《概率论与数理统计》（复旦大学出版社）第五章习题

习题五

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10

11E(Xi)?1???2??366

121E(Xi2)?1??22??66111??4??5??66612123???42??5662i176?,6211??62?662291,6

91?7?35从而 D(Xi)?E(X)?[E(Xi)]?????.

6?2?12又X1,X2,X3,X4独立同分布.

从而E(X)?E(7X)?E(X)?4??14, ??ii2i?1i?144 D(X)?D(?Xi)??D(Xi)?4?i?1i?1443535?. 12335/3?0.271, 24所以 P{10?X?18}?P{|X?14|?4}?1?2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间

的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？

?1,若第i个产品是合格品,【解】令Xi?

0,其他情形.?而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且

X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得

P{0.76?即

?Xi?1nin?0.84}?0.9.

Xi?0.8n?0.76n?0.8n0.84n?0.8nP{?i?1?}?0.9

n?0.8?0.2n?0.8?0.2n?0.8?0.2由中心极限定理得

n?0.84n?0.8n??0.76n?0.8n?????????0.9,

0.16n?0.16n???整理得???n?n?0.95,查表?1.64, ??10?10??n≥268.96, 故取n=269.

3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，

开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m

要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

E(X)?140,D(X)?42,

0.95?P{0?X?m}?P(X?m)????m?140??.

?42?查表知

m?140?1.64, ,m=151. 42所以供电能151×15=2265（单位）.

4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，

且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=

?Vk?120k，求P{V＞105}的近似值.

【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=

100,k=1,2,…,20 12由中心极限定理知，随机变量

Z??Vk?120V?20?5近似的?~N(0,1).

100100?20?201212k?20?5????V?20?5105?20?5??于是P{V?105}?P???

10100??20??20??12?12??????V?100??0.387??1??(0.387)?0.348, ?P??10?20????12?即有 P{V>105}≈0.348

5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100

根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？

【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）

从而

?30?100?0.2?P{X?30}?1?P{X?30}?1????

?100?0.2?0.8? ?1??(2.5)?1?0.9938?0.0062.

6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

?1,第i人治愈,【解】Xi???0,其他.令X?i?1,2,,100.

?X.

ii?1100(1) X~B(100,0.8)，

?75?100?0.8?P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1???? i?1?100?0.8?0.2? ?1??(?1.25)??(1.25)?0.8944.

(2) X~B(100,0.7)，

100?75?100?0.7?P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1???? i?1?100?0.7?0.3? ?1??(1005)?1??(1.09)?0.1379. 217. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有

20件废品的概率.

【解】令1000件中废品数X，则

p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，

E(X)=50，D(X)=47.5.

故

P{X?20}?11?20?50??30??????6.895??6.895? 47.5?47.5???1?30??6???4.5?10. ?6.895?6.895? ?8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数

分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率. 【解】E(Ti)?1??11?10, D(Ti)?2?100 ,0.1? E(T)?10?30?300, D(T)?300 0.故

?350?300??5?P{T?350}?1????1??????1??(0.913)?0.1814.

?3000??30?9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率

保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，

E(T)=10n，D(T)=100n.

从而P{故

?T?306?8}?0.95,即0.05????ii?1n?306?8?10n??.

10n?n?244.8,n?10n?2448?0.95????,?10n?1.64?n?272.

所以需272a元.

10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1

名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？

（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400. 而X?0.15 ?Xi400i,由中心极限定理得

400i?Xi?400?1.1400?0.19X?400?1.1近似地?~N(0,1).

4?19于是P{X?450}?1?P{X?450}?1??? ?1??(1.147)?0.1357.

?450?400?1.1??

4?19??(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得

?340?400?0.8?P{Y?340??????(2.5)?0.9938.

?400?0.8?0.2?11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于

男孩个数的概率，即求

P{X≤5000}. 由中心极限定理有

?5000?10000?0.515?P{X?5000}??????(?3)?1??(3)?0.00135.

?10000?0.515?0.485?12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，

在一次行动中：

（1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？

【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.

令 Sn=X1+X2+…+X1000.

(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件

S?900??m?1000?0.9{m?Sn}???n?. 90??1000?0.9?0.1由中心极限定理知：

?m?1000?0.9?P{m?Sn}?1?P{Sn?m}?1?????0.95.

?1000?0.9?0.1?从而 ???m?900???0.05, 90??m?900??1.65, 90故

所以 m=900-15.65=884.35≈884人 (2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.

?M?900?P{Sn?M}?????0.95.

90??查表知M?900=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人. 9013. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死

亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？

【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X?120}?1?120?10000?0.006????

10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?1?(60/1e259.6459.64)211?60?????? 59.64?59.64?2??0.0517?e?30.1811?0

(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为

?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????

?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契

比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z=X-Y，有

E(Z)?0,D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XPD(X)所以

D(Y)?3.

P{|Z?E(Z)|?6}?P{|X?Y|?6}?D(X?Y)31??. 26361215. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查

的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出X的概率分布；

（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.

（1988研考）

【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗

户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是

kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k,k?1,2,,100.

(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心

极限定理，得

?30?100?0.2??14?100?0.2?P{14?X?30}????????

?100?0.2?0.8??100?0.2?0.8? ??(2.5)??(?1.5)?0.994?[?9.33]?0.927.

16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差

为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.

【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，

可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知： E(Xi)?50 , E(T n ,n)?50D(Xi)?5 , D(Tn)?5n.Tn?50n近似地依中心极限定理，当n较大时，~N(0,1),故箱数n取决于条件

5n?T?50n5000?50n?P{Tn?5000}?P?n??

5n??5n ????1000?10n???0.977??(2). n??因此可从1000?10n?2解出n<98.0199, n即最多可装98箱.

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