高一数学函数专题教学讲义（精练）

学思源文化高一数学函数专题教学讲义

一. 知识要点：

集合的含义及其表示 （一）集合的有关概念： 1. 集合的含义：

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 2. 集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。

空集：不含任何元素的集合，记作Φ。

3. 集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}

（2）描述法： 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P

（x）}的形式

4. 常用数集的字母表示 常用数集及记法

（1）自然数集： 记作N （2）正整数集： 记作N*或N? （3）整数集： 记作Z （4）有理数集： 记作Q （5）实数集： 记作R

（二）集合之间的关系：

1. 子集：如果集合A的任一个元素都在集合B中则称集合A为集合B的子集，

记作：A?B或B?A 特别的：A?A??A

2. 真子集：如果A?B并且A?B，则称集合A为集合B的真子集

3. 集合相等：A=B （三）集合之间的运算： 1. 交

交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交

集；记作：A∩B

2. 并 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集；记作：

A∪B

3. 补

补集：设A为S的子集，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作：CS＝{x∣ x ∈S且x?A}，如果集合S包含我们所要研究的各个集合，就把S称为全集。

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函数概念与基本初等函数

一、函数的基本概念 （一）函数的概念 1. 函数定义

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数(function)，通常记为y＝f(x)，x?A.其中，所有的输入值x组成的集合叫做函数y＝f(x)的定义域(domain)。

注： 给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。在函数定义中，所有能输入的值x组成的集合A叫做y＝f（x）的定义域，而对于A中的每一个x，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y组成集合称为函数的值域。

映射：一般地，设A，B是两个集合，如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作：f:A?B

注：函数是映射，但映射不是函数。 2. 函数的表示方法

（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。

（2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。这个等式通常

叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法。 （二）函数的性质 1. 单调性

一般地，设函数y＝f(x)定义域为A，区间I?A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调递增函数，I称为

y?f(x)单调递增区间。

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说

y?f(x)在区间I上是单调递减函数，I称为y?f(x)单调递减区间。

判断函数单调性的方法：

①定义法，即比差法；②图象法；③复合函数单调性判断法则。 2. 奇偶性

（1）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)那么

称函数y?f(x)是偶函数。

（2）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么称函

数y?f(x)是奇函数。

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说明：

?奇函数??偶函数 1.根据奇偶性，函数可以分为四类??非奇非偶函数?既奇又偶函数?2. 用定义判断函数奇偶性的步骤:

⑴ 先求定义域，看是否关于原点对称;

⑵ 再判断f(－x)＝ －f(x)或f(－x)＝f(x) 是否恒成立。

（三）函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

图象作法：①描点法；②图象变换。

二、基本初等函数 1. 指数函数：

一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。指数函数的图象和性质： 图 象 a>1 0

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x＝0时，y＝1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 3

2. 对数函数:

一般地，函数y＝logax （a＞0，且 a≠1）叫做对数函数；它的定义域是(0，+∞)对数函数的图象与性质

a>1 0

11 图 0101 象

定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当x?1时，y?0 性 质 x?(0,1)时 y?0 x?(0,1)时 y?0 x?(1,??)时 y?0 x?(1,??)时y?0 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数

3. 幂函数的定义:

332.52.5221.51.5110.50.5-112345678-112345678-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5一般地，我们把形如y?x的函数称为幂函数(power function)，其中x是自变量，a是常数。

幂函数y?x的性质 幂函数y?x（a>0）的性质

（1）函数的图象都过（0，0），（1，1）；

（2）在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间?0,???上是单调增

函数。

幂函数y?x（a<0）的性质 （1）图象过（1，1）点。

（2）在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0,??)上是单调减函

数。

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aaaa三、函数与方程

1. 方程的根与函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点.函数的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.

2. 关系图

方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点

3. 定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，

那么，函数y＝f(x)的图象在区间(a，b)内必然至少穿越x轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c ?(a，b) ，使得f(c)＝0。

四、典型例题

例1. 已知集合A＝{1，3，a}， B＝{a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值。 解：∵B是A的真子集， ∴a2∈A， 则有：

（1）a2＝1?a＝±1，当a＝1时与元素的互异性不符，∴a＝－1； （2）a2＝3?a＝?3

（3）a2＝a?a＝0， a＝1，舍去a＝1，则a＝0 综上：a＝－1， a＝?3或a＝0。

注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论。

例2. （1）已知：M＝{x|x≥2}，P＝{x|x2－x－2＝0}，求M∪P和M∩P； （2）已知：A＝{y|y＝3x2}， B＝{y|y＝－x2+4}， 求：A∩B，A∪B；

（3）已知集合A＝{－3， a2 ，1+a}， B＝{a－3， a2+1， 2a－1}， 其中a∈R，

若A∩B＝{－3}，求A∪B。

解：（1）P＝{2，－1}，M∪P＝{x|x≥2或x＝－1}，M∩P＝{2}。

（2）∵A＝{y|y≥0}， B＝{y|y≤4}， A∩B＝{y|0≤y≤4}， A∪B＝R。 （3）∵A∩B＝{－3}，－3∈B，则有：

①a－3＝－3?a＝0， A＝{－3，0，1}， B＝{－3，1，－1}?A∩B＝{－3，1}，与已知不符，∴a≠0；

②2a－1＝－3?a＝－1， ∴ A＝{－3，1，0}， B＝{－4，2，－3}， 符合题设条件，∴A∪B＝{－4，－3，0，1，2}。

小结：此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性。其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点－1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件。

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