(4年真题推荐)2010-2013年全国高考数学试题分类汇编数列

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4级真题推荐推荐度：
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2010数列

1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ??

????

的前5项和为( ) （A ）

158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15

【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式．【思路点拨】求出数列{}n a 的通项公式是关键．【规范解答】选C ．设1

n n a q

-=，则36

361199(1)111q q q q q q

--?

=?-=---，即33918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?

=，5

511()31211612

T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{a n }是等比数列，公比2q =，S n 为{a n }的前n 项和．

记*21

17,.n n

n n S S T n N a +-=

∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ．

【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、均值不等式等基础知识．【思路点拨】化简n T 利用均值不等式求最值．【规范解答】,)2(,2

1])2(1[,21])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--=

--=

∴],17)2()2(16[

11)2(2

1])2(1[2

1])2(1[171211-+?-=

---

--?

n n

n n n a a a T

∵

,8)2()2(16≥+n n

当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最

大．【答案】4

3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

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【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法．

【规范解答】已知数列{}n a 中的每一项都不为0，先证""?

若数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，

当0d ≠时，有11

1111()n n n n a a d a a ++=-， ∴12231111n n a a a a a a ++++ 12231

1111111[()()()]n n d a a a a a a +=-+-++- 11111111

1111[()]n n n n a a n d a a d a a a a ++++-=-== 即对任何n ∈N ，有

12231111n n a a a a a a ++++ 11n n a a +=成立；当0d =时，显然

12231111n n a a a a a a ++++ 11

n n a a +=也成立．再证""? 对任意n ∈N ，有12231111n n a a a a a a ++++ 11

n n a a +=①， 12231121111n n n n a a a a a a a a +++++++ 121n n a a ++=②，由②-①得：121n n a a ++121n n a a ++=-11

n n a a + 上式两端同乘112n n a a a ++，得112(1)n n a n a na ++=+-③，

同理可得11(1)n n a na n a +=--④，

由③-④得：122n n n a a a ++=+，所以{}n a 为等差数列

【方法技巧】

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2、对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1+或n 1-得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．

（1）求n a 及n S ；

（2）令n b = 211n

a -(n ∈N *)，求数列{}n

b 的前n 项和n T ．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.

【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求n a 及n S ；(2)由(1)求出n b 的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.

【规范解答】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11

2721026a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（

；n S =n(n-1)3n+22?=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1?，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =

n 4(n+1). 【方法技巧】数列求和的常用方法：

1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比1≠q 的讨论.

2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，

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4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.

5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).

5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线33

y x =相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列.

(1)证明：{}n r 为等比数列；

（2）设11r =，求数列{}n n r 的前n 项和.

【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．

【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1n r +与n r 的关系，可证明{}n r 为等比数列；

（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列n

n r ，然后采用错位相减法求和. 【规范解答】 331,sin ,332x θθθ=（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan =

n n n n n n r 1sin 2r ,2C λθλλ===设的圆心为（，0），则由题意得知

，得 n+1n+12r λ=同理，

又

n+1n n n+1r r λλ=++

2r 2r r 3r λλ===将和，代入上式解得，

{}n r q 3=故为公比的等比数列。 n 11n n n n n r 1q 3r 3n 3r --∏====?（）由于，，故，从而

， n 1212.....,r r r n n =

+++记S 则有 121n 121n 12333......31323......(1)333n

n n

n n n -------=+?+?++?=?+?++-?+?S S

121n 1333133...333()3,2322

3n n n n n n n n ---------=++++-?=-?=-+?①②,得

119139(23)3()34224n

n n n S n ---+?∴=-+?=．

【方法技巧】

1、对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1+或n 1-得到相关的式子，再进行化简变形处理；

2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等，转化为常见的类型进行求和．

6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n

S 是公差为d 的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；

（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为2

9．【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．

【思路点拨】（1）先求n S ，然后利用n n a S 与的关系求解；（2）利用（1）中所求n S 利用基

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21323213

233()a a a a S S S S =+?=?-=，21121)2(])[(3d a a d a +=-+ 化简，得：22

111120,,a a d d a d a d -?+=== 22

(1),n n S d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形．

故所求2(21)n a n d =-．

（2）（方法一）

222222222m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?，

2m n c k +<恒成立．又n m k n m ≠=+且3，222222

292()()92m n m n m n k k ++>+=?>，故92c ≤，即c 的最大值为29．（方法二）由1a d =及1(1)n S a n d =+-，得0d >，22n S n d =．于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有

222

222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==．所以c 的最大值max 9

2c ≥．

另一方面，任取实数

92a >．设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()[(1)(1)](94)222m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+．

于是，只要22942k ak +<，即当229k a >-时，22122m n k S S d ak aS +

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所以满足条件的

92c ≤

，从而

max 9

2c ≤

．因此c 的最大值为9

2．

7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *

N ∈，2k 12k 2k+1

a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）记2222323n n n T a a a =+++ ，证明n 32n T 2n 2

<-≤≥（2）. 【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．

【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n 分奇数、偶数进行讨论．【规范解答】（I ）由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，

54412a a =+=， 65618a a =+=。从而

65543

a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列．（II ）由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈

所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈.

由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而2

22122k k a a k k +=-=.

所以数列{}n a 的通项公式为221

n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数

或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈．

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以下分两种情况进行讨论：

（1）当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈

若1m =，则2

222n

k k k n a =-=∑，若2m ≥，则

()()()22

222112211112212214441221n

m m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+????=++=++-?? ???++-??????∑∑ ()11312211222m m n m n ??=+-+

-=-- ???. 所以223122n k k k n a n =-=+∑，从而2

2322,4,6,8,....2n k k

k n n a =<-<=∑ （２）当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈．

()()()22

222222121213142221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121m n m n =+

-=---+ 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，从而2

2322,3,5,7,....2n k k

k n n a =<-<=∑ 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有32 2.2

n n T <-≤

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一、选择题 1.（2011·江西高考理科·Ｔ5）已知数列 {n a }的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( )

A.1

B.9

C.10

D.55

【思路点拨】

n m n m 911010s s s m,n 9,m 1,S S S ,

++===+==结合，对赋值，令n 即得即得a

【精讲精析】选A. n m n m 911011091010s s s 9,m 1,S S S ,

S S S a 1a 1.

-===++=∴==+==∴ 令n 即得即， 2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列{}n a 的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则12a a ++…

10a +=

（A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15

【思路点拨】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a

【精讲精析】选A. .31094321=+==+=+a a a a a a 故.151021=+++a a a

二、填空题

3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q 满足的关系式，求得其最小值。

【精讲精析】答案：33 由题意：

231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，

222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+3223q a ≥+≥，而

212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3；3min 3q ∴=。

+????

中的最大项是第k 项，则k =_______________.

【思路点拨】可由不等式组11k k k

k a a a a +-≥??≥?解得. 【精讲精析】答案：4设最大项为第k 项，则由不等式组11

k k k k a a a a +-≥??≥?得

1122(4)(1)(5)3322(4)(1)(3)33k k k k k k k k k k k k +-?????+≥++? ? ????????????+≥-+ ? ???????

,即2(4)(1)(5)32(4)(1)(3)3k k k k k k k k ?+≥++?????+?≥-+??,解得10101k ≤≤+,故4k =.

三、解答题

5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，将这n +2个数的乘积记作n T ，再令lg n n a T =，1n ≥

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设,tan tan 1+?=n n n a a b 求数列{}n b 的前n 项和n S .

【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.

【精讲精析】（Ⅰ）设这n +2个数构成的等比数列为n c ，则100,121==+n c c ，则 1001=+n q ，11

100+=n q ，又2)

2)(1(122211++++=???=??=n n n n n q q q q c c c T

所以 .1,2100lg lg lg 22

2)(1(≥+====+++n n q T a n n n n n

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知

.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n

另一方面，利用

[]tan(1)tan tan1tan (1),1tan(1)tan k k k k k k

+-=+-=++?

tan tan )1tan(tan )1tan(--+=

?+k k k k 所以 2

1323tan(1)tan tan(1)tan 1tan1tan(3)tan 3.tan1n n n k k k n k S b k k

k k n n +======+?+-??=-???

?+-=-∑∑∑

6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立

（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；

（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式。

【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的)(2k n k n k n S S S S +=+-+的转化从中找到解决问题的规律。

【精讲精析】由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+

即1112)()(S S S S S n n n n =----+，从而2211==-+a a a n n ，又22=a ，

故当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，所以5a 的值为8.

(2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时，

)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++，

两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ，即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ，所以当8≥n 时，6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列，

从而当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*，

且22-++n n a a 66-++=n n a a 。

所以当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a ，于是，

当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，

从而由)(*式知1262+++=m m m a a a ，故13172++++=m m m a a a ，

从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a ，于是d d d a a m m =-=-+21。因此d a a n n =-+1，对任意都2≥n 成立。

又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+，故329S d =且4216S d =。解得d a 274=，从而d a 232=，d a 2

11=。因此，数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ，

所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n 。

7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==

（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ???

???的前n 项和. 【思路点拨】第（1）问可由12231a a +=，23269a a a =联立方程组求得1a 和公比q ，从而

求得n a 的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简n b ，再用裂项相消的方法求数列1{}n

b 的前n 项和. 【精讲精析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219

q =. 由条件可知0n a >,故13q =

.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113

a =. 故数列{}n a 的通项式为n a =1()3n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n

b a a a =+++

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(12...)(1)2

n n n =-++++=-

故

1211

2()(1)1n b n n n n =-=--++,

12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++.

所以数列1{

}n b 的前n 项和为21n

n -+.

8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{}n a 中，11a =3，公比1

q =. （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：

n a S -=

（II ）设31323log log log n n b a a a =++???+，求数列{n b }的通项公式.

【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出n S 、

n a 然后证明等式12

n a S -=

成立；（2）利用对数的性质化简n b ，即得{n b }的通项公式.

【精讲精析】（I ） =

=??

? ??-311

1n n a 13n

?? ???

，

111

1-1-312

1-3

n n

?? ?

???=

∴12

n a S -=

（II ）31323log log log n n b a a a =++???+

n(n 1)

(123...n)2

+=-++++=

. ∴数列n b 的通项公式为n b =n(n 1)

2+-. 9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列{n a }满足a 1=b,1

1(2)1

n n n nba a n a n --=

+-≥.

(1)求数列{n a }的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ，n 2a ≤b

n 1

++1

a n

b b a n n n -+-=-+-，转化为等比数列，求得}11{b

a n n -+的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式. （2）利用均值不等式证明.

【精讲精析】（1）【解】由已知得1111--?+=n n a n b b a n ）（2≥n ，当1≠b 时，上式变形为：)111(1111b

a n

b b a n n n -+-=-+-，即数列}11{b a n n -+是以)1(11111

b b b a -=-+为首项，以b 1为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：n

n n b b b b b b a n )1(1)1()1(1111-=-=-+-，解得n n n b nb b a --=1)1(；当1=b 时，有111=---n n a n a n ，即{n

a n }是首项公差均为1的等差数列，则1=n a . 综上所述?????≠>--==)1且0(1)1()1(1

b b b

nb b b a n n n 　　　　　　　　. （2）【证明】方法一：当12(1)1,(21,1

n n n n nb b b a b b +-≠=≤+-时欲证

只需112(1))1n n n b nb b b +-≤+-

12211121(1)11n n n n n n n b b b b b b b b +-+---+=+++++++-

11111n n n n n b b b b b b b --??=++++++ ???

(222)n b >+++ 2,n nb =

12(1)21.1n n n n nb b a b b +-∴=<+- 综上所述12 1.n n a b +≤+

方法二：由（1）及题设知: 当1=b 时，1+n b +1=2=2n a ；当1且0≠>b b 时，n b b nb b nb b b a n k k

n n n k k n n n ∑∑=-==?==--=11111)1(11，而

2101)2()1(01211)1()1()1()1()1()1(1-++???+-+---=-=≥++???++=∑n n n n n n n k k n b b n b b b b n b ，∴21211111+-=≥n n n b

b b a ）（，即2212+≤n n b a ，又2111221+++=≥+n n n b b b ，∴121+≤+n n b a .

综上所述，对于一切正整数n 有121+≤+n n b a .

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n n n nba a b a n a n --=≥+-. 求数列{}n a 的通项公式；证明：对于一切正整数n,1

112

n n n b a ++≤+ 【思路点拨】（1）把题中条件变形为1121

+-?=?-n n a n a n b ，构造成为)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-，转化为等比数列，求得b a n n -+21的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.

（2）利用均值不等式证明.

【精讲精析】（1）方法一：由已知得11)22(--=-+n n

n n nba a n a a ，两边同除以1-n n a a ，

整理得1121+-?=?-n n a n a n b ，当2≠b 时有： )211(2211

b a n b b a n n n -+-=-+-（2≥n ）令b a n

c n n -+=21，则}{n c 是以)2(22111

1b b b a c -=-+=为首项，b q 2=为公比的等比数列.由等比数列通项公式得)2(2)2()2(21b b b b b c n n

n n -=-=-，即)2(221b b b a n n n n

-=-+ 从而n

n n

n b nb b a --=2)2(. 当2=b 时，有2111=---n n a n a n ，即}{n

a n 是首项与公差均为21的等差数列，从而有2n a n n =，得2=n a .

综上所述?????≠>--==)2且0(2)2()2(2b b b

nb b b a n n n n 　　　　　　　　方法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12

为公差的等差数列，

n b n n =+-?=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，332233

33(2)242b b b a b b b -==++-，猜想(2)2

n n n n nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；

②假设当n k =时，(2)2k k k k

kb b a b -=-，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++?+?-+-===+--+?--，所以当1n k =+时，猜想成立，

由①②知，*n N ?∈，(2)2n n n n

nb b a b -=-．综上所述?????≠>--==)2且0(2)2()2(2b b b

nb b b a n n n n 　　　　　　　　（2）【证明】方法一：（ⅰ）当2b =时， 1

12212

n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，222212222n n n n n n b b b ++≥?=，

212122122222n n n n n n b b b b --+?+?≥?=，

1111221,22222n n n n n n n n b b b b +--++?+?≥?= ，以上n 个式子相加得 2212n n b b -+?+111122n n n n b b +--++?+?+ 2121222n n n n b n b -++?+≥?，

1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)

n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b a b b +--++?-+?++?+-?-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)

n n n n n n n n n b b b b b b b --++?++?+--?-=- 212111

1(2)222(2)

n n n n n n n n n b b b b +++++--?+?=-

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2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n

b b b b +++++-?+?-=-1

112

n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立；综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

方法二：由（1）及题设知: 当2b =时，1

1122

n n n b a +++==

当02b b >≠且时，1

111122

1212121;(2)n k

n k

k n n

n k k n k n n n k

k k n

n n k

k k n b

b b b a n b b nb nb b nb b b n

-------==--==-=====-∑∑∑∑ 而1(1)(2)10

1210

22222

1()

()

()()1222n n n n n n k

n n k

k n b n b b --+-+++----=+++??

??=≥= ?

???

∑

112

112122n n n a b b b -+????∴

≥= ? ???

，即12

22n n b a +??≤ ???

，又111

11122222n n n n n b b b +++++??+≥= ?

综上所述：对于一切正整数n,1

112

n n n b a ++≤+. 11.（2011·山东高考理科·Ｔ20）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n

n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和S n .

【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（Ⅱ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n 项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论

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n n a -=?；（()1111ln 23

(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]---=+-=+-=+-+-n n n n n n n n n b a a n ×××Ⅱ

）当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++

212(133)[1(23)((22)(21))]ln 3

k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132

-=+=-+-k n n k × 当21(*)n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++

222(133)[(12)((23)(22))]ln 3ln 2k k k -=++++-++----

21132(1)ln 3ln 213--=----k k ×(1)31ln 3ln 22

n n -=--- 故31ln 3,2(1)31ln 3ln 22

n n n n n S n n ?-+??=?-?---??为偶数；，为奇数. 另解：令11(1)

ln 23-=-∑n n n n T ×，即11(1)ln 2(1)(1)ln 3n n

n n n T n =-+--∑∑ 223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n =-+-++-+-?+-?++-?- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n ++-=-+-++-+-?+-?++-?- 则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln 3n n n n T n ++=---+-+-++----

1111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222

n n n n T n +++---=---+--- 12111[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324

n n n T n ++=---+---- 故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++

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12111

31[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324

n n n n ++=-+---+----.

12.（2011·山东高考文科·Ｔ20）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n b =(1)ln n

n n a a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .

【思路点拨】（I ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列.（II ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n 项和.

【精讲精析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式1

n n a -=?.

（Ⅱ）n b =(1)ln n

n n a a +-=1

23n -?+(1)[ln 2(1)ln 3]n

n -+-

n -?+(1)ln 2(1)(1)ln 3n n n -+--,

所以

0122112212(23232323)[(1)(1)(1)]ln 2[(1)0-=?+?+?+?+-+-++-+-?+ n n n S

232(1)1(1)2(1)(21)]ln 3

-?+-?++-?- n n 22(13)(111111)ln 2[01234(22)21]ln 313

-=+-+-+--+++-+-+--+-- n n n

=91n

-+0ln 2ln391ln3n

n n ?+=-+

13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10

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（I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）求数列?

?-12n n a 的前n 项和．【思路点拨】(Ⅰ)先求首项1a 和公差d ，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和．【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ， ??

-=+=+,

10122,

011d a d a 由已知条件可得

?-==.1,

11d a 故数列{}n a 的通项公式为 .2n a n -= ……5分（Ⅱ）设数列?

?-12n n a 的前n 项和为n S ，即n S =,221

21-+++n n a a a 故1S =1， n n n a a a S 242221+++= .所以，当n ＞1时，2n S =1

2122---++-+n n n a a a a a -n n a 2

=n n n 22)214121

(11--++

-- =n n n 22)211(11-----=n n 2，所以n S =12-n n 综上，数列?

?-12n n a 的前n 项和n S =1

2-n n . ……12分 14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若数列n A :12,,...,(2)n a a a n ≥满足

11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.

（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5S(A )0>的E 数列5A ；

（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.

【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在. 【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不唯一，0，1，0， 1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）

（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)k k a a k +-== .

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所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列.所以200012(20001)12011a =+-?=. 充分性：由于200019991a a -≤，199919981a a -≤，……，211a a -≤，所以200011999a a -≤，即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+. 故110(1,2,,1999)k k a a k +-=>= ，即n A 是递增数列. 综上，结论得证.

（Ⅲ）令1(1,2,3,,1)k k k c a a k n +=-=- ，则1k c =±.

因为 2113112,a a c a a c c =+=++，……，1121n n a a c c c -=++++ ，所以11231()(1)(2)(3)n n S A na n c n c n c c -=+-+-+-++

121(1)(2)1[(1)(1)(1)(2)(1)]n n n c n c n c -=-+-++---+--++-

(1)

n n -=

-121[(1)(1)(1)(2)(1)]n c n c n c ---+--++- 因为 1k c =±，所以1k c -为偶数(1,2,,1)k n =- . 所以121(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c ---+--++- 为偶数. 所以要使()0n S A =，必须使

(1)

n n -为偶数，即4整除(1)n n -，亦即4n m =或*

41()n m m N =+∈

当*

4()n m m N =∈时，E 数列n A 的项满足41434240,1,1m m m m a a a a +++===-=

(1,2,,)k m = 时，有10,()0n a S A ==；