2015年嘉定高三一模（文理）

2014学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

2i?__________． 1?i12．函数y?lg(x?1)?的定义域是________________．

2?x?3．已知直线l垂直于直线2x?3y?5?0，则直线l的一个法向量n?___________．

1．设i是虚数单位，则i?34．已知4?2，lgx?a，则x?____________．

5．为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为_________． 6．若椭圆mx2a?y2?1的一个焦点与抛物线y2?4x的焦点重合，则m?__________．

3cos2x的图像向左平移m（m?0）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m的

1sin2x7．若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）． 8．将函数f(x)?最小值为______________．

9．设无穷等比数列{an}的公比为q．若lim(a2?a4???a2n)?a1，则q?________．

n??10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC?2ccosA，tanA?1， 3则B?___________．

11．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率是___________．

12．设正数a、b满足2a?3b?ab，则a?b的最小值是____________．

13．若函数f(x)满足：① 在定义域D内是单调函数；② 存在[a,b]?D（a?b），使f(x) 在[a,b]上的值域为[?b,?a]，那么y?f(x)叫做对称函数．现有则实数k的取值范围是_______________． 14．设数列{an}是等差数列，其首项a1总存在m?N，使得Sn*f(x)?1?x?k是对称函数，

?1，公差d?0，{an}的前n项和为Sn，且对任意n?N*，

?am．则d?_________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“0?x?1”是“log2(x?1)?1”的??????????????????????????（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

1

16．设a、b是关于t的方程tcos??tsin??0的两个不相等实根，则过A(a,a22)、B(b,b2)两点的直线

x2y2?2?1的公共点个数是?????????????????????????（ ） 与双曲线2cos?sin?A．3 B．2 C．1 D．0

17．定义在区间[1,??)上的函数f(x)满足：①f(2x)?2f(x)；②当2?x?4时，f(x)?1?|x?3|， 则集合S

18．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA， 终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示 为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,?]上的图像大致为??????????（ ） y

O O O π x x O A． π x B． π x C． π D．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．

y 1 y 1 y 1 ?{xf(x)?f(34)}中的最小元素是?????????????????????????（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

P O M A 1 ???? 已知x?R，向量a?(sin2x,cosx)，b?(1,2cosx)，f(x)?a?b． （1）求f(x)的单调递增区间；

（2）若?是第二象限角，

2

?????42?f???cos????cos2??1，求cos??sin?的值．

54??2??

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90?，AB?AC?AA1?2， 点E、F分别为棱AC与A1B1的中点． （1）求三棱锥A1?EFC1的体积；

B1

A1 F C1

（2）求异面直线A1C与EF所成角的大小．

B

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

A E C

x2y2 已知点A(0,?2)，椭圆E：2?2?1（a?b?0）的长轴长为4，F是椭圆的右焦点，直线AF的

ab?一个方向向量为d?(3,2)，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程．

3

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

f(x)?2x?k?2?x（x?R）．

（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）设k?0，问函数f(x)的图像是否关于某直线x?m成轴对称图形，如果是，求出m的值； 如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数g(x)的图像关于某直线x?m成轴对称图形”的 充要条件为“函数g(m?x)是偶函数”）

4x1?x（3）设k??1，函数h(x)?a?2?2?a，若函数f(x)与h(x)的图像有且只有一个公共点，

3求实数a的取值范围．

已知函数

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{an}、{bn}的各项均为正数，且对任意n?N，都有an，bn，an?1成等差数列，

*bn，an?1，bn?1成等比数列，且a1?10，a2?15．

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}、{bn}的通项公式； （3）设Sn

4

?b111????，如果对任意n?N*，不等式2a?Sn?2?n恒成立，求实数a的取值范围． a1a2anan

2014学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷参考答案与评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分）

1110 5．15 6． 7．arcsin

423?5?13??5?

8． 9． 10． 11． 12．5?26 13．?1,? 14．?1

4432?4?

n(n?1)n(n?1)d?n?d，因为对任意n?N*，存在m?N*，使得Sn?am， 第14题详解：Sn?na1?22n(n?1)1d?1?(m?1)d，取n?2，得1?d?(m?1)d，m?2?，因为d?0，所以m?2， 即n?d2故m?1，d??1．

1．?1 2．(1,2) 3．(3,2) 4．

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．A 16．D 17．C 18．B

三．解答题（本大题满分74分）

注：解答题评分标准所给的是各步骤的累加分，与参考答案不同的解法可酌情给分．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．

???f(x)?sin2x?2cos2x?sin2x?cos2x?1?2sin?2x???1，??（2分）

4?????由2k???2x??2k??（k?Z）， ????（4分）

2423????得f(x)的单调递增区间是k??（k?Z）． ????（5分） ,k????88??（1）

??42????2sin?????1?cos????cos2??1，????（2分）

4?54?????4????即sin?????cos????cos2?， ??????（3分）

4?5?4??4所以，sin??cos??(cos??sin?)(cos??sin?)(cos??sin?)，???（4分）

5若sin??cos??0，则tan???1，所以cos??sin???2；?????（5分）

452若sin??cos??0，则(cos??sin?)?1，cos??sin???．????（6分）

525综上，cos??sin?的值为?2或?． ????（7分）

2（2）由已知得，

（分类得到2个答案，不写最后一步可不扣分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）VA1?EFC1?VE?A1FC1?1112S?A1FC1?AA1???A1C1?A1F?AA1?． ??（5分） 3323（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）

5

AA1中点G，联结EG，FG，则EG∥A1C， ???（1分）

所以，?FEG是异面直线A1C与EF所成的角（或其补角）， ????（2分）

（2）取

在△EFG中，EG?FG?2，EF?6， ?????????（4分）

?EG2?EF2?FG23所以，cos?FEG?，故?FEG?． ??（6分） ?62?EF?EG2?所以，异面直线A1C与EF所成角的大小为． ?????????（7分）

6

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设F(c,0)，直线AF的点方向式方程为令y?0，得x?xy?2?， ??????（2分）

233，即c?3， ???????????????（3分）

222由已知，a?2，所以b?a?c?1． ???????????????（5分）

x2?y2?1． ???????????????（6分） 所以椭圆E的方程为4（2）由题意，设直线l的方程为y?kx?2，

x2?y2?1，得(4k2?1)x2?16kx?12?0， ????（1分） 将y?kx?2代入4322当△?16(4k?3)?0，即k?时，直线l与椭圆E相交， ?????（2分）

416k12xx?设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1?x2?，， ???（3分） 124k2?14k2?1所以|PQ|?2(x1?x2)2?(y1?y2)2?(k2?1)(x1?x2)2?(k2?1)[(x1?x2)2?4x1x2]

??16k?248?4k2?12?(k?1)???2?4k?3， ??2??24k?1???4k?1?4k?1??144k2?3又点O到直线l的距离d?，所以△OPQ的面积S?|PQ|?d?． 2224k?1k?14t42设4k?3?t，则t?0，S?2， ??????（5分） ?t?4t?4t47因为t??4，所以S?1，当且仅当t?2，即k??时，S取最大值1．??（7分）

t27x?2． ?????（8分） 所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为y??22（直线方程用其他形式也可以）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

f(?x)?2?x?k?2x，

?xxx?x若f(x)是偶函数，则f(?x)?f(x)，即2?k?2?2?k?2， ????（1分）

x?x所以(k?1)(2?2)?0对任意实数x成立，所以k?1； ???????（2分）

（1）

6

?k?2x??2x?k?2?x，???（3分）

x?x所以(k?1)(2?2)?0对任意实数x成立，所以k??1。 ???????（4分） 综上，当k?1时，f(x)是偶函数；当k??1时，f(x)是奇函数；

当k??1时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 ???????????（5分） （2）当k?0时，若函数f(x)的图像是轴对称图形，且对称轴是直线x?m，

则函数f(m?x)是偶函数，即对任意实数x，f(m?x)?f(m?x)， ??????（1分）

若f(x)是奇函数，则f(?x)??f(x)，即2?x?k?2?(m?x)?2m?x?k?2?(m?x)，化简得(2x?2?x)(2m?k?2?m)?0， ?（3分）

1m?m?0，m?log2k． ??????（4分） 因为上式对任意x?R成立，所以2?k?221所以，函数f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是直线x?log2k． ????（5分）

24x?x（3）由f(x)?h(x)得，(a?1)?2?2?a?0，

342xx即(a?1)?2?a?2?1?0， ????????????????????（2分）

3故2此方程有且只有一个实数解．

令t?2，则t?0，问题转化为：方程(a?1)t?①当a?1时，t??②当a?1时，

(i) 若△?0，则a??3或若a?x2m?x4at?1?0有且只有一个正数根．（3分） 33，不合题意． ???????????????????（4分） 431，若a??3，则t?，符合题意； 423，则t??2，不合题意． ??????????????（6分） 43(ii) 若△?0，则a??3或a?，由题意，方程有一个正根和一个负根，

4?1?0，解得a?1． ??????????????（7分） 即

a?1综上，实数a的取值范围是{?3}?(1,??)． ??????????????（8分）

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （1）由已知，2bn由②可得an?12?an?an?1 ①，an?1?bnbn?1 ②， ????????（1分）

?bnbn?1 ③ ????????（2分）

*将③代入①，得对任意n?2，n?N，有2bn即2?bn?1bn?bnbn?1，

bn?bn?1?bn，所以，{bn}是等差数列． ?????????（4分）

25（2）设数列{bn}的公差为d，由a1?10，a2?15，得b1?，b2?18，??（1分）

2522所以，b1?，b2?32，d?b2?b1?， ?????????（2分）

22(n?4)25222所以bn?b1?(n?1)?d?．?（4分） ?(n?1)?(n?4)，bn?2222

7

(n?3)(n?4)，而a1?10也满足此式．??（5分）

2(n?3)(n?4)(n?4)2所以数列{an}、{bn}的通项公式为：an?，bn?． ???（6分）

22121??1（3）由（2），得??2???， ????????（1分）

an(n?3)(n?4)?n?3n?4???11??11?1??1??1?1则Sn?2????????????????2???， ????（2分）

4556n?3n?44n?4??????????由已知，当n?2时，an?bn?1bn?不等式2aSn?2?bn1?n?4?1化为4a??， ???????（3分） ??2?an4n?4n?3??2（以下有两种解法） 解法一：不等式化为(a?1)n?(3a?6)n?8?0， ???????????（4分）

*2设f(n)?(a?1)n?(3a?6)n?8，则f(n)?0对任意n?N恒成立． ???（5分） 当a?1?0，即a?1时，不满足条件． 当a?1?0，即a?1时，满足条件．

3(a?2)?0， 当a?1?0，即a?1时，函数f(n)图像的对称轴为直线x??2(a?1)15f(n)关于n递减，只需f(1)?4a?15?0，解得a?，故a?1． ????（8分）

4综上可得，a的取值范围是(??,1]．

3n?8n2?6n?8*a?1?n?N解法二：不等式化为a?对任意恒成立，即，?（5分） 22n?3nn?3n3n?83n?83n?8*设f(n)?2，任取n1、n2?N，且n1?n2，则f(n1)?f(n2)?21 ?22n?3nn1?3n1n2?3n2(n?n)[3nn?8(n1?n2)?24]?21212?0，故f(n)关于n递减． ????????（6分） 2(n1?3n1)(n2?3n2)3n?8?1对任意n?N*恒成立，所以a?1． 又f(n)?0且limf(n)?0，所以1?2n??n?3n因此，实数a的取值范围是(??,1]． ?????????（8分）

8

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