直线型倒立摆的力学分析

倒立摆的力学应用

一、综述、

杂技表演中，艺人用手托起一根立起的竹竿时，他会通过手臂的不断移动来保持平衡，使竹竿不倒，人和竹竿组成的这个系统就叫做一级倒立摆系统。假如两根竹竿上下立在一起（自由连接），下面一根杆和作直线运动的小车自由连接，这个就叫做二级倒立摆系统。

倒立摆是常用的进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，是检验各种控制理论的重要工具。同时，倒立摆在实际应用中也有着广泛的应用。如：机器人的站立于行走问题类似于双倒立摆系统；在火箭飞行器的飞行过程中保持正确姿态；通信卫星保持稳定姿态以使卫星天线一直指向地球，并使太阳能电池板指向太阳；多极火箭发射的垂直度问题也可以简化为一个多级倒立摆模型。

作为控制课的一部分，我们于本学期开始进行在直线型倒立摆上开展控制实验，为了解决状态空间法设计控制算法的基本问题，对倒立摆进行力学建模是必要的。

用于倒立摆系统建模的主要方法有两种:一种是采用牛顿力学的分析方法，分别对小车和倒立摆进行动力学分析，列出其动力学方程，联立采用小角度线性化得到倒立摆系统的近似线性模型。另一种是拉格朗日方法，将倒立摆系统作为一个整体分析，建立系统的动态微分方程，再采用小角度线性化的方法得到倒立摆系统的近似模型。下面将先后用这两种方法分别对一级和二级倒立摆进行建模。

二、力学分析

1、用动力学方程求解一级倒立摆的运动微分方程

直线型电机一级倒立摆由直线运动的摆杆底座和一级摆杆组成。如图1：

图1 图2

其中，为了简化模型，可以认为摆杆和底座为刚体，忽略空气阻力和摆杆与底座轴承的摩擦力。图中，m为摆杆质量，M为摆杆底座的质量，L为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度，I为摆杆惯量,F为加在小车上的力，x为小车在x轴上的的位移，Φ为摆杆与y轴正方向的夹角。

小车与摆杆的受力分析如图2所示。其中N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量，b为小车的阻尼系数。θ为摆杆与y轴负方向的夹角。 对摆杆水平方向进行受力分析可得：

d2N?m(x?lsin?)dt2 即：

（1）

??cos??ml??2sin????ml?N?mx（2）

对底座水平方向进行受力分析可得：

??F?N?bx?（3） Mx将（2）式代入（3）得

???ml??2sin??F??bx??ml?(M?m)?x（4）

对摆杆垂直方向上的合力进行分析可得：

d2P?mg??m2(lcos?)dt（5）

对于摆杆，力矩平衡方程为：

???Plsin??Nlcos??I?（6）

再从几何关系分析：

???+π,cos???cos?，sin???sin?，故等式前面有号负号。

,

合并（5）（6），有

??cos?因为是小角度变化，故设Φ约等于0 (I?ml2)?2?mglsin???mlx?d??，，cos???1sin???????0。按照惯例，把控制输入力F 所以，2?dt?记为u。线性化后可得

(m?M)??x?ml????bx??u(I?ml2)????mgl??mlx?? 接下来，用控制方面的知识进行状态空间计算：

对上式进行拉普拉斯变化（初始条件为0），可得：

(I?ml2)?(s)s2?mgl?(s)?mglX(s)s2(M?m)X(s)s2?ml?(s)s2?bX(s)s?U(s)

由于输出角度为Φ，求解第一行可得：X(s)?[(I?ml2)ml2?gs2]?(s) ?(s)mls2即X(s)?(I?ml2)s?mgl

再令a??x?，有?(s)a(s)?ml(I?ml2)s2?mgl

将该式代入方程组（10）的第二个方程，可得：

?(s)U(s)?mls2/qs4?b(I?ml2)s32 q?(M?m)mglsq?bmlgs/q其中q?[(m?M)(I?ml2)?(ml2)] 设系统的状态空间方程为：

X??AX?Buy?CX?Du

去状态变量：x1?x，x2?x?，x3??，x4???，则状态向量为，X?[x对方程(m?M)??x?ml????bx??u(I?ml2)????mgl??mlx??求代数方程，可得 x????]T ??x?x??(I?ml2)bxm2l2g?(I?ml2)u??x???22(M?m)I?Mml(M?m)I?Mml(M?m)I?Mml2

???????????mlbxmlg?(M?m)mlu??(M?m)I?Mml2(M?m)I?Mml2(M?m)I?Mml22、用拉格朗日方程来求解二级倒立摆的运动微分方程

为了简化模型，作如下假设：小车在水平导轨上作直线运动;各摆杆及小车均为刚体；由于采用磁悬浮轨道，小车所受摩擦力忽略不计；两摆杆之间的连接处无摩擦且质量不计；两摆杆质量及绕其质心转动的转动惯量相同，长度为2l；质量为m,转动惯量为J。

小车质量为M，水平方向上的位移为x，计摆杆质心坐标为Gi（xi,yi），摆杆与竖直方向的夹角为θ，记顺时针为正。小车所受控制力合力为u。

1?2 Mx211?2?i2?y?i2)?J?摆杆的动能为：Ti?m(xi 22小车的动能为：T0?

系统的总动能为：

T?T0?T1?T2?总势能为：

111?211?222?2?m(x?12?y?12)?J???Mx?m(x?y)?J?2 12222222V?m1gy1?m2gy2

第1级摆杆的质心坐标为：

G1?(x?l1sin?1,l1cos?1)

第2级摆杆的质心坐标为：

G2?(x?l1sin?1?l2sin?2,l1cos?1?l2cos?2)

把坐标代入原式，可得：

11?2?m??12l2?m??22l2?2mx???1lcos?1?mx???2lcos?2???1??2l2cos?1cos?2L?T?V?(M?m)x22

11??1?2l2sin?1sin?2?J(??12???22)?2mglcos?1?mglcos?222对各项求变分有：

dL?0 dxdL11???1lsin?1???1??2l2sin?1cos?2??1?2l2cos?1sin?2?2mglsin?1??2l2sin?1sin?2 ??2mxd?122dL11222??????mx?2lsin?2??1?2lcos?1sin?2??1?2lsin?1cos?2?mglsin?1??1lsin?1sin?2 d?222

??L?d?????x??(M?2m)????lcos??2m??2lsin??m???lcos??m??2lsin? x?2m?11112222dt

??L?d??????1??2m???l2?2mxl??l2cos?cos????l2sin?cos????l2sin?cos??2J?? ???1sin?1?2mxl??cos?1??12122122211dt

??L?d??????2??m???l2?mxl??l2cos?cos????l2sin?cos????l2sin?cos??2J?? ???2sin?2?mxl??cos?2??21121121212dt

??L?d????q????L?Q，可得：

根据拉格朗日方程

dt?q??lcos??2m??2lsin??m???lcos??m??2lsin??u ??2m?(M?2m)?x11112222

11???1lsin?1???1??2l2sin?1cos?2??1?2l2cos?1sin?2?2mglsin?1??2l2sin?1sin?2??2mx22

??l2?2mxl??l2cos?cos????l2sin?cos????l2sin?cos??2J??)?u???1sin?1?2mxl??cos?1??(2m?12122122211??l2?mxl?sin??mxl??l2cos?cos????l2sin?cos????l2sin?cos??2J??????cos?2??m?222112112121211?lsin??????2???(?mx?1?2l2sin?1cos?2?mglsin?1??1l2sin?1sin?2)?u2212lcos?1sin?2?22假设初始状态下?1、?2均为0；且在平衡位置有微小的转动，故：

sin?1??1;sin?2??2;cos?1?1;cos?2?1略去二阶小项：??12、??22

代入上式化简：

??l?m???l?u ??2m?(M?2m)?x12???ml2????2mgl? ???(J?2ml2)?2mlx121???ml2????2mgl? ???(J?ml2)?mlx212这就是二级倒立摆的基本方程,该系统状态空间方程的求解与一级倒立摆的求解方式相

同，这里已重点解决了力学推导问题，不再赘述拉普拉斯变化等控制方程求解过程。通过查阅相关资料，发现用动力学基本方程分析该问题可以得到与上式相同的结果。这也进一步验证了拉格朗日方法的正确性。对于大摆幅的二级倒立摆系统，带有三角函数的运动微分方程无疑给出了更精确的描述方式，给非线性控制提供了基础。

三、分析结论

本文对一级和二级倒立摆的力学建模为设计控制算法提供了基本模型。通过比较可以发现，拉格朗日方程在对复杂结构与系统的建模中更加简洁方便:用拉格朗日方法可以避免对系统内力进行分析。相对较为简单、有效。用拉格朗日方程建立数学模型是，不必去分析作用于系统各个质点或刚体上的力、力矩、速度、加速度等物理量、而将力学的基本定律表现为数学形式。拉格朗日方程具有如下特点：（1）它以广义坐标表示运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一样的。（2）只用分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。（3）拉格朗日方程是以能量观点建立起的运动方程。只用从系统的动能与势能，还有主动力，从而大大简化了建模过程。通过查阅相关文献可以看到，一些专家学者也是利用拉格朗日方程和矩阵的一些技巧推出了n阶倒立摆的力学模型，这也反映出了拉格朗日方程在工程中的广泛应用。

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