高考数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训(二)文

高考数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训（二）文

1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋12

a 2n ，数列{

b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1＋12

b 2n ＋1，n ∈N *.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( ) A ．m ＝10，n ＝12

B ．m ＝9，n ＝11

C ．m ＝4，n ＝6

D ．m ＝1，n ＝3 答案 D

解析 因为a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，b n ＝b n ＋1＋12

b 2n ＋1，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数y ＝12x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋12b 22＝a 11＋12

a 211，得

b 2＝a 11＝4，同理有b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋12

a 211＝12，故

b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.故选D.

2．已知f (x )＝ax

x 2＋c ＋b ，g (x )＝[f (x )]2

－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称；

②f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

③存在M >0，使|f (x )|≤M ；

④若g (x )有零点，则b ＝0；

⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}．

答案 ①③⑤

解析 令y ＝ax

x 2＋c (a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原

点(0,0)对称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝ax

x 2＋c (a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而

得到的，所以函数y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．

当x >0时，y ＝ax

x 2＋c ＝a

x ＋c x ，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋c x

在(0, c )上单调递减，所以函数y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋c x 在(c ，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．

令y ＝

ax x 2＋c (a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则

|f (x )|≤M 成立；当x ≠0时，y ＝ax x 2＋c ＝a

x ＋c x ，则|y |＝|a ||x |＋????

??c x ≤|a |2|c |＝|a |2c .所以|f (x )|＝??????ax x 2＋c ＋b ≤??????ax x 2＋c ＋|b |≤|a |2c ＋|b |，令M ＝|a |2c

＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确． 若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝±1，从而得ax

x 2＋c ＋b ＝±1，故ax

x 2＋c

＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤|a |2c

即可，而b 不一定为零，故④不正确．

由g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝

ax x 2＋c ＋b ＝±1.取b ＝0，ax x 2＋c ＝1，整理得x 2－ax ＋c ＝0.当a ＝3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝

ax x 2＋c 为奇函

数，故方程的解集为{1，－1,2，－2}，故⑤正确．

综上可得①③⑤正确． 3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0外切，同时与圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0内切．

(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；

(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．

解 (1)∵圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1.

∵圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5.

设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ，

∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1，

∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ，

两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|，

由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，

∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2 2.

∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 28

＝1. (2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0)，

∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2.

∵k AP ＝y 1－y 2x 1－x 2

，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)，

y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0得x S ＝

x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1； 同理得，x T ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1

. ∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝????

??x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21， 又∵P ，A 在椭圆上，∴y 2

1＝8? ????1－x 219，y 22＝8? ????1－x 2

29， ∴y 2

2－y 21

＝89()x 21－x 22，∴x 21y 22－x 22y 21＝8x 21? ????1－x 229－8x 22? ????1－x 219＝8(x 21－x 22)， ∴|OS |·|OT |＝??????x 21y 22－x 22y 21y 2

2－y 21＝?????

???8x 21－x 2289x 21－x 22＝9. 4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －12

ax 2＋1，a ∈R . (1)当a ≤1时，讨论f (x )的单调性；

(2)当a ＝1时，证明不等式1f 1＋1f 2＋…＋1f n

<4(n ∈N *)． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝x e x －ax ＝x (e x －a )．

当a ≤0时，e x

－a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝0，

所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

当a ＝1时，若x <0，则e x －a <0，f ′(x )>0；若x >0，则e x －a >0，f ′(x )>0. 所以f (x )在R 上单调递增．

当0

所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；

当0

(2)证明：由题意知，当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －12

x 2＋1. 当n ＝1时，1f 1＝2<4，显然成立． 当n ≥2时，由(1)知，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，

所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立．

设g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x

－1，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)

上单调递增． 所以g (x )≥g (0)＝0，即e x ≥x ＋ 1. 所以当n ≥2时，f (n )≥(n －1)(n ＋1)－12n 2＋1＝12n 2，1f n ≤2n

2， 所以

1f n <2n －1n ＝2? ????1n －1－1n . 于是1f 1＋1f 2＋…＋1f n <2＋2????

??? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n －1－1n ＝4－2n <4. 综上可知，

1f 1＋1f 2＋…＋1f n

<4(n ∈N *)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mfle.html