式,得其热容量的表达式为

?mCV??0??2e??/kBTg(?)d?kB()???/kBT2kBT(e?1)?m?L??2e??/kBTkB()()d? ??/kBT2?vkBT(e?1)0作变量代换 x???m?? , 并利用 ?D?

kBkBT2LkBT得 CV???v?D/T?0exx2dx(ex?1)2 (2)

exx2(1) 高温时, x 是小量, 上式中的被积函数 ?1 x2(e?1)LkBT?DLkBT??vL晶格的热容量为 CV????kB?NkB

??vT??vkBTaa(2)温度很低时,

22?DT?? ,(2)式中的被积函数可以按二项式定理展开成级数

?exx2 x?x2ex(1?ex)?2?x22(e?1)exx2dx?则积分 x2(e?1)0??nen?1?nx

???nen?10???exxdx?22?n?1?1?2? 23n2L?kBT由此得到低温时晶格的热容量为 CV?

3?v

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