高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.6 微积分基本定理 word版含答案

1.6 微积分基本定理

[学习目标]

1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接]

1．导数与定积分有怎样的联系？

答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．

2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？

答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中S＝?bf(x)dx，

?a

图(2)中S＝－?bf(x)dx，

?a

图(3)中S＝?bf(x)dx－?0f(x)dx.

?0?a

[预习导引] 1．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?bf(x)dx＝F(b)－F(a)． ?a

2．函数f(x)与其一个原函数的关系 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx； 1＋

(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn1；

n＋11

(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln_x(x>0)；

x(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；

ax

(5)若f(x)＝a，则F(x)＝(a>0且a≠1)；

ln a

x

(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos_x； (7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin_x.

要点一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分 (1)?23dx； (2)?2(2x＋3)dx；

?1?

?0

(3)?3－1(4x－x2)dx； (4)?2(x－1)5dx.

?1

解 (1)因为(3x)′＝3，

?所以?23dx＝(3x)?＝3×2－3×1＝3. ?1?1

(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，

2

?所以?2(2x＋3)dx＝(x2＋3x)?

?0?0

＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. x

2x2－?′＝4x－x2， (3)因为?3??x??22?32x－所以?－1(4x－x)dx＝? 3????－1

3

33

?－1???2023??＝?2×3－3?－?2×?－1?2－?＝. 3?3?

3

3

2

1

?x－1?6?′＝(x－1)5， (4)因为?6??所以?21(x－1)5dx

?

1?＝(x－1)6?

6?1

11

＝(2－1)6－(1－1)6 661＝. 6

规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：

2

①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项：

①有时需先化简，再求积分；

②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.

跟踪演练1 求下列定积分： π

(1)∫0(3x＋sin x)dx；

21ex－?dx. (2)?21?x??

?

32

?解 (1)∵??2x－cos x?′＝3x＋sin x，

?π3π

x2－cos x??2 ∴∫0(3x＋sin x)dx＝??2??2

?0

3π?2π??3?＝3π＋1； ×0－cos 0－cos ＝?2×?－2??2?8??2?

1

(2)∵(ex－ln x)′＝ex－，

x

1x?∴?21(e－)dx＝(e－ln x)?＝(e2－ln 2)－(e－0) x?1?

x

2

2

＝e2－e－ln 2.

要点二 求较复杂函数的定积分 例2 求下列定积分：

πx

(1)?41x(1－x)dx； (2)∫02cos2dx；

22?(3)?41(2x＋

?

1

)dx. x

解 (1)∵x(1－x)＝x－x， 2312?又∵??3x2－2x?′＝x－x.

2312??∴?41x(1－x)dx＝? ?3x2－2x???1?

2312??21?17

×4－×4－－＝－. ＝??322??32?6

x

(2)∵2cos2＝1＋cos x，(x＋sin x)′＝1＋cos x，

2

4

?πππ

∴原式＝∫0(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)?2＝＋1.

22?

?0

21＋2x?′＝2x＋， (3)∵??ln 2?x2x1? x?4∴?1(2＋)dx＝?ln 2＋2x????1?x2214＋24?－?＋2?＝＝??ln 2??ln 2?ln 2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：

(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分： π

(1)∫0(sin x－sin 2x)dx；

3(2)?ln 2ex(1＋ex)dx.

4

4

x

?0

解 (1)sin x－sin 2x的一个原函数是－cos x＋ 1π

cos 2x，所以∫0(sin x－sin 2x)dx 23

?π1

－cos x＋cos 2x??3 ＝?2???

?0

1111－－?－?－1＋?＝－. ＝?2??24??4(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x， 1

ex＋e2x?′＝ex＋e2x， ∴?2??

x2x

∴?ln 2ex(1＋ex)dx＝?ln 2(e＋e)dx

?0?0

1

ex＋e2x??＝?2????0

ln 2

11＝eln 2＋e2ln 2－e0－e0

22115

＝2＋×4－1－＝. 222要点三 定积分的简单应用

例3 已知f(a)＝?10(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．

?

23122?

ax－ax′＝2ax2－a2x， 解 ∵?2?3?23122??

∴?10(2ax－ax)dx＝?＝ ?3ax－2ax???0?

2

2

1

212a－a， 32

211244?2

a－a＋＋ 即f(a)＝a－a2＝－?39?9322?212

a－?2＋， ＝－?2?3?922∴当a＝时，f(a)有最大值.

39

规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，?10f(x)dx＝－2，求a、

?

b、c的值．

解 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2. 又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， 而?10f(x)dx＝?10(ax2＋bx＋c)dx＝

① ②

??

?1ax3＋1bx2＋cx?? 2?3???0

11

＝a＋b＋c， 3211

∴a＋b＋c＝－2， 32

由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例4 计算下列定积分：

2??x ?x≤0?π

(1)若f(x)＝?，求∫－1f(x)dx；

2??cos x－1 ?x>0?

1

③

(2)?30|x2－4|dx.

?

ππ

解 (1)∫－1f(x)dx＝?0－1x2dx＋∫0(cos x－1)dx，

22?

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