浅谈高考中的数学建模问题

浅谈高考中的数学建模问题

宁波鄞州正始中学数学组—王伍成

函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。

一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。

下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。 1、 优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决 例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。

（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）

分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。 解：依题意得不等式

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。

本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。

2、最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。

例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品

的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12?x)2万件．

（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最

大值Q(a)

分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

L?(x?3?a)(12?x)2，x?[911]，． （Ⅱ）L?(x)?(12?x)2?2(x?3?a)(12?x)

?(12?x)(18?2a?3x)．

2令L??0得x?6?a或x?12（不合题意，舍去）．

3228?3≤a≤5，?8≤6?a≤．

332在x?6?a两侧L?的值由正变负．

329所以（1）当8≤6?a?9即3≤a?时，

32Lmax?L(9)?(9?3?a)(12?9)2?9(6?a)．

2289（2）当9≤6?a≤即≤a≤5时，

332Lmax222???????1??L(6?a)??6?a?3?a??12??6?a???4?3?a?，

333???????3?239?9(6?a)， 3≤a?，?2?所以Q(a)?? 3?4?3?1a?， 9≤a≤5???2??3?答：若3≤a?9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值292??Q(a)?9(6?a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为?6?a?元时，分公司

23???1?一年的利润L最大，最大值Q(a)?4?3?a?（万元）

?3?本题利用导数来求三次函数的最值。

3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

3解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，?，每年新增汽车x万辆，则

b1?30，b2?b1?0.94?x 对于n?1，有

bn?1?bn?0.94?x ?bn?1?0.942?(1?0.94)x ?所以bn?1?b1?0.94n?x(1?0.94?0.942???0.94n)

1?0.94n?b1?0.94?x

0.06n?xx?(30?)?0.94n 0.060.06当30?x?0，即x?1.8时 0.06bn?1?bn???b1?30。 当30?x?0，即x?1.8时 0.06x 0.06数列{bn}逐项增加，可以任意靠近

limbn?lim[xxx?(30?)?0.94n?1]?

n???n???0.060.060.06因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即

bn?60（n?1,2,3,?）

x?60，即x?3.6万辆 0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。

4、 等量关系问题 建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。

则

例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元／kg，政府补贴为t元／kg，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量Pkg与市场日需求量Qkg近似地满足关系 P=1000(x+t-8)，(x≥8，t≥0)

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 分析：从数学的角度理解政府补贴t的含义，可与税收联系起来，当t>0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t<0时，则是课税，为政府积累资金。

解：(1)依题设，有

解 得t≥1或t≤-5，由于t≥0,知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。

5、测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决。建立坐标，将问题转化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。 例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风

中心位于城市O（如图）的东偏南?(cos??2)方向300km的海面P处，并以1020km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为

?22x?300??20?t,??102 ??y??300?72?20?2t.?102? 此时台风侵袭的区域是(x?x)2?(y?y)2?[r(t)]2， 其中r(t)?10t+60，

若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

(0?x)2?(0?y)2?(10t?60)2, 即(300?2227222?20?t)?(?300??20?t)?(10t?60)2, 102102即t2?36t?288?0， 解得12?t?24.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。

本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mfi7.html