2007级数值分析试卷一及参考答案
更新时间:2024-03-18 18:47:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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大学课程考试卷
课程名称:数值分析 编号:A 考试时间:120分钟
题号 一 二 三 四 五 六 总分 实得分 满分 20 20 15 15 15 15 100 一、单项选择题(每小题4分,共20分)
1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2. 下列条件中,不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a,b] 上连续
(C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(xk)=yk,(k=0,1, … ,n)
f[x1,x2,?xn]?f[x0,x1,?xn?1]xn?x03. n阶差商递推定义为:f[x0,x1,?xn]?差商表如下:
序号 0 1 2 3 xi 1 3 4 7 ,设
f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 2 15 12 1 13 -1 4 -7/2 -5/4 那么差商f [1,3,4]=( )。
A. (15-0)/(4-1)=5 B. (13-1)/(4-3)=12 C. 4 D. -5/4 4. 分别改写方程2?x?4?0为x??2?4和x?ln(4?x)/ln2的形式,对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根,下列描述正确的是:( )
(A) 前者收敛,后者发散 (B) 前者发散,后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散 5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数是( )。
A. 在[a,b]上2阶可导,节点的函数值已知,子区间上为3次的多项式 B. 在区间[a,b]上连续的函数
C. 在区间[a,b]上每点可微的函数 D. 在每个子区间上可微的多项式
A卷第1页
xx二、填空题(每小题4分,共20分)
1. 欧拉法的局部截断误差的阶为 ;改进欧拉法的局部截断误差的阶为 ;
2. 求解非线性方程xex?1?0的牛顿迭代公式是 ;
3. 已知数据对(xk,yk)(k=1,2,…,n),用直线y=a+bx拟合这n个点,则参数a、b满足的法方程组是 ;
?2a4. 设A?????0a3a0??a给出使追赶法数值稳定地求解方程组Ax?b,b?R3的a?2??的取值范围(最大取值区间)是 ; 5. 求积公式?f(x)dx?01211123f()?f()?f()具有 次代数精度。 343234三、(15分)利用100,121,144的平方根,试用二次拉格朗日插值多项式求115的近似值。要求保留4位有效数字,并写出其拉格朗日插值多项式。
四、(15分)已知:已知有数据表如下,用n=8的复合梯形公式
(Tn?h2n?1,计算积分I?[f(a)?2?f(xk)?f(b)])
k?1?10edxx,并估计误差
(Rn(f)??x e xb?a12hf\(?),??(a,b))。
20 0.125 0.25 1.284025 0.375 1.454991 0.5 1.648721 0.625 1.868246 0.75 2.117000 0.875 2.398875 1 2.718282 1 1.133148 ?a?五、(15分)已知方程组?2?1?2a21??x1??1??????2??x2???2? ????a???x3??1?(1)写出解此方程组的雅可比法迭代公式; (2)证明当a?4时,雅可比迭代法收敛;
111(3)取a?5,X(0)?(10510,,)T,求出X(2)。
A卷第2页
六、(15分)用改进的欧拉公式求解以下初值问题(取步长为0.1,只要求给出x=0.1至0.5处的y值,保留小数点后四位)。
2x????(0?x?1)?y'?y? y??y(0)?1?提示:改进的欧拉公式为
yn?1?yn?hf(xn,yn)
h2yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] A卷第3页
数值分析试题参考答案A卷
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1. D 2. A 3. A 4. B 5. A 二、填空题(每小题3分,共15分)
1、答案:1 ,2
2、答案:xk?1?xk?xk?e?xk1?xk
nn?na?(?xk)b??yk??k?1k?1 3、答案:?n nn?(?xk)a?(?xk2)b??xkyk?k?1k?1?k?14、答案: 0?a?32
5、答案: 3阶
三、解 利用抛物插值,这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12,
令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228 四、解
T8?1161247[f(0)?2?f(xk)?f(1)]?1.720519k?1
S4?[f(0)?4?(f(0.125)?f(0.375)?f(0.625)?f(0.875))?2?
(f(0.25)?f(0.5)?f(0.75))?f(1)]?1.71828|R8(f)|?|?|R4(f)|?|?b?a12b?a2880hf\(?)|?hf4(4)2121()e?0.00359429681281175
(?)|?14?5()e?4.7272?1028804
五、解 (1)对i?1,2,3,从第i个方程解出xi,得雅可比法迭代公式为:
A卷第4页
?(m?1)1(m)(m)x?(1?2x?x)123?a??(m?1)1(m)(m)?(2?2x1?2x3),m?0,1,? ?x2a??x(m?1)?1(1?x(m)?2x(m))312?a?(2)当a?4时,A为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法收敛。 (3)取a?5,X(0)?(110510,1,1)T
由迭代公式计算得 x1(1)? x1(2)?110, x2(1)?, x2(2)?13250825825, x3(1)?, x3(2)?1325011013
13250250则 X(2)=(
六、解
xn yn ,
825,)T
0.1 1.0959 0.2 1.1841 0.3 1.2662 0.4 1.3434 0.5 1.4164 0.6 1.4860 0.7 1.5525 0.8 1.6153 0.9 1.6782 1 1.7321
A卷第5页
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