最新整理高中数学：不等式的解法举(1).doc

课 题：不等式的解法举（1） 教学目的：

1．掌握分式不等式向整式不等式的转化； 2．进一步熟悉并掌握数轴标根法； 3．掌握分式不等式基本解法 教学重点：分式不等式解法

教学难点：分式不等式向整式不等式的转化

授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

初中,我们学习了一元一次不等式(组);高一,我们又学习了一元二次不等式及形如|x|>a或|x|0)的不等式,已经掌握了这几类不等式(组)的基本解法,从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法 教学过程：

一、复习引入：

解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax+b>0

b} ab(2)若a<0时,则其解集为{x|x<-} a(1)若a>0时,则其解集为{x|x>-(3)若a=0时,b>0,其解集为Rb≤0,其解集为? 2一元二次不等式ax?bx?c >0(a≠0)

2 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为:

ax2?bx?c>0或ax2?bx?c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集

与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关 (1)若判别式Δ=b-4ac>0,设方程ax?bx?c=0的二根为x1,x2(x1

2

2①a>0时,其解集为{x|xx2}；②a<0时,其解集为{x|x1

①a>0时,其解集为{x|x≠-

b,x∈R}；②a<0时,其解集为? a(3)若Δ<0,则有:

①a>0时,其解集为R；②a<0时,其解集为? 类似地,可以讨论ax?bx?c<0(a≠0)的解集 23．不等式|x|a(a>0)的解集

1|x|0)的解集为:{x|-a

2|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a},几何表示为:

二、讲解新课：

不等式的有关概念

1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形 过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解 由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形 3．(1)

f(x)f(x)>0?f(x)g(x)>0；(2)<0?f(x)g(x)<0； g(x)g(x)(3)

?f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0f(x)f(x)≥0??；(4)≤0?? g(x)g(x)?g(x)?0?g(x)?0三、讲解范例：

例1 解不等式|x?5x?5|<1 2分析:不等式|x|0)的解集是{x|-a

?x2?5x?5?1①-1

?x?5x?5??1②2解不等式①,得解集为{x|13} 原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即

{x|13}={x|1

22???x?3x?2?0?x?3x?2?0, 或 ?2?2???x?3x?3?0?x?2x?3?0.因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到

另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为 （x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0 即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0 令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0 可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图） 由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

x2?3x?2说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考2≤0的等价变形 x?3x?32x2?5x?1例3 解不等式2＞1

x?3x?2分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解 2x2?5x?1解：原不等式等价变形为：2－1＞0

x?3x?2x2?2x?3通分整理得：2＞0

x?3x?2等价变形为：

（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0

即 （x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3} 说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解 四、课堂练习：

1解下列不等式:

(1)|3x-4|≤19；(2)|

2

x?12

+4|>3；(3)30+7x-2x<0 22

(4)3x-5x+4>0；(5)6x+x-2≤0

答案:(1)由|3x-4|≤19?4-19≤3x≤4+19?-5≤x≤

23,原不等式解集为{x|-5≤x≤323} 3(2) 原不等式即|x+7|>6?x<-13或x>-1,原不等式的解集为{x|x<-13或x>-1} (3)原不等式即2x-7x-30>0方程2x-7x-30=0的两根为x1=-22

5,x2=6原不等式的解集为2{x|x<-

5或x>6} 2(4)∵Δ=25-48<0,故不等式解集为R (5)方程6x+x-2=0的二根为x1=-2

2121,x2=原不等式的解集为{x|-≤x≤} 32322解下列不等式:

22

(1)|x-48|>16； (2)|x-3x+1|<5

答案:(1)由|x-48|>16?x<32或x>64?{x|-428}原不2

2

2

等式的解集为:{x|x<-8或-428} 2?x?3x?1?52

(2)原不等式?-5

?x?3x?1??5?x2?3x?4?0??1?x?4??2????1?x?4

?x?3x?6?0?x?R故原不等式的解集为{x|-1

x2?3x?2（1）2≥0；（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0 x?7x?12(x?1)(x?2)x2?3x?2?0 答案：（1）2≥0?(x?3)(x?4)x?7x?12

?x?(??,1]?[2,3)?(4,??)

（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0

?x?[?1,0]?[2,3]

五、小结 ：一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高

度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集

形如|ax?bx?c|m(m>0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号

22使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的 要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解 六、课后作业：

1．解关于x的不等式a(x?ab)?b(x?ab) 解：将原不等式展开，整理得：(a?b)x?ab(a?b) 讨论：当a?b时，x?ab(a?b)

a?b当a?b时，若a?b≥0时x??；若a?b<0时x?R 当a?b时，x?ab(a?b)

a?b22．解关于x的不等式x?x?a(a?1)?0 解：原不等式可以化为：(x?a?1)(x?a)?0

1则x?a或x?1?a 21121若a??(a?1)即a?则(x?)?0 x?,x?R

2221若a??(a?1)即a?则x?a或x?1?a

2若a??(a?1)即a?3．关于x的不等式ax?bx?c?0的解集为{x|x??2或x??}，求关于x的不等式

212ax2?bx?c?0的解集．

解：由题设a?0且?2b5c??， ?1 a2a2从而 ax?bx?c?0可以变形为x?即 x?2bcx??0 aa51x?1?0 ∴?x?2 2224．关于x的不等式ax?(a?1)x?a?1?0 对于x?R恒成立，求a的取值范围． 解：当a>0时不合 a=0也不合 ∴必有：??a?0?a?0 ??22???(a?1)?4a(a?1)?0?3a?2a?1?0?a?01???a??

3?(3a?1)(a?1)?05．若函数f(x)?kx2?6kx?(k?8)的定义域为R，求实数k的取值范围

解：显然k=0时满足 而k<0时不满足

?k?0?0?k?1 ∴k的取值范围是[0,1] ?2??36k?4k(k?8)?2?6．解不等式|x?5x?5|?1 解集为：{x|1?x?2或3?x?4}

2x2?3x?2?0 7． 解不等式2x?2x?3?x2?3x?2?0?x?1或x?2略解一（分析法）?2????1?x?1或2?x?3

?x?2x?3?0??1?x?3?x2?3x?2?0??1?x?2或?2???? ∴?1?x?1或2?x?3

x??1或x?3?x?2x?3?0?解二：（列表法）原不等式可化为

(x?1)(x?2)?0列表（略）注意：按根的由小到大排列

(x?3)(x?1)解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解

-2 -1 0 1 2 3 4 小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法” 8．解不等式 x?3x?2x?6 解：原不等式化为 (x?3)(x?∴原不等式的解为x?2322)(x?2)?0

2或?3?x??2

29．解不等式 (x?4x?5)(x?x?2)?0

解：∵x?x?2?0恒成立，∴原不等式等价于x?4x?5?0 即-1

解：原不等式等价于(x?1)(x?1)(x?2)?0且 x??2,x?1 ∴原不等式的解为{x|1?x?2或?2?x??1或x??2}

2322若原题目改为(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)?0呢？ 11．解不等式(x?5)(x?2)(x?1)(x?4)??80 解：原不等式等价于(x?x?20)(x?x?2)?80?0

即 (x?x)?22(x?x)?120?0?(x?x?12)(x?x?10)?0

222222223?(x?4)(x?3)(x??1?41?1?41)(x?)?0 22 ∴?4?x??12．

1?41?1?41或?x?3 2216?x?1 x?1(x?5)(x?3)解：原不等式等价于?0，∴原不等式的解为：?3?x?1或x?5

x?1解不等式

2x2?2kx?k?1 13． k为何值时，下式恒成立：24x?6x?32x2?(6?2k)x?(3?k)?0，而4x2?6x?3?0 解：原不等式可化为：24x?6x?3∴原不等式等价于2x?(6?2k)x?(3?k)?0 由??(6?2k)?4?2?(3?k)?0得1

1解下列不等式:

2

(1)x-2|x|-3>0；(2)2-3x<|2x-1|

22

解:(1)由x-2|x|-3>0?|x|-2|x|-3>0

?(|x|-3)(|x|+1)>0?|x|>3?x>3或x<-3 故原不等式的解集为{x|x<-3,或x>3} (2)2-3x<|2x-1|?2x-1>2-3x或2x-1<-(2-3x)

22333?x>或x>1?x>故原不等式的解集为{x|x>} 5552解不等式|x-9|≤x+3 2

?x2?x?6?0?x??3或x?2解:|x-9|≤x+3-(x+3)≤x-9≤x+3?? ??2?3?x?4?x?x?12?0?2

2

?2≤x≤4或x=-3故原不等式的解集是{x|2≤x≤4,或x=-3} 3解不等式|2x+1|+|x-2|>4

分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果 1??1?x?2?x?????x?2解:|2x+1|+|x-2|>4?? ?x<-1或或?2或?2?2x?1?x?2?4???(2x?1)?(x?2)?4??2x?1?(x?2)?412?x<-1,或x>1

故原不等式组的解集是{x|x<-1或x>1} 4解关于x的不等式:

2

(1)ax-2>3x+b(a,b∈R)；(2)ax-(a+1)x+1<0,其中a>0 解:(1)原不等式为:(a-3)x>2+b 当a-3>0,即a>3时,不等式解集为{x|x>

2?b} a?3当a-3=0,即a=3时,若2+b<0,即b<-2时,不等式的解集为R;若2+b≥0,即b≥-2时,不等式无解 当a-3<0,即a<3时,不等式解集为{x|x<(2)∵a>0 ∴原不等式?(x-1)(x-当a>1时,不等式的解集为{x|

2?b} a?31)<0 a1?x2?kx?k?1?0??2在x∈［0,1］内恒成立 ?x?2kx?2?02??f1(x)?x?kx?k?1在?0,1?上恒正?f1(x)在?0,1?上的最小值为正?? ??2??f2(x)在?0,1?上的最大值为负?f2(x)?x?2kx?2在?0,1?上恒负?k??11?????1?k?为所求. 12k??2?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mg3a.html